カウツフィルター

信号処理において、カウツフィルタはウィリアム・H・カウツにちなんで名付けられた固定極トラバーサルフィルタで、1954年に発表されました。^{[1] [2]}

ラゲールフィルタと同様に、カウツフィルタは、オールパスフィルタのカスケードを使用して実装でき、オールパスセクション間の各タップに1 極ローパスフィルタを配置します。 ^{[引用が必要]}

実数極の集合が与えられた場合、カウツ正規直交基底のラプラス変換は、 1極ローパス因子と増加次数オールパス因子の積として定義されます。 ${\displaystyle \{-\alpha _{1},-\alpha _{2},\ldots ,-\alpha _{n}\}}$

${\displaystyle \Phi _{1}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{1}}}{(s+\alpha _{1})}}}$

${\displaystyle \Phi _{2}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{2}}}{(s+\alpha _{2})}}\cdot {\frac {(s-\alpha _{1})}{(s+\alpha _{1})}}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{n}}}{(s+\alpha _{n})}}\cdot {\frac {(s-\alpha _{1})(s-\alpha _{2})\cdots (s-\alpha _{n-1})}{(s+\alpha _{1})(s+\alpha _{2})\cdots (s+\alpha _{n-1})}}}$。

時間領域では、これは次の式と等価である。

${\displaystyle \phi _{n}(t)=a_{n1}e^{-\alpha _{1}t}+a_{n2}e^{-\alpha _{2}t}+\cdots + a_{nn}e^{-\alpha _{n}t}}$、

ここで、a _{ni は}部分分数展開の係数であり、

${\displaystyle \Phi _{n}(s)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{ni}}{s+\alpha _{i}}}}$

離散時間カウツフィルタの場合、 sの代わりにzを使用した同じ式が使用されます。^[3]

すべての極がs = -aで一致する場合、カウツ級数は と表すことができます。 ここで、L _{k は}ラゲール多項式を表します。
${\displaystyle \phi _{k}(t)={\sqrt {2a}}(-1)^{k-1}e^{-at}L_{k-1}(2at)}$

• カウツコード