幾何光学

幾何光学、または光線光学は、光線の観点から光の伝播を説明する光学モデルです。幾何光学における光線は、特定の状況下で光が伝播する経路を近似するのに役立つ 抽象概念です。

幾何光学の単純化された仮定には、光線に関する次のようなものが含まれます。

• 均質な媒体中を直線的に伝播する
• 2つの異なる媒体の境界で曲がったり、特定の状況では2つに分裂したりすることがある
• 屈折率が変化する媒体内の曲線経路をたどる
• 吸収または反射される可能性があります。

幾何光学では、物理光学で考慮される回折や干渉などの特定の光学効果は考慮されません。この簡略化は実用上有用であり、光が相互作用する構造のサイズに比べて波長が小さい場合には優れた近似となります。この手法は、光学収差を含むイメージングの幾何学的側面を説明する際に特に有用です。

光線は光の波面に対して垂直な直線または曲線である（したがって波数ベクトルと同一線上にある）。光線のもう少し厳密な定義はフェルマーの原理に由来し、光線が2点間を進む経路は最短時間で通過できる経路であるというものである。^[1]

幾何光学は、近軸近似、つまり「小角近似」を行うことで簡略化されることが多い。数学的動作は線形になり、光学部品やシステムを単純な行列で記述できるようになる。これにより、ガウス光学や近軸光線追跡の技術が生まれ、これらは、像や物体のおおよその位置や倍率など、光学系の基本的な特性を見つけるために使用される。^[2]

鏡などの光沢のある表面は、単純で予測可能な方法で光を反射します。これにより、空間内の実際の位置 (現実) または推定された位置 (仮想)に関連付けられる反射画像を作成できます。

このような表面では、反射光線の方向は入射光線が表面法線（光線が当たる点における表面に対して垂直な線）となす角度によって決まります。入射光線と反射光線は単一の平面にあり、反射光線と表面法線の間の角度は入射光線と法線の間の角度と同じです。^[3]これは反射の法則として知られています。

平面鏡の場合、反射の法則により、物体の像は垂直になり、鏡の後ろの距離は物体が鏡の前にある距離と同じになります。像のサイズは物体のサイズと同じです。(平面鏡の拡大率は 1 です。) この法則により、鏡像はパリティ反転され、左右反転として認識されることも意味します。

曲面を持つ鏡は、光線追跡と表面上の各点における反射の法則を使ってモデル化できる。放物面を持つ鏡の場合、鏡に入射する平行光線は共通の焦点に収束する反射光線を生成する。他の曲面でも光を集光することはできるが、発散形状による収差により焦点が空間内でぼやけてしまう。特に、球面鏡は球面収差を示す。曲面鏡は、1より大きいまたは1より小さい倍率で像を形成でき、像は正立または倒立になる。鏡の反射によって形成される正立像は常に虚像であるが、倒立像は実像であり、スクリーンに投影できる。^[3]

屈折は、屈折率が変化する空間領域を光が通過するときに発生します。屈折の最も単純なケースは、屈折率 の均一な媒体と屈折率 の別の媒体との間に界面がある場合に発生します。このような状況では、スネルの法則により光線の偏向が次のように説明されます。 ここで、および は、それぞれ入射波と屈折波の法線 (界面に対する) 間の角度です。この現象は、上記の屈折率の定義からわかるように、光速の変化にも関連しており、次が示されます。 ここで、 および は、それぞれの媒体を通過する波の速度です。^[3]${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$$${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

スネルの法則のさまざまな帰結として、屈折率の高い物質から屈折率の低い物質に伝わる光線の場合、界面との相互作用により透過率がゼロになる可能性があるという事実があります。この現象は全反射と呼ばれ、光ファイバー技術を可能にします。光信号が光ファイバーケーブルを伝わると、全反射が起こるため、ケーブルの長さにわたって光が失われることはありません。反射と屈折を組み合わせて偏光光線を生成することもできます。屈折光線と反射光線が直角を形成する場合、反射光線は「平面偏光」の特性を持ちます。このようなシナリオに必要な入射角はブリュースター角として知られています。^[3]

スネルの法則は、屈折率と媒体の形状が分かっている限り、光線が「線形媒体」を通過する際の偏向を予測するために使用できます。たとえば、プリズムを通る光の伝播は、プリズムの形状と方向に応じて光線が偏向します。さらに、ほとんどの材料では光の周波数が異なると屈折率がわずかに異なるため、屈折を利用して虹のように見える分散 スペクトルを生成できます。プリズムを通過する光のこの現象の発見は、アイザック・ニュートンによるものとして有名です。^[3]

媒体によっては、位置によって屈折率が徐々に変化するものがあり、そのため光線は直線ではなく媒体内を曲がって進みます。この効果により、暑い日に見られる蜃気楼が空気の屈折率の変化によって曲がり、遠くで鏡面反射のように見えます（まるで水たまりの表面のようです）。屈折率が変化する材料は勾配屈折率（GRIN）材料と呼ばれ、コピー機やスキャナーなどの現代の光学スキャン技術で使用されている多くの有用な特性を持っています。この現象は勾配屈折率光学の分野で研究されています。^[4]

屈折によって収束または発散する光線を生成する装置は、レンズとして知られています。薄いレンズは、レンズメーカーの方程式を使用してモデル化できる焦点を両側に生成します。^[5]一般に、平行光線を収束させる凸レンズと平行光線を発散させる凹レンズの2種類のレンズが存在します。これらのレンズによって画像がどのように生成されるかについては、曲面鏡に似た光線追跡を使用して詳細に予測できます。曲面鏡と同様に、薄いレンズは、特定の焦点距離 ( ) と物体距離( ) が与えられた場合の画像の位置を決定する簡単な方程式に従います。 ここで、は画像に関連付けられた距離であり、慣例により、レンズの物体側にある場合は負、レンズの反対側にある場合は正と見なされます。^[5]凹レンズの場合、焦点距離 f は負と見なされます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$$${\displaystyle S_{2}}$

入射する平行光線は凸レンズによって、レンズから 1 焦点距離離れたレンズの反対側に反転した実像として集束されます。

有限距離にある物体からの光線は、レンズの焦点距離よりも遠くに焦点が合わせられます。つまり、物体がレンズに近いほど、像はレンズから遠くなります。凹レンズの場合、入射する平行光線はレンズを通過した後に発散し、平行光線が近づいてくるレンズと同じ側で、レンズから 1 焦点距離離れた垂直の虚像から発せられたように見えます。

有限距離にある物体からの光線は、焦点距離よりもレンズに近い、レンズの物体と同じ側にある虚像に関連付けられます。物体がレンズに近いほど、虚像はレンズに近くなります。

同様に、レンズの倍率は で表され 、慣例により負の符号が付けられ、正の値の場合は正立した物体、負の値の場合は倒立した物体を示します。鏡と同様に、単レンズによって生成される正立像は仮想像であり、倒立像は実像です。^[3]$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$$

レンズは、画像や焦点を歪める収差の影響を受けます。これは、幾何学的な欠陥と、光の波長によって屈折率が変化すること（色収差）の両方が原因です。^[3]

数学的な研究として、幾何光学は、双曲型偏微分方程式の解の短波長極限（ゾンマーフェルト・ルンゲ法）として、またはマクスウェル方程式に従った場の不連続の伝播の特性（ルーネンブルク法）として現れます。 この短波長極限では、 分散関係 を満たし、振幅がゆっくりと変化する 場合、解を局所的に近似することができます。 より正確には、主要次数解は、次の形になります。 位相を線形化して、大きな波数、および周波数を回復できます。 振幅は輸送方程式を満たします。 小さなパラメータは、非常に振動的な初期条件のために登場します。 したがって、初期条件が微分方程式の係数よりもはるかに速く振動する場合、解は高度に振動し、光線に沿って輸送されます。 微分方程式の係数が滑らかであると仮定すると、光線も滑らかになります。 言い換えると、屈折は発生しません。この技術の動機は、短波長の光が（多かれ少なかれ）移動時間を最小化する光線に沿って移動するという光伝播の典型的なシナリオを研究することから生まれました。これを完全に適用するには、マイクロローカル分析のツールが必要です。 $${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$$${\displaystyle k,\omega }$${\displaystyle a(t,x)}$$${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$$${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle \varepsilon \,}$

ゼロ波長の極限をとることで幾何光学の方程式を得る方法は、1911年にアルノルド・ゾンマーフェルトとJ.ルンゲによって初めて説明されました。 ^{[6]その導出は、}ピーター・デバイの口頭発言に基づいています。^{[7] [8]}単色スカラー場を考えてみましょう。ここで、は電場または磁場の任意の成分である可能性があり、したがって関数は波動方程式を満たします 。 ここで、は真空中の光速です。ここで、は媒体の屈折率です。一般性を失うことなく、方程式を次のように変換します。 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$$${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

幾何光学の基本原理は の限界にあるため、次の漸近級数が仮定される。 ${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$$${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

が大きいが有限の値の場合には級数は発散するため、適切な最初の数項のみを残すように注意する必要がある。 の各値に対して、残すべき項の最適な数を見つけることができ、最適な数よりも多くの項を追加すると、近似値が悪くなる可能性がある。^[9]級数を式に代入し、異なる次数の項を集めると、 一般に、 ${\displaystyle k_{o}}$${\displaystyle k_{o}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

最初の方程式はアイコナール方程式として知られており、アイコナールが ハミルトン・ヤコビ方程式であることを決定する。これは、例えば直交座標で書かれると次のようになる。 ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

残りの方程式は関数を決定します。 ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$

マクスウェル方程式の解の不連続面を解析することによって幾何光学の方程式を得る方法は、1944年にルドルフ・カール・リューネブルクによって初めて説明されました。 ^[10]この方法は、振幅と位相が方程式を満たすと仮定するゾンマーフェルト-ルンゲ法で要求される特殊な形を持つ電磁場に制限されません。この条件は、例えば平面波によって満たされますが、加法的ではありません。 ${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$

リューネブルクのアプローチの主な結論は次のとおりです。

定理。誘電率とで記述される線形等方性媒体内の場とが、方程式 で記述される の（移動）表面に沿って有限の不連続性を持つとします。積分形式のマクスウェル方程式は、がアイコナール方程式を満たすことを意味します。 ここで は媒体の屈折率（ガウス単位系）です。 ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$${\displaystyle \mu (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$${\displaystyle n}$

このような不連続面の例としては、ある瞬間に放射を開始するソースから発せられる初期波面が挙げられます。

したがって、場の不連続面は、対応する幾何光学場が次のように定義される幾何光学波面になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

これらの場は、ゾンマーフェルト-ルンゲアプローチの輸送方程式と一致する輸送方程式に従います。 ルーネブルクの理論における光線は、不連続面に対して直交する軌道として定義され、フェルマーの最小時間原理に従うことが示され、これらの光線が標準光学の光線と同一であることが証明されます。

上記の展開は異方性媒体にも一般化できる。^[11]

リューネブルクの定理の証明は、マクスウェル方程式が解の不連続性の伝播をどのように支配するかを調べることに基づいています。基本的な技術的な補題は次のとおりです。

技術的な補題。を時空内の超曲面（3 次元多様体）とし、その上で、、、の 1 つ以上に有限の不連続性があるとします。この場合、超曲面の各点において次の式が成り立ちます。 ここで、演算子は - 空間で作用し（ はすべて固定）、角括弧は不連続面の両側の値の差を表します（任意だが固定の規則に従って設定されます。たとえば、勾配はから減算される量の方向を指します）。 ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$${\displaystyle \mu (x,y,z)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \nabla \varphi }$

証明の概要。マクスウェル方程式をソースから離れたところから始めます (ガウス単位)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

におけるストークスの定理を用いると、上記の方程式の最初のものから、区分的に滑らかな（3 次元）境界を持つ内の任意の領域について、次が成り立つと結論付けることができます。 ここで、 はの外向きの単位法線の 3D スライスへの投影であり、は上の体積 3 形式です。同様に、残りのマクスウェル方程式から次が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle \Gamma }$$${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t={\rm {const}}}$${\displaystyle dS}$${\displaystyle \Gamma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

ここで、の任意の小さな部分曲面を考え、を囲む小さな近傍を設定し、それに応じて上記の積分を減算すると、次式が得られます。 ここで、 は4D 空間の勾配を表します。 は任意であるため、積分関数は 0 に等しくなければならず、これが補題を証明します。 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla ^{4D}}$${\displaystyle xyzt}$${\displaystyle \Gamma _{0}}$

不連続面が連続媒体を伝わるときに、アイコナール方程式に従うことは簡単に示せます。具体的には、と が連続している場合、との不連続は次式を満たします。および。この場合、補題の最後の 2 つの方程式は次のように記述できます。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

2 番目の方程式の外積をとり、最初の方程式を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \nabla \varphi }$$${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

の連続性と補題の2番目の方程式は次を意味します。したがって、表面上にある点に対してのみ次が成り立ちます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$${\displaystyle \varphi =0}$ $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(このステップでは不連続性の存在が不可欠であることに注意してください。そうでない場合はゼロで割ることになります。)

物理的な考慮により、一般性を失うことなく が次の形式であると仮定することができます。 、すなわち、空間を移動する 2D 表面で、 の水平面としてモデル化されます。(数学的には、暗黙の関数定理により、が存在する)。 について書かれた上記の式は、次のようになります。 すなわち、 はアイコナール方程式であり、変数 が存在しないため、すべての 、 、に対して成立します。スネルの法則やフレネルの公式などの他の光学法則も、およびの不連続性を考慮することによって同様に得ることができます。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

特殊相対論で用いられる4ベクトル表記では、波動方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

そして、置換により^[12]${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$ $${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

したがって、アイコナール方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

上記の式を解いてアイコナールが求まれば、波動4ベクトルは次のように求まります。 $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

• ハミルトン光学
• 幾何音響

• Robert Alfred Herman (1900) 『幾何光学に関する論文』、Archive.orgより。
• 「目の光と視覚の啓蒙された風景」は、16 世紀に遡るアラビア語の幾何光学に関する原稿です。
• 光線システムの理論 – WR ハミルトン著、Royal Irish Academy 紀要、第 XV 巻、1828 年。

• H. ブルンス、「Das Eikonal」
• M. マルス、「オプティック」
• J. プラッカー、「光波の一般形式についての議論」
• E. クンマー、「直線光線システムの一般理論」
• E. クマー、光学的に実現可能な直線光線システムに関するプレゼンテーション
• R. マイバウアー、「光線の直線系の理論」
• M. パッシュ、「光線系の焦点面と複合体の特異点面について」
• A. レヴィスタル、「幾何光学の研究」
• F.クライン「ブルンスの英雄について」
• R. ドントット、「積分不変量と幾何光学のいくつかの点について」
• T. de Donder、「光学の積分不変量について」

• ファインマンの幾何光学に関する講義