テューキーラムダ分布

ジョン・テューキーによって定式化されたテューキー・ラムダ分布は、分位関数によって定義される連続対称確率分布です。これは通常、適切な分布を特定するために使用され（下記のコメントを参照）、統計モデルに直接使用されることはありません。

テューキーのラムダ分布は、形状パラメータλを1つ持ち、他の確率分布と同様に、位置パラメータμと尺度パラメータσで変換できます。確率分布の一般形は標準分布で表現できるため、以下の式は関数の標準形について示しています。

Tukeyラムダ分布の標準形の場合、分位関数は、${\displaystyle ~Q(p)~,}$（つまり、累積分布関数の逆関数）と分位密度関数、${\displaystyle ~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,}$は

${\displaystyle \ Q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda =0~.\end{cases}}}

${\displaystyle q\left(\ p\$ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.}

形状パラメータλのほとんどの値に対して、確率密度関数（PDF）と累積分布関数（CDF）は数値的に計算する必要があります。Tukeyラムダ分布は、形状パラメータのごく一部の例外的な値、例えばλ ∈ { 2, 1, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0 } （一様分布[ λ = 1およびλ = 2の場合]とロジスティック分布[ λ = 0の場合]を参照）に対してのみ、CDFおよび/またはPDFの単純な閉じた形式を持ちます。

しかし、 λの任意の値に対して、分位関数Qを用いて各累積確率pの値xを計算し、分位密度関数の逆数である1 / qで与えられる確率密度を用いて、任意の数の累積確率pについてCDFとPDFの両方を表にまとめることができます。統計分布の場合と同様に、Tukeyラムダ分布は、用意された表の値を参照することで容易に利用できます。

テューキーのラムダ分布はゼロを中心に対称であるため、この分布の期待値が存在する場合、それはゼロに等しくなります。分散はλ > − 1/2の場合に存在し、λ = 0の場合を除き、次の式で与えられます 。

${\displaystyle \operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.}$

より一般的には、n次モーメントはλ > −1 / nの場合に有限であり、( λ = 0の場合を除いて)ベータ関数Β ( x , y )で表されます。  

${\displaystyle \mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (nk)\ \lambda +1\ )~.}$

密度関数の対称性により、奇数次のモーメントが存在する場合、それらはすべてゼロになります。

中心モーメントとは異なり、Lモーメントは閉じた形で表現できます。${\displaystyle \lambda >-1\ ,}$の${\displaystyle \ r}$th L-モーメント、${\displaystyle \ \ell _{r}\ ,}$^{[ 3 ]}で与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{}\\&={\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{整列}}}$

最初の6つのLモーメントは次のように表すことができます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle \ell _{1}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{3}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{4}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[-{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {12}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {30}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {20}{\ 4+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{5}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.}$

Tukeyラムダ分布は実際には、多くの一般的な分布を近似できる分布のファミリーです。たとえば、

この分布の最も一般的な用途は、データセットのTukeyラムダPPCCプロットを作成することです。PPCCプロットに示されているように、最も相関の高いλの値に基づいて、データに適したモデルが提案されます。たとえば、曲線がデータに最もよく適合するλの値が0.14付近であれば、経験的にデータは正規分布で適切にモデル化できると考えられます。λの値が0.14未満の場合は、裾の重い分布を示唆します。

λ = 0 (ロジスティック)のマイルストーンは、かなり厚い裾を示し、 λ = −1の極限は、コーシー分布とスチューデントのt分布の小標本版に近似します。つまり、 λの最適適合値が0.14の薄い裾から−1 の厚い裾に向かって変化するにつれて、裾がますます重くなるベル型の PDF が示唆されます。同様に、λの最適曲線適合値が0.14より大きい場合は、非常に薄い裾を持つ分布を示唆します(正規分布自体がそもそも薄い裾であるという観点に基づいています。指数分布は、厚い裾と薄い裾の中間の裾の例としてよく選ばれます)。

λの値が0に近い場合とそれ以下の場合を除いて、議論されているすべてのPDF関数は、−1 / | λ |と+ 1 / | λ |の間の有限のサポートを持ちます。        

Tukey ラムダ分布は対称分布であるため、Tukey ラムダ PPCC プロットを使用してデータをモデル化する適切な分布を決定する方法は、対称分布にのみ適用されます。データのヒストグラムは、データが対称分布で適切にモデル化できるかどうかの証拠を提供するはずです。^{[ 4 ]}

一般化ラムダ分布（GLD）は、分位点におけるλの出現を2つの形状パラメータ（非対称性を考慮する）、スケールパラメータに分割し、位置パラメータを追加することでラムダ分布を一般化します。これは分位点関数^{[ 5 ]によって定義されます。}

${\displaystyle Q_{\text{RS74}}=\lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[\ p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}}\ \right].}$

逆関数は累積分布関数です。この分布には、μ、σ、およびモーメントに関する（かなり複雑な）式もあります。^{[ 5 ]}

_{上記のパラメータ化は、Ramberg と Schmeiser によって提案された元の形式です。λ 3,4}の選択によっては、無効な分位関数が得られます (分位関数は負であってはなりません)。^{[ 6 ] : (定理 1.3.33)}より一般的に使用される形式は FMKL (1988) であり、 λ 2 > 0である限り有効です。歪度を追加する FMKL の変種もあります。もう 1 つの代替パラメータ化は、van Staden と Loots (2009) の GPD であり、L モーメントのより単純な式、パラメータの有効性に関する単純なルール、および歪度パラメータδ があります。^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{FMKL}}=&\ \lambda _{1}+{\tfrac {1}{\ \lambda _{2}\ }}\left[{\frac {p^{\lambda _{3}}-1}{\lambda _{3}}}-{\frac {{(1-p)}^{\lambda _{4}}-1}{\lambda _{4}}}\right]&\ {\mbox{ if }}\ \lambda _{2}>0,\\Q_{\text{GPD}}=&\ \alpha +{\frac {\beta }{\lambda }}\left[(1-\delta )(p^{\lambda }-1)-\delta ({(1-p)}^{\lambda }-1)\right]&\ {\text{ if }}\ \beta >0{\mbox{ and }}-1\leq \delta \leq 1.\end{aligned}}}$

GLDは、モンテカルロシミュレーション用の乱数を生成するために、1974年にラムバーグとシュマイザーによって開発されました。他の研究者たちは、自然科学、金融、経済におけるさまざまな測定値に適合させるのに役立つことを発見しました。^{[ 8 ]}その使用は統計的品質管理の分野に広がり、プロセス能力指数の計算に使用するための手順が利用可能です。^{[ 5 ]}

• 「Tukey-Lambda分布」。分布ギャラリー。工学統計ハンドブック。米国国立標準技術研究所（NIST）情報技術研究所。1.3.6.6.15。EDA 366F。

 この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。