議論の枠組み

人工知能および関連分野において、議論フレームワークとは、論争の的となっている情報を扱い、形式化された議論を使用してそこから結論を導き出す方法です。

抽象的議論フレームワーク^[1]では、エントリーレベルの情報は、たとえばデータや命題を表す抽象的な議論の集合です。議論間の対立は、議論の集合上の二項関係によって表されます。具体的には、議論フレームワークを有向グラフで表し、ノードが議論、矢印が攻撃関係を表します。Dung のフレームワークには、論理ベースの議論フレームワーク^[2]や価値ベースの議論フレームワークなど、いくつかの拡張が存在します。^[3]

抽象的な議論のフレームワークは、Dung 風の議論のフレームワークとも呼ばれ、正式には次のペアとして定義されます。

• 引数と呼ばれる抽象要素の集合。${\displaystyle A}$
• 上の二項関係は攻撃関係と呼ばれ、${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

たとえば、との議論システムには、 4 つの議論 (および) と 3 つの攻撃 (攻撃、攻撃、および攻撃) が含まれます。 ${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}}$${\displaystyle R=\{(a,b),(b,c),(d,c)\}}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$

Dung はいくつかの概念を定義しています:

• に関して議論が受け入れられる場合、かつその場合に限り、 は であり、 はであり、 は であり、${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle E\subseteq A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \forall b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R,\exists c\in E}$${\displaystyle (c,b)\in R}$
• 議論の集合が衝突のないものとは、その議論の間に攻撃がない場合をいい、形式的には、${\displaystyle E}$${\displaystyle \forall a,b\in E,(a,b)\not \in R}$
• 一連の議論は、矛盾がなく、そのすべての議論が に関して受け入れ可能である場合にのみ許容されます。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

議論が受け入れられるかどうか、あるいは複数の議論が一緒に受け入れられるかどうかを決定するために、Dung は議論システムが与えられた場合に議論の集合 (拡張と呼ばれる) を計算できるようにするいくつかの受け入れの意味論を定義しています。たとえば、 が与えられた場合、 ${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$

• ${\displaystyle E}$が の完全な拡張となるのは、が許容集合であり、 に関するすべての許容可能な議論が に属する場合のみです。${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle E}$が の優先拡張となるのは、が に関して許容される集合の中で（集合論的包含に関して）最大元である場合のみである。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle E}$が の安定拡張となるのは、 に属さないすべての議論を攻撃する衝突のない集合である場合のみである（形式的には、 、${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \forall a\in A\backslash E,\exists b\in E}$${\displaystyle (b,a)\in R}$
• ${\displaystyle E}$は、 の完全拡大の中で（集合包含に関して）最小の要素である場合に限り、の（唯一の）基底拡大です。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

これらのセマンティクスを使用して構築された拡張機能のセット間には、いくつかの包含関係が存在します。

• 安定した拡張機能はすべて優先されます。
• すべての優先拡張機能が完了しました。
• 接地延長が完了しました。
• システムが well-founded である場合 (となるような無限シーケンスが存在しない)、これらすべてのセマンティクスは一致します。つまり、1 つの拡張のみが根拠があり、安定しており、優先され、完全です。${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots }$${\displaystyle \forall i>0,(a_{i+1},a_{i})\in R}$

他にもいくつかの意味論が定義されている。^[4]

システムの -拡大の集合を示す表記法を導入する。 ${\displaystyle Ext_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle S}$

上の図のシステムの場合、すべての Dung の意味論に対して、システムは適切です。これにより、意味論が一致する理由が説明され、受け入れられる議論は次のようになります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle Ext_{\sigma }(S)=\{\{a,d\}\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$

ラベル付けは、引数の受け入れを表現するための拡張よりも表現力豊かな方法です。具体的には、ラベル付けは、すべての引数をin (引数が受け入れられる)、out (引数が拒否される)、またはundec (引数が未定義、つまり受け入れられても拒否されてもいない) のラベルに関連付けるマッピングです。ラベル付けをペアのセットとして記述することもできます。 ${\displaystyle ({\mathit {引数}},{\mathit {ラベル}})}$

このようなマッピングは、追加の制約がなければ意味をなさない。復元ラベルの概念は、マッピングの意味を保証する。がシステム上の復元ラベルである場合、かつその場合のみ： ${\displaystyle L}$${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$

• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {in}}}$もし、その場合に限り、${\displaystyle \forall b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R,L(b)={\mathit {out}}}$
• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {out}}}$かつ、その場合に限り、${\displaystyle \exists b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R}$${\displaystyle L(b)={\mathit {in}}}$
• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {undec}}}$かつ、かつ、かつの場合に限り${\displaystyle L(a)\neq {\mathit {in}}}$${\displaystyle L(a)\neq {\mathit {out}}}$

あらゆる拡張を復元ラベルに変換することができます。拡張の引数は にあり、拡張の引数によって攻撃される引数はにあり、その他はundecです。逆に、引数を に保持するだけで、復元ラベルから拡張を構築できます。実際、Caminada ^{[5]は、復元ラベルと完全な拡張が}一対一にマッピングできることを証明しました。さらに、他の Datung の意味論は、特定の復元ラベルのセットに関連付けることができます。

復元ラベルは、受け入れられた引数によって攻撃されたために受け入れられなかった引数を、未定義の引数から区別します。つまり、防御されていない引数は、自分自身を防御できません。引数は、少なくとも別のundecによって攻撃された場合、 undecになります。引数が外の引数によってのみ攻撃された場合、引数は内にある必要があり、内の何らかの引数によって攻撃された場合、引数は外 にあります。

上記のシステムに対応する固有の復元ラベルは です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle L=\{(a,{\mathit {in}}),(b,{\mathit {out}}),(c,{\mathit {out}}),(d,{\mathit {in}})\}}$

与えられた意味に対して複数の拡張が計算される一般的なケースでは、システムから推論するエージェントは情報を推論するためにいくつかのメカニズムを使用することができます。^[6]${\displaystyle \sigma}$

• 信じやすい推論: エージェントは、少なくとも1つの-拡張に属する議論を受け入れる。この場合、エージェントは、一緒に受け入れられない議論を受け入れるリスクがある(、およびを攻撃し、それぞれが拡張に属する)。${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• 懐疑的推論: エージェントは、すべての -extension に属する場合にのみ、議論を受け入れます。この場合、エージェントは推論する情報が少なすぎるというリスクがあります (拡張の共通部分が空であるか、基数が非常に小さい場合)。${\displaystyle \sigma}$

情報を推論するためのこれら 2 つの方法では、受け入れられた議論の集合、つまり、意味論 の下で信じやすく受け入れられた議論の集合と、意味論 の下で懐疑的に受け入れられた議論の集合をそれぞれ識別できます(意味論について曖昧さがまったくない場合は、 を省略できます)。 ${\displaystyle Cr_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle Sc_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$

もちろん、拡張が 1 つしかない場合 (たとえば、システムが well-founded である場合)、この問題は非常に単純です。エージェントは、一意の拡張の引数を受け入れ、他の引数を拒否します。

同じ推論は、選択された意味に対応するラベル付けでも行うことができます。つまり、各ラベル付けでinであれば議論は受け入れられ、 outであれば拒否され、その他は未決定の状態になります（議論の状態は、信念のダイナミクスに関するAGMフレームワーク^[7]における信念の認識論的状態を思い出させることができます）。

議論の枠組みの間には、同等性の基準がいくつかあります。それらの基準のほとんどは、拡張のセットまたは受け入れられる議論のセットに関するものです。正式には、意味が与えられた場合 : ${\displaystyle \sigma}$

• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{1}}}}$ : 2 つの議論フレームワークは、同じ -拡張の集合を持つ場合、つまり である場合、同等です 。${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle S_{1}\equiv _{1}S_{2}\Leftrightarrow Ext_{\sigma }(S_{1})=Ext_{\sigma }(S_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ : 2 つの議論の枠組みは、同じ議論を懐疑的に受け入れる場合、つまり次の場合に同等です 。${\displaystyle S_{1}\equiv _{2}S_{2}\Leftrightarrow Sc_{\sigma }(S_{1})=Sc_{\sigma }(S_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ 2 つの議論の枠組みは、同じ議論をそのまま受け入れる場合、つまり である場合、同等です。${\displaystyle S_{1}\equiv _{3}S_{2}\Leftrightarrow Cr_{\sigma }(S_{1})=Cr_{\sigma }(S_{2})}$

強同値性^[8]によれば、2つのシステムと が同値であるためには、他のすべてのシステム に対して との和集合が（与えられた基準で） と の和集合と同値である必要がある。[ ^9]${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$

Dung の抽象的なフレームワークは、いくつかの特定のケースにインスタンス化されています。

論理ベースの議論の枠組みの場合、議論は抽象的な実体ではなく、ペアであり、最初の部分は議論の2番目の部分の公式を証明するのに十分な最小限の一貫した公式のセットです。正式には、議論は次のペアです。 ${\displaystyle (\ファイ,\アルファ)}$

• ${\displaystyle \Phi \nvdash \bot }$
• ${\displaystyle \Phi \vdash \alpha }$
• ${\displaystyle \Phi}$は、エージェントが推論するために使用する式の集合を満たす最小の集合です。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \Delta }$

はの帰結と呼ばれ、は のサポートと呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \alpha}$

この場合、攻撃関係は、直積のサブセットとして明示的に与えられるのではなく、ある議論が別の議論を攻撃するかどうかを示す特性として与えられる。例えば、 ${\displaystyle A\times A}$

• 関係の敗北者 ：攻撃は、次の場合にのみ行われます${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\ファイ,\アルファ)}$${\displaystyle \beta \vdash \neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• 関係のアンダーカット ：攻撃は、${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\ファイ,\アルファ)}$${\displaystyle \beta =\neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• 関係反論 ：トートロジーである場合にのみ攻撃する${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\ファイ,\アルファ)}$${\displaystyle \beta \Leftrightarrow \neg \alpha }$

特定の攻撃関係が与えられれば、抽象的な議論フレームワークと同様の方法でグラフを構築し、推論することができます (拡張、懐疑的または信じやすい推論を構築するためのセマンティクスの使用)。違いは、論理ベースの議論フレームワークから推論される情報は、一連の式 (受け入れられた議論の結果) であることです。

価値に基づく議論の枠組みは、議論の交換中に、ある議論は、主張する特定の価値に関して他の議論よりも強い場合があり、議論間の攻撃の成功はこれらの価値の違いに依存するという考えから生まれました。

正式には、値に基づく議論フレームワークは、 およびを含むタプルであり、標準フレームワーク（一連の議論とこのセット上の二項関係）に類似しており、は空でない値のセットであり、 の各要素をの要素に関連付けるマッピングであり、上の優先順位関係（推移的、非反射的、非対称的）です。 ${\displaystyle VAF=\langle A,R,V,{\textit {val}},{\textit {valprefs}}\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textit {val}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textit {valprefs}}}$${\displaystyle V\times V}$

この枠組みでは、ある議論が別の議論に勝つには、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle a}$「標準的な」意味での攻撃:  ;${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b)\in R}$
• そして、 によって進められる値はによって進められる値よりも優先されません。${\displaystyle ({\textit {val}}(b),val(a))\not \in {\textit {valprefs}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

両方の引数が同じ値に関連付けられている場合、またはそれぞれの値に優先順位がない場合、攻撃は成功すると指摘されています。

仮定に基づく議論 (ABA) フレームワークでは、議論は一連のルールとして定義され、攻撃は仮定と反論の観点から定義されます。

形式的には、仮定に基づく議論の枠組みはタプルであり、^{[10] [11] [12]}、ここで ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}},{\mathcal {A}},{\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}\rangle }$

• ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$ は演繹システムであり、 は言語であり、 はおよび に対するの形式の推論規則の集合です。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle s_{0}\leftarrow s_{1},\dotsc ,s_{m}}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle s_{0},s_{1},\dotsc ,s_{m}\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、ここで は空でない集合であり、仮定と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}}$はからへの全写像であり、 は の逆として定義されます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle a}$

ABAを定義すると、議論はツリー形式[10]で表現できます。^[10]正式には、演繹システムと一連の仮定が与えられた場合、によって裏付けられた主張[ ^10]は、 内の文または記号 によってラベル付けされたノードを持つツリーであり、次のようになります。 ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$${\textstyle c\in {\mathcal {L}}}$${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \tau }$

• ルートは次のようにラベル付けされます${\displaystyle c}$
• 各ノードについて、 ${\displaystyle N}$
  • が葉ノードである場合、仮定または${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \tau }$
  • が葉ノードでない場合、推論規則、があり、 はのラベルであり、 ${\displaystyle N}$${\displaystyle l_{N}\leftarrow s_{1},...,s_{m}}$${\displaystyle (m\geq 0)}$${\displaystyle l_{N}}$${\displaystyle N}$
    • の場合、ルールは（つまり の子は）となります。${\displaystyle m=0}$${\displaystyle l_{N}\leftarrow \tau }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \tau }$
    • それ以外の場合は、ラベルの付いた子がいます${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s_{1},...,s_{m}}$
• ${\displaystyle S}$は、葉ノードにラベルを付けるすべての仮定の集合である。

一連の仮定によって裏付けられた主張を伴う議論^[10]は、次のように表記することもできる。${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\vdash c}$