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数学において、双曲面上の素測地線は原始閉測地線、すなわちその像を正確に 1 回描く閉曲線である測地線です。このような測地線は、とりわけ素数定理に似た漸近分布法則に従うため、素測地線と呼ばれます。
技術的背景
素測地線を理解するのに役立つ 双曲幾何学のいくつかの事実を簡単に紹介します。
双曲等長変換
2次元双曲幾何学のポアンカレ半平面モデル Hを考えます。フックス群、つまりPSL(2, R )の離散部分群Γ が与えられると、 Γ は線形分数変換を介してHに作用します。実際、 PSL(2, R )の各要素はHの等長変換を定義するため、 Γ はHの等長変換のグループです。
変換には、双曲型、楕円型、放物型の 3 種類があります。(実数を扱っているため、航程変換は存在しません。) Γ の元 γ には、γ が双曲型である場合に限り、2 つの異なる実不動点があります。詳細については、 等長変換の分類と等長変換の不動点を参照してください。
閉じた測地線
ここで、商面 M =Γ\ Hについて考えます。以下の説明は、双曲面の上半平面モデルについて言及しています。これは双曲面、つまりリーマン面です。Γ の各双曲要素hは、 Γ\ Hの閉じた測地線を決定します。まず、 hの固定点を結ぶ測地線半円を接続すると、 hの軸と呼ばれるH上の測地線が得られ、この測地線をMに投影すると、 Γ\ H上の測地線が得られます。
この測地線は、定義により、Γ の作用下で同じ軌道にある 2 つの点が商上の同じ点に投影されるため、閉じています。
これにより、 Γ\ H上の閉じた測地線と Γ の双曲共役類との間に1 対 1 の対応関係が示されることが示されます。素測地線とは、その像を正確に 1 回トレースする測地線です。代数的には、それらは原始双曲共役類、つまり γ が Γ の別の元の非自明な累乗として表すことができない共役類 {γ} に対応します。
素測地線の応用
素測地線の重要性は、リーマン面自体だけでなく、特に力学系、エルゴード理論、数論など、数学の他の分野との関係に由来しています。これらの応用は、多くの場合、いくつかの異なる研究分野にまたがって重複しています。
力学系とエルゴード理論
力学系では、閉じた測地線は測地線の流れの周期 軌道を表します。
数論
数論では、素数定理と精神の面で非常によく似たさまざまな「素測地線定理」が証明されています。具体的には、ノルム（長さに関連する関数）がx以下である閉じた測地線の数をπ( x ) で表すと、π( x ) ~ x /ln( x ) となります。この結果は、通常、Atle Selbergによるものとされています。Grigory Margulisは、1970 年の博士論文で、可変の負の曲率を持つ表面について同様の結果を証明し、 Peter Sarnak は、1980 年の博士論文で、Chebotarev の密度定理の類似物を証明しました。
数論との類似点は他にもあります。素数定理の誤差推定が改善されるのとほぼ同じ方法で、誤差推定が改善されます。また、セルバーグ ゼータ関数があり、これは通常のリーマン ゼータ関数と形式的に類似しており、その多くの特性を共有しています。
代数的には、数体の整数環の素イデアルをガロア拡大で分割（因数分解）できるのとほぼ同じ方法で、素測地線をより高い曲面に持ち上げることができます。詳細については、 「被覆写像」および「ガロア拡大における素イデアルの分割」を参照してください。
リーマン面理論
閉じた測地線はリーマン面の研究に使われてきました。実際、リーマンによる面の種数の元々の定義の1 つは、単純な閉曲線によるものでした。閉じた測地線は、ラプラシアン作用素、算術フックス群、およびタイヒミュラー空間の固有値の研究に役立ってきました。