中心平方数

初等整数論において、中心平方数は、中心の点と、連続する正方形層の中心点の周囲の他のすべての点を含む正方形内の点の数を与える中心 図形数です。つまり、各中心平方数は、正方格子上の中心点から指定された都市ブロック距離内にある点の数に等しくなります。中心平方数は、一般的な図形数と同様に、直接的な実用的用途はほとんどありませんが、その優れた幾何学的および算術的特性のために娯楽数学で研究されることがあります。

最初の 4 つの中央平方数の数字を以下に示します。

各中心平方数は、連続する平方数の合計です。例: 次のフロイドの三角形の図に示すように、25 は中心平方数であり、平方数 16 (正方形を剪断して形成された黄色の菱形) と次の小さい正方形 9 (2 つの青色の三角形の合計) の合計です。

C _{k , n は}一般にn番目の中心k角数を表します。n番目の中心平方数は次の式で与えられます。

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

つまり、n番目の中心平方数は、 n番目と ( n – 1)番目の平方数の合計です。次のパターンはこの式を示しています。

この式は次のように表現することもできます。

${\displaystyle C_{4,n}={\frac {(2n-1)^{2}+1}{2}}.}$

つまり、n番目の中心平方数は、以下に示すように、 n番目の奇数平方数の半分に 1 を加えた数になります。

すべての中心多角数と同様に、中心平方数も三角数で表すことができます。

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\ T_{n-1}=1+2{n(n-1)},}$

どこ

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$

はn番目の三角数です。これは、中央の点を削除し、図の残りの部分を次のように 4 つの三角形に分割すると簡単にわかります。

連続する 2 つの八面体数の差は中心平方数です (Conway と Guy、p.50)。

中心平方数を表す別の方法は次のとおりです。

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\dim(SO(n)),}$

どこ

${\displaystyle \dim(SO(n))={\frac {n(n-1)}{2}}.}$

中心平方数を表現するもう一つの方法は、中心三角数を使用することです。

${\displaystyle C_{4,n}={\frac {4C_{3,n}-1}{3}},}$

どこ

${\displaystyle C_{3,n}=1+3{\frac {n(n-1)}{2}}.}$

最初の中心平方数（C _4、n < 4500）は次のとおりです。

1、5、13、25、41、61、85、113、145、181、221、265、313、365、421、481、545、613、685、761、841、925、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​1013、1105、1201、1301、1405、1513、1625、1741、1861、1985、2113、2245、2381、2521、2665、2813、2965、3121、3281、 3445、3613、 3785、3961、4141、4325、…（OEISの配列A001844）。

中央揃えの平方数はすべて奇数であり、10 進数では 1 の位の数字が 1-5-3-5-1 というパターンに従うことがわかります。

すべての中心平方数とその約数は、4 で割ると余りが 1 になります。したがって、すべての中心平方数とその約数は、6、8、12の基数では数字 1 または 5 で終わります。

1 を除くすべての中心平方数は、ピタゴラス数列の斜辺です(3-4- 5、 5-12- 13、 7-24- 25、...)。これは、最長の 2 辺が 1 だけ異なるピタゴラス数列とまったく同じです。 (例: 5 ² + 12 ² = 13 ²。)

これを ( n – 1) ² + n ² = C _{4, n}の関係と混同しないでください。(例: 2 ² + 3 ² = 13。)

中心化された平方数を生成する関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{(1-x)^{3}}}=1+5x+13x^{2}+25x^{3}+41x^{4}+~...~.}$

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