準群

準群( Q , ∗)は、二項演算∗ (すなわちマグマであり、準群が閉包性を満たさなければならないことを示す) を持つ集合Qであり、ラテン方格の性質を満たします。これは、 Qの各aとbに対して、 Q内に一意の要素xとy が存在し、両方が を満たすことを 意味します。$${\displaystyle a\ast x=b}$$$${\displaystyle y\ast a=b}$$ が成り立つ。（言い換えれば、集合の各要素は、準群の乗算表（ケイリー表）の各行と各列にそれぞれちょうど1回ずつ出現する。この性質により、有限準群、特に有限群のケイリー表はラテン方陣となる。） xとyが一意であるという要件は、マグマが消去可能であるという要件に置き換えることができる。^{[ 5 ] [ a ]}

これらの方程式の唯一の解は、x = a \ bおよびy = b / aと表されます。演算「\」と「/」は、それぞれ左除算と右除算と呼ばれます。ケイリー表に関して言えば、最初の式（左除算）は、a行のbのエントリがx列にあることを意味し、2 番目の式（右除算）は、a列のbのエントリがy行にあることを意味します。

空の二項演算を備えた空集合は、この準群の定義を満たします。一部の著者は空の準群を認めていますが、他の著者はそれを明示的に除外しています。^{[ 6 ] [ 7 ]}

ある代数構造において、恒等式とは、すべての変数が暗黙のうちに全称量化され、かつすべての演算がその構造固有の基本演算に含まれる方程式のことである。恒等式のみによって与えられる公理を満たす代数構造は、多様体と呼ばれる。普遍代数における多くの標準的な結果は、多様体に対してのみ成り立つ。左除算と右除算を基本演算とすれば、準群は多様体を形成する。

右準群( Q , ∗, /)は、次の恒等式を満たす 型(2, 2)代数である。$${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$

左準群( Q , ∗, \)は、次の恒等式を満たす 型(2, 2)代数である。$${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

準群 ( Q 、 ∗、 \、 /)は、次の恒等式を満たす型(2, 2, 2)代数(つまり、3 つの二項演算を備えている) です。^{[ b ]}$${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$$${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

言い換えれば、同じ側で同じ要素に対して乗算と除算をどちらを先に、あるいは続けて行っても、最終的な結果は変わらない。

したがって、( Q , ∗)が前節の定義による準群であるならば、( Q , ∗, \, /)は普遍代数の意味で同じ準群である。また、逆もまた然りである。( Q , ∗, \, /)が普遍代数の意味で準群であるならば、( Q , ∗)は最初の定義による準群である。

準群は、すべてのx、yに対して次の同値な恒等式のいずれかが成り立つ場合、半対称である。 ^{[ c ]}

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y )

このクラスは特別に見えるかもしれないが、すべての準群Q は、次の操作によって直積立方体Q ³上に半対称準群Q Δ を誘導する。

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁ , x ₁ ∗ y ₂ )、

ここで「//」と「\\」は、y // x = x / yおよびy \\ x = x \ yで与えられる共役除算演算です。

準群は半対称三元性を示すことがある。^{[ 11 ]}

より狭義のクラスは、すべての共役が1 つの演算として一致する完全対称準群( TS-準群と略されることもある) です。 x ∗ y = x / y = x \ y。完全対称準群 (同じ概念) を定義する別の方法は、可換な半対称準群、つまりx ∗ y = y ∗ xとして定義することです。

冪等な全対称準群は、まさに（つまり、と一対一で）シュタイナー三つ組であるため、そのような準群はシュタイナー準群とも呼ばれ、後者はsquagと略されることもあります。sloopという用語は、ループの類似物、すなわち、 x ∗ x = xではなくx ∗ x = 1を満たす全対称ループを指します。冪等性がない場合、全対称準群は、一般化楕円三次曲線（GECC）とも呼ばれる拡張シュタイナー三つ組の幾何学的概念に対応します。

準群( Q , ∗)は、すべてのc , x , y ∈ Qに対して次の含意が成り立つ場合、弱完全反対称であると呼ばれる。 ^{[ 12 ]}

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ xはx = yを意味します。

準群( Q , ∗)は、さらにすべてのx , y ∈ Qに対して次の含意が成り立つ場合、完全に反対称であると呼ばれる。 ^{[ 12 ]}

x ∗ y = y ∗ xはx = yを意味します。

この特性は、例えばDammアルゴリズムで必要とされます。

準群の定義は、左乗算演算子L _x、右乗算演算子R _x  : Q → Qの条件として扱うことができ、これは次のように定義されます。

L _x ( y ) = xy

R _x ( y ) = yx

定義によれば、両方の写像はQからQ 自身への全単射です。マグマQは、 Qのすべてのxに対して、これらの演算子がすべて全単射である場合に限り、準群となります。逆写像は左除算と右除算、つまり、

L ⁻¹ _x ( y ) = x \ y

R ⁻¹ _x ( y ) = y / x

この表記法では、準群の乗算と除算演算間の恒等式（普遍代数の節で述べたもの）は次のようになる。

L _x L ⁻¹ _x = id はx ( x \ y ) = yに対応します                    

L ⁻¹ _x L _x = id はx \ ( xy ) = yに対応します                    

R _x R ⁻¹ _x = id ( y / x ) x = yに対応                    

R ⁻¹ _x R _x = id ( yx ) / x = yに対応                    

ここで、id はQ上の恒等写像を表す。

有限準群の乗算表はラテン方陣である。これは、 n個の異なる記号が各行と各列にそれぞれ 1 回ずつ出現するように配置されたn × nの表である。

逆に、ラテン方陣は、さまざまな方法で準群の乗算表として扱うことができます。境界行（列ヘッダーを含む）と境界列（行ヘッダーを含む）は、それぞれ要素の任意の順列にすることができます。小さなラテン方陣と準群を参照してください。

準群の二項演算は、左乗算演算子L _xと右乗算演算子R _xの両方が全単射であり、したがって可逆であるという意味で可逆である。

すべてのループ要素には、次の式で表される一意の左逆と右逆が存在する。

x ^λ = e / x x ^λ x = e          

x ^ρ = x \ e xx ^ρ = e          

ループは、すべてのxに対してx ^λ = x ^ρが成り立つ場合、 （両側）逆元を持つと言われます。この場合、逆元は通常x ⁻¹で表されます。

ループにおける逆元の概念には、より強力なものがあり、それらはしばしば有用である。

• ループは、すべてのxとyに対してx ^λ ( xy ) = yが成り立つ場合、左逆の性質を持つ。同等に、L ⁻¹ _x = L _{x ^λ}またはx \ y = x ^λ yである。
• ループは、すべてのxとyに対して( yx ) x ^ρ = yが成り立つ場合、正しい逆性質を持つ。同等に、R ⁻¹ _x = R _{x ^ρ}またはy / x = yx ^ρである。 
• ループは、( xy ) ^λ = y ^λ x ^λまたは同等に、( xy ) ^ρ = y ^ρ x ^ρの場合、反自己同型逆の性質を持ちます。
• ループは、( xy ) z = eの場合に限り、x ( yz ) = eとなる場合に限り、弱い逆の性質を持つ。これは、 ( xy ) ^λ x = y ^λまたは同等にx ( yx ) ^ρ = y ^ρを介して逆関数で表すことができる。

ループが逆性質を持つとは、左逆性質と右逆性質の両方を持つ場合をいう。逆性質を持つループは、反自己同型性と弱逆性質も持つ。実際、上記の4つの恒等式のうち2つを満たすループは逆性質を持ち、したがって4つすべてを満たす。

左逆、右逆、または反自己同型逆の性質を満たすループは、自動的に両側逆を持つ。

QとPを準群とする。QからPへの準群ホモトピーは、QからPへの写像の三つ組( α , β , γ )であり、

α ( x ) β ( y ) = γ ( xy )

Qのすべてのx、yに対して。準群準同型とは、3 つの写像が等しいホモトピーのことです。

アイソトピーとは、3 つの写像( α、β、γ )のそれぞれが全単射であるようなホモトピーのことです。2 つの準群は、それらの間にアイソトピーが存在する場合にアイソトピーであると言えます。ラテン方陣の観点から言えば、アイソトピー( α、β、γ )は、行αの置換、列βの置換、および基となる要素集合γの置換によって与えられます。

オートトピーとは、準群からそれ自身への同位写像のことである。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群を部分群とする群を形成する。

すべての準群はループと同位です。ループが群と同位であれば、その群と同型であり、したがってそれ自体が群です。ただし、群と同位な準群は必ずしも群である必要はありません。たとえば、乗法が( x , y ) ↦ ( x + y )/2で与えられるR上の準群は加法群( R , +)と同位ですが、単位元がないためそれ自体は群ではありません。すべてのメディアル準群は、ブルック・豊田の定理によりアーベル群と同位です。

左除算と右除算は、定義式内の変数を入れ替えることによって準群を形成する例です。元の演算 ∗ (つまり、x ∗ y = z ) から、5 つの新しい演算、x o y  := y ∗ x (反対演算)、/と\、およびそれらの反対演算を形成できます。これにより、合計 6 つの準群演算ができます。これらは∗の共役またはパラストロフ と呼ばれます。これらの演算のうち任意の 2 つは、互いに (およびそれ自身に対して) 「共役」または「パラストロフ」であると言われます。

集合Qに ∗ と · という 2 つの準群演算があり、 そのうちの 1 つがもう 1 つの共役演算と同位である場合、それらの演算は互いに同位であると言われます。この「同位性」の関係には、パラトピックなど、他にも多くの名前があります。

n項準群とは、n項演算( Q , f )を持つ集合で、f : Q ⁿ → Qであり、方程式f ( x ₁ , ..., x _n ) = yは、他のn個の変数が任意に指定されている場合、任意の 1 つの変数に対して一意の解を持つ。多項式または多項式とは、ある非負整数nに対してn項であることを意味する。 

0項準群（またはヌル項準群）は、 Qの定数要素に他なりません。1項準群（または単項準群）は、Q からQ自身への全単射です。2項準群（または二項準群）は、通常の準群です。

多項準群の一例として、反復群演算y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _nが挙げられます。群は結合法則を満たすため、演算の順序を指定するために括弧を使用する必要はありません。演算の順序が指定されていれば、同じまたは異なる群演算や準群演算を任意の順序で実行することによっても、多項準群を構成できます。

これらのいずれの方法でも表現できない多項準群が存在する。n項準群は、その演算を次の方法で2つの演算の合成に分解できない場合、既約である。

f ( x ₁ , ..., x _n ) = g ( x ₁ , ..., x _{i −1} , h ( x _i , ..., x _j ), x _{j +1} , ..., x _n ),

ここで1 ≤ i < j ≤ nかつ( i , j ) ≠ (1, n )である。有限既約n項準群はすべてのn > 2に対して存在する。詳細はAkivis & Goldberg (2001)を参照のこと。

n項結合法則を持つn項準群はn項群と呼ばれる。