円分的特徴

数論において、円分指標は、単位根群に対するガロア作用を与えるガロア群の指標である。環R上の1 次元表現として、その表現空間は一般にR (1)で表される（つまり、表現χ : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R )）。

p を素数として、G _{Q を}有理数の絶対ガロア群とします。単位根は、原始的なp ⁿ乗単位根ζ _{p ⁿ}の任意の選択によって生成される、順序 の巡回群を形成します。 $${\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}} =1\右\}}$$${\displaystyle p^{n}}$

のすべての原始根はガロア共役なので、ガロア群は自己同型によって に作用します。 を生成するの原始根を固定した後、 の任意の元はのべき乗として表すことができます。ここで、指数は の一意の元です。したがって、次のように書くことができます。 ${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$

$${\displaystyle \sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}$$

ここで、 は、と の両方に依存する、上記のような一意の要素です。これは、mod p ⁿ円分指標と呼ばれる群準同型を定義します。 ${\displaystyle a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}}$$これは、アクションが準同型に対応するため、文字 として表示されます。 ${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} ) ^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$

とを固定し、を変化させると、p 進整数の環の単位の逆極限の元を与えるという意味で、 は互換性のあるシステムを形成します。したがって、 はp進円分特性と呼ばれる群準同型に組み立てられます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a(\sigma ,n)}$ $${\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}$$${\displaystyle {\chi _{p^{n}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1} } (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{整列}}}$$ の作用をすべてのp乗単位根に同時にエンコードします。実際、クルル位相とp進位相を備えることで、これは位相群の連続表現になります。 ${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

すべての素数にわたってℓ を変化させると、 ℓ進円分特性から互換性のある ℓ 進表現システムが得られます (互換性のある表現システムを検討する場合、標準的な用語では、 pの代わりに素数を表す記号ℓを使用します)。つまり、χ = { χ _ℓ } _{ℓ は}ℓ進表現 の「ファミリー」です。

${\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}$

異なる素数間の一定の互換性を満たします。実際、χ _{ℓ は}ℓ 進表現の厳密に互換性のあるシステムを形成します。

p進円分特性は、乗法群スキームG _m、Q上のQのp進Tate 加群です。そのため、その表現空間は、Qのp ⁿ乗根の群の逆極限として見ることができます。

コホモロジーの観点から見ると、p進円分特性は、 G _mの最初のp進エタールコホモロジー群の双対です。また、射影多様体のエタールコホモロジー、つまり射影直線にも見られ、 H ² _ét ( P ¹ )の双対です。

モチーフの観点から見ると、p進円分特性はテイトモチーフZ (1)のp進実現である。グロタンディークモチーフとしては、テイトモチーフはH ² ( P ¹ )の双対である。^{[1] [説明が必要]}

p進円分特性はいくつかの優れた特性を満たします。

• これはすべての素数ℓ ≠ pで非分岐です(つまり、ℓでの慣性部分群は自明に作用します)。
• _ℓ ≠ pに対してフロベニウス元であるならば、χ _p (Frob _ℓ ) = ℓ
• pで結晶化しています。

• テイトツイスト