自由境界問題

数学において、自由境界問題（FB 問題）は、未知の関数と未知の領域の両方について解くべき偏微分方程式である。問題の開始時点では不明な境界のセグメントが自由境界である。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \オメガ}$

FB は、物理的現象から経済的、金融的、生物学的現象まで、媒体の追加的な影響を伴うさまざまな数学モデルで発生します。この影響は一般に媒体の質的変化であり、したがって相転移の出現です。氷から水、液体から結晶、購入から販売 (資産)、アクティブから非アクティブ (生物学)、青から赤 (ぬり絵ゲーム)、無秩序から秩序 (自己組織化臨界) などです。このような臨界の興味深い側面は、いわゆる砂山ダイナミック (または内部 DLA) です。

最も典型的な例は氷の融解です。氷の塊が与えられれば、適切な初期条件と境界条件が与えられれば熱方程式を解いてその温度を決定することができます。しかし、いずれかの領域の温度が氷の融点よりも高い場合、その領域は液体の水で占められます。氷/液体の界面から形成される境界は、PDE の解によって動的に制御されます。

氷の融解は、温度場 のステファン問題であり、次のように定式化されます。のときに存在する相 1 とのときに存在する相 2の 2 つの相からなる領域を占める媒体を考えます。2 つの相の熱拡散率が と であるとします。たとえば、水の熱拡散率は 1.4×10 ⁻⁷ m ² /s ですが、氷の拡散率は 1.335×10 ⁻⁶ m ² /s です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle T<0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

1つの相のみからなる領域では、温度は熱方程式によって決まります。領域では、 ${\displaystyle T>0}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{1}\nabla T)+Q}$

この地域にいる間、 ${\displaystyle T<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{2}\nabla T)+Q.}$

これは、（既知の）境界上の適切な条件に従います。熱源または熱シンクを表します。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle Q}$

を、時刻 における表面とします。この表面は、2つの相の間の界面です。 を、第2相（固体）への単位外向き法線ベクトルとします。ステファン条件は、方向 における自由表面の速度を支配する方程式を与えることによって、表面の発展を決定します。具体的には、 ${\displaystyle \Gamma_{t}}$${\displaystyle T=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2},}$

ここで、 は融解潜熱です。 は、 が領域 から に近づくときの勾配の限界を意味し、 は、 が領域 から に近づくときの勾配の限界を意味します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Gamma_{t}}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Gamma_{t}}$${\displaystyle T<0}$

この問題では、領域全体は事前に分かっていますが、時刻 における氷と液体の界面しか分かりません。ステファン問題を解くには、各領域の熱方程式を解くだけでなく、自由境界を追跡する必要があります。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \ガンマ}$

1 フェーズのステファン問題は、またはのいずれかをゼロにすることに相当します。これは、2 フェーズ問題の特殊なケースです。より複雑な方向では、任意の数のフェーズを持つ問題も検討できます。 ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

もう一つの有名な自由境界問題は障害物問題であり、これは古典的なポアソン方程式と密接な関係がある。微分方程式の解は

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=g}$

変分原理を満たす、つまり関数を最小化する

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Omega } fu\,\mathrm {d} x}$

境界上の値をとるすべての関数について、障害物問題では追加の制約を課す。関数の主題を次の条件に 最小化する。${\displaystyle u}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle u\leq \varphi \,}$

において、ある与えられた関数に対して。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \varphi}$

一致集合Cをの領域として定義します。さらに、が に等しくない 領域として非一致集合を定義し、 2つの間の境界として自由境界を定義します。すると、自由境界問題が満たされます 。${\displaystyle u=\varphi}$${\displaystyle N=\Omega \setminus C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{ in }}N,\quad u=g}$

の境界上で、 ${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle u\leq \varphi {\text{ in }}|\Omega ,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{ on }}\Gamma .\,}$

となるすべての関数の集合は 凸集合であることに注意してください。ポアソン問題は関数の線形部分空間上の二次関数の最小化に対応しますが、自由境界問題は凸集合上の最小化に対応します。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v\leq \varphi }$

多くの自由境界問題は、解析上、変分不等式として見ることができる。この点を説明するために、まず凸集合上の実変数の関数の最小化を考える。最小化関数は、次の条件によって特徴付けられる。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \nabla F(x)\cdot (y-x)\geq 0{\text{ for all }}y\in C.\,}$

が の内部にある場合、 の勾配はゼロでなければなりません。が の境界上にある場合、におけるの勾配は境界に対して垂直でなければなりません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

同じ考え方は、ヒルベルト空間の凸部分集合上の微分可能関数の最小化にも適用され、勾配は変分微分として解釈される。この考え方を具体化するために、障害物問題に適用すると、次のように記述できる。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla ^{2}u+f)(v-u)\,\mathrm {d} x\geq 0{\text{ for all }}v\leq \varphi .}$

この定式化により弱解の定義が可能になる。最後の方程式 の部分積分を用いると、

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (v-u)\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }f(v-u)\,\mathrm {d} x{\text{ for all }}v\leq \varphi .}$

この定義では、楕円境界値問題の弱定式化とほぼ同じように、 が 1 つの導関数を持つこと のみが要求されます。${\displaystyle u}$

楕円型偏微分方程式の理論では、関数解析の議論を用いて、微分方程式の弱解の存在を比較的容易に証明することができます。しかし、示された弱解は、望ましいよりも導関数の少ない関数の空間に存在します。たとえば、ポアソン問題の場合、 にある弱解が存在することは容易に主張できますが、2 次導関数を持たない可能性があります。次に、微積分による推定を適用して、弱解が実際に十分に正則であることを証明します。 ${\displaystyle H^{1}}$

自由境界問題の場合、このタスクは 2 つの理由からさらに困難です。1 つ目は、解は自由境界を横切ると不連続な導関数を示すことが多いのに対し、自由境界から離れた近傍では解析的である可能性があることです。2 つ目は、自由境界自体の規則性も示さなければならないことです。たとえば、ステファン問題の場合、自由境界は表面です。 ${\displaystyle C^{1/2}}$

純粋に学術的な観点から、自由境界は、通常過剰決定問題と呼ばれるより大きなクラスの問題に属します。または、David Kinderlehrer と Guido Stampacchia が著書「コーシーデータのマッチング問題」で取り上げた問題です。その他の関連する FBP としては、ポンペイ問題、シファーの予想などがあります。以下の外部リンクを参照してください。

同様の問題をモデル化するために使用される別のアプローチは、フェーズフィールドモデルです。

• アレクシアデス、ヴァシリオス（1993）、融解および凍結プロセスの数学的モデリング、ヘミスフィア・パブリッシング・コーポレーション、ISBN 1-56032-125-3
• フリードマン、アヴナー（1982）、変分原理と自由境界問題、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ISBN 978-0-486-47853-1
• キンダーラー、デイビッド、スタンパッキア、グイド（1980）、変分不等式とその応用入門、アカデミックプレス、ISBN 0-89871-466-4
• カファレッリ、ルイス、サルサ、サンドロ（2005）、自由境界問題への幾何学的アプローチ。数学大学院研究、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、ISBN 0-8218-3784-2
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012)「障害物型問題における自由境界の正則性」。数学大学院研究、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、ISBN 978-0-8218-8794-3

• PDEにおけるマッチング問題、
• ポンペイウ問題
• シファーの予想、