ステファン問題

数学とその応用、特に物質の相転移において、ステファン問題は、偏微分方程式(PDE) システムの境界値問題の一種であり、相間の境界が時間とともに移動する可能性がある。古典的なステファン問題は、相変化(たとえば、氷などの固体が融解して水に変わること)を起こす物質の 2 つの相間の境界の変化を記述することを目的としています。これは、境界条件と初期条件が与えられた場合の両方の領域の熱方程式を解くことで達成されます。相間の界面 (古典的な問題) では、温度は相変化温度に設定されます。数学システムを閉じるには、ステファン条件という別の方程式が必要です。これは、移動する界面の位置を定義するエネルギーバランスです。この変化する境界は未知の(超) 面であることに注意してください。したがって、ステファン問題は自由境界問題の例です。

類似の問題は、例えば多孔質媒体の流れ、数理ファイナンス、モノマー溶液からの結晶成長の研究でも発生します。^[1]

この問題は、 1890年頃に地面の凍結と海氷の形成に関する一連の4つの論文でこの種の問題の一般論を導入したスロベニアの物理学者、ヨゼフ・ステファン（Jožef Stefan）にちなんで名付けられました。^{[2]しかし、約60年前の1831年には、地球の地殻の形成に関する同等の問題が}ラメとクラペイロンによって研究されていました。ステファンの問題には相似解があり、これはしばしばノイマン解と呼ばれ、1860年代初頭の一連の講義で提示されたと言われています。

シュテファン問題の歴史についての包括的な説明はルビンシュタイン^{[3]に見られる。}

数学的な観点から見ると、位相は、基礎となる偏微分方程式の解が連続し、偏微分方程式の次数まで微分可能な領域にすぎません。物理的な問題では、このような解は各位相の媒体の特性を表します。移動境界 (またはインターフェイス) は、隣接する位相を分離する極小の薄い表面です。したがって、基礎となる偏微分方程式とその導関数の解は、インターフェイス全体で不連続になる可能性があります。

基礎となる PDE は相変化界面では有効ではありません。したがって、閉包を得るには、追加の条件 (ステファン条件) が必要です。ステファン条件は、相境界の両側で評価される量の関数として、移動する境界の局所速度を表し、通常は物理的な制約から導き出されます。たとえば、相変化を伴う熱伝達の問題では、エネルギー保存則により、境界での熱流束の不連続性は、潜熱放出率(界面の局所速度に比例) によって考慮される必要があります。

この式の正則性は主にルイス・カファレッリ^{[4] [5]}によって研究され、アレッシオ・フィガッリ、ザビエル・ロス＝オトン、ジョアキン・セラ^{[6] [7]}の研究によってさらに改良された。

1 相ステファン問題は、物質相の 1 つを無視できるという仮定に基づいています。通常、これは相が相変化温度にあると仮定することで実現され、したがって、この温度からの変化は相変化につながります。これは数学的に便利な近似であり、プロセスの背後にある基本的な考え方を示しながら分析を簡素化します。さらに標準的な簡素化は、無次元形式で作業することです。これにより、界面の温度を 0 に設定し、遠距離場の値を または に設定できます。 ${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

初期融解温度がである半無限の 1 次元氷ブロックを考えます。ステファン問題の最もよく知られている形式は、左側の境界に一定の温度を課して融解し、水で占められた領域を残すというものです。融解した深さは で示され、時間の関数として未知です。ステファン問題は次のように定義されます。 ${\displaystyle u=0}$${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$${\displaystyle [0;s(t)]}$${\displaystyle s(t)}$

• 熱方程式:${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x,t)\in [0;s(t)]\times [0;+\infty ]}$
• 左側の境界上の、融点より高い固定温度:${\displaystyle u(0,t)=1,\quad \forall t>0}$
• 融点における界面は${\displaystyle u\left(s(t),t\right)=0}$
• ステファン条件：ここで はステファン数、すなわち潜熱と比顕熱の比です（ここで比は質量で割った値を示します）。この定義は無次元化から自然に導かれ、多くのテキストで使用されています^{[8] [9]ただし、}このの逆数として定義することもできます。${\displaystyle \beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)}$${\displaystyle \beta }$
• 初期温度分布:${\displaystyle u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0}$
• 溶けた氷塊の初期の深さ:${\displaystyle s(0)=0}$

自己相似変数を用いて得られるノイマン解は、境界の位置が超越方程式を満たす場合、液体の温度は次のように表されることを示しています。${\textstyle s(t)=2\lambda {\sqrt {t}}}$${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}$$$${\displaystyle T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}$$

固体の融解のモデル化以外にも、ステファン問題はより複雑な問題の漸近的挙動（時間的）のモデルとしても使用される。例えば、ペゴ^{[10] は}、相分離問題に対するカーン・ヒリアード解が中間の時間スケールで非線形ステファン問題の解として振る舞うことを証明するために、整合漸近展開を使用している。さらに、二成分混合物に対するカーン・ヒリアード方程式の解は、ステファン問題の解と十分に比較可能である。^{[11]この比較では、ステファン問題は、外側の境界に均質}ノイマン境界条件を適用したフロントトラッキング、移動メッシュ法を使用して解かれた。また、ステファン問題は、固体-流体または流体-流体以外の相転移を記述するためにも適用できる。^[12]

ステファン問題を金属粉末の電気化学的析出における金属結晶化に適用することは、カルサル^{[13]によって構想された。}

ステファン問題にも豊富な逆理論がある。このような問題では、融解深度（または曲線または超曲面）sが既知のデータであり、問​​題はuまたはfを見つけることである。^[14]

古典的なステファン問題は、一定の熱物理的特性（通常は相に無関係）と一定の相変化温度を持ち、上記の例では、境界での初期温度から明確な値への瞬間的な切り替えを伴う静止材料を扱っています。実際には熱特性は変化する可能性があり、特に相が変化すると常に変化します。相変化時の密度の急上昇は流体の動きを引き起こします。結果として生じる運動エネルギーは、標準的なエネルギーバランスには考慮されません。瞬間的な温度切り替えでは、初期の流体速度は無限大であり、結果として初期の運動エネルギーは無限大になります。実際、液体層はしばしば動いているため、熱方程式に移流項または対流項が必要になります。溶融温度は、界面のサイズ、曲率、または速度によって変化する可能性があります。温度を瞬間的に切り替えることは不可能であり、正確に固定された境界温度を維持することは困難です。さらに、ナノスケールでは温度がフーリエの法則に従わない場合もあります。

近年、これらの問題の多くは、さまざまな物理的応用のために取り組まれてきました。過冷却溶融物の凝固において、相変化温度が界面速度に依存する解析は、Font et alで見つけることができます。^[15]可変相変化温度とエネルギー/密度効果を伴うナノスケールの凝固は、でモデル化されています。^{[16] [17]チャネル内の流れを伴う凝固は、溶岩[18]}とマイクロチャネル^[19]のコンテキストで、または自由表面を伴う凝固は、氷層上で凍結する水のコンテキストで研究されています。^{[20] [21]}各相の異なる特性、可変相変化温度、およびフーリエの法則または Guyer-Krumhansl 方程式に基づく熱方程式を含む一般的なモデルは、で分析されています。^[22]

• 自由境界問題
• オルガ・オレイニク
• ショシャナ・カミン
• ステファンの方程式

• Vasil'ev, FP (2001) [1994]、「ステファン条件」、数学百科事典、EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994]、「ステファン問題」、数学百科事典、EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994]、「ステファン問題、逆」、数学百科事典、EMS プレス