有限次元分布

数学において、有限次元分布は測度と確率過程の研究におけるツールです。測度（または過程）の有限次元ベクトル空間（または有限の時間集合）への「投影」を研究することで、多くの情報が得られます。

を測度空間とします。の有限次元分布はプッシュフォワード測度であり、ここで、、、は任意の測定可能な関数です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

を確率空間とし、を確率過程とする。の有限次元分布は、 の積空間上の押し出し測度であり、次のように定義される。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}.}$

多くの場合、この条件は測定可能な 長方形の観点から述べられます。

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

過程の有限次元分布の定義は、測度の定義と次のように関連している。の法則は、から へのすべての関数の集合上の測度であることを思い出す。一般に、これは無限次元空間である。 の有限次元分布は、有限次元積空間 上のプッシュフォワード測度であり、ここで ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

自然な「時々評価する」機能です。 ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}}$

確率測度 のシーケンスがタイトであり、 のすべての有限次元分布が、ある確率測度の対応する有限次元分布に弱収束する場合、 はに弱収束することが示されます。 ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \mu_{n}}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle \mu}$

• 法則（確率過程）