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| 正八角形 | |
|---|---|
 正八角形 | |
| タイプ | 正多角形 |
| エッジと頂点 | 18 |
| シュレーフリ記号 | {18}、t{9} |
| コクセター・ディンキン図 |     |
| 対称グループ | 二面角（D 18）、位数 2×18 |
| 内角（度） | 160° |
| プロパティ | 凸状、環状、正三角形、等角、等軸 |
| デュアルポリゴン | 自己 |
幾何学において、十八角形（オクタデカゴン、octadecagon [1]）または十八角形は、18辺を持つ多角形である。[2]
正八角形
正18角形はシュレーフリ記号{18}を持ち、2種類の辺が交互に並ぶ準正切頂 八角形t{9}として構成することができます。
工事
18 = 2 × 3 2なので、コンパスと定規を使って正18角形を作図することはできません。[3]しかし、ニューシス、つまりトマホークを使った角の三等分を使えば作図可能です。
次の近似的な作図は、八角形と非常によく似ており、十八角形は切頂八角形として作図できます。また、コンパスと定規のみを使用して作図することも可能です。
対称
正八角形には、次数 36 のDih 18対称性があります。 5 つの部分群二面対称性: Dih 9、 (Dih 6、 Dih 3 )、および (Dih 2 Dih 1 ) と、6 つの環状群対称性: (Z 18、 Z 9 )があります。 、(Z 6、Z 3 )、(Z 2、Ｚ１）。
これら 15 の対称性は、12 の異なる対称性で 18 角形上に見られます。ジョン・コンウェイはこれらを文字とグループの順序でラベル付けしています。[4]正則形式の完全な対称性はr36で、対称性がない場合はa1とラベル付けされます。二面体対称性は、頂点 (対角の場合はd ) または辺 (垂直の場合はp )を通過するかどうかによって分類され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はiと分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序から gとラベル付けされています。
各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g18サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。
解剖
コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。[6] 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正 18 角形の場合、m =9 であり、9 個の菱形が 4 セット、合計 36 個に分割できます。この分解は、4608 面のうち 36 面を持つ9 次元立方体のペトリ多角形投影に基づいています。リストOEIS : A006245 には、最大 18 回の回転と反射のキラル形式を含め、解の数が 112018190 と列挙されています 。
用途
正三角形、九角形、および十八角形は、平面上の点を完全に囲むことができ、この特性を持つ正多角形の17通りの組み合わせのうちの1つです。[7]ただし、このパターンは平面のアルキメデスのタイリングには拡張できません。三角形と九角形はどちらも辺の数が奇数であるため、どちらも他の2種類の多角形を交互に配置するリングで完全に囲まれることはできません。
正 18 角形は、凹状の 6 角形の隙間のある平面をタイル張りすることができます。また、別のタイル張りでは、9 角形と 8 角形の隙間が混在しています。最初のタイル張りは、切頂 6 角形のタイル張りに関連し、2 番目は切頂 3 角形のタイル張りに関連します。
関連図
十八芒星は 18 辺の星型多角形で、記号 {18/n} で表されます。正多角形には {18/5} と {18/7} の 2 つがあり、どちらも同じ点を使用しますが、5 番目または 7 番目の点ごとに接続されます。また、5 つの複合語もあります。{18/2} は 2{9} つまり 2 つの七角形に縮小され、{18/3} は 3{6} つまり 3 つの六角形に縮小され、{18/4} と {18/8} は 2{9/2} と 2{9/4} つまり 2 つの七角形に縮小され、{18/6} は 6{3} つまり 6 つの正三角形に縮小され、最後に {18/9} は 9{2} つまり 9 つの二角形に縮小されます。
正八角形とエニアグラムのより深い切断により、等間隔の頂点と2つの辺の長さを持つ等角（頂点推移的）な中間の18角形が形成される。他の切断では二重被覆が形成される：t{9/8}={18/8}=2{9/4}、t{9/4}={18/4}=2{9/2}、t{9/2}={18/2}=2{9}。[8]
ペトリー多角形
正斜正十八角形は、コクセター平面からの斜直交射影で示される、いくつかの高次元多面体のペトリー多角形です。
参考文献
- ^ キンゼイ、L. クリスティン、ムーア、テレサ E. (2002)、対称性、形状、表面：幾何学による数学入門、シュプリンガー、p. 86、ISBN 9781930190092。
- ^ アダムス、ヘンリー（1907）、カッセルのエンジニアハンドブック：エンジニアリングのすべての分野における事実と公式、原理と実践を網羅、D.マッケイ、p.528。
- ^ コンウェイ、ジョン B. (2010)、数学的つながり: キャップストーンコース、アメリカ数学会、p. 31、ISBN 9780821849798。
- ^ John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 20 章、一般化された Schaefli 記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278)
- ^ ヒルシュホーン＆ハント 1985年。
- ^ コクセター『数学レクリエーションとエッセイ』第 13 版、p.141
- ^ ダラス、エルムズリー・ウィリアム（1855）、平面実用幾何学の要素など、ジョン・W・パーカー＆サン、p. 134。
- ^ 数学の明るい面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録（1994年）、多角形の変容、ブランコ・グリュンバウム
- Hirschhorn, MD; Hunt, DC (1985)、「平面を敷き詰める正凸五角形」(PDF)、Journal of Combinatorial Theory、Series A、39 (1): 1–18、doi : 10.1016/ 0097-3165 (85)90078-0、ISSN 1096-0899、MR 0787713、2020-10-30取得
- 八角形
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「10 角形」。MathWorld。