正五角形

幾何学において、正五角形とは、ユークリッド平面上の5辺の長さが等しい多角形のことです。その5つの頂角は様々な値をとることができ、それによって五角形の族を形成することができます。一方、正五角形は、辺の長さが等しいだけでなく、5つの角がすべて等しい（108度）という点で、他に類を見ないものです。

互いに交差する4つの等しい円を閉じた鎖状に配置することで、凸型の正五角形を決定できます。各円の中心は、五角形の4つの頂点のうちの1つです。残りの頂点は、鎖状に配置された最初の円と最後の円の交点のいずれかによって決定されます。

凸型の正五角形を三角形に分割すると、2つの三角形は二等辺三角形（オレンジと青の三角形）になり、もう1つはより一般的な三角形（緑の三角形）になります。隣接する角が与えられていると仮定します。${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$。

正弦定理によれば、緑色の三角形と青色の三角形を分ける線の長さは次のようになります。

${\displaystyle a=2\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right).}$

オレンジ色と緑色の三角形を分ける線分の長さの二乗は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=1+a^{2}-2(1)(a)\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta }{2}}\right)\\&=1+4\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)-4\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left(\alpha +{\frac {\beta }{2}}\right).\\\end{aligned}}}$

余弦定理によれば、 δのコサインは図からわかる。

${\displaystyle \cos(\delta )={\frac {1^{2}+1^{2}-b^{2}}{2(1)(1)}}\ .}$

簡略化すると、δはαとβの関数として得られる。

${\displaystyle \delta =\arccos \left[\cos(\alpha )+\cos(\beta )-\cos(\alpha +\beta )-{\frac {1}{2}}\right].}$

五角形の残りの角度は幾何学的に求めることができます。オレンジと青の三角形の残りの角度は、二等辺三角形の2つの角度が等しく、3つの角度の合計が180°であることに注目することで簡単に求めることができます。${\displaystyle \epsilon ,\gamma ,}$そして、緑の三角形の残りの 2 つの角度は、五角形の角度の合計が 540°、緑の三角形の角度の合計が 180°、角度が 180°、緑の三角形の角度の合計が 540°、緑の三角形の角度の合計${\displaystyle \gamma }$は、その３つの構成要素の合計であり、角度は${\displaystyle \epsilon }$それは、その2つの構成要素の合計です。

円に内接する五角形は、辺の長さが等しい場合に限り正五角形 であり、したがって正五角形である。同様に、接線に内接する五角形は、角の長さが等しい場合に限り正五角形であり、したがって正五角形である。^{[ 2 ]}

平面をタイル張りする正三角形凸五角形の無限の族が 2 つあり、一方は隣接する 2 つの補角を持ち、もう一方は隣接しない 2 つの補角を持ちます。これらの族はそれぞれ単面体タイプ 1 とタイプ 2 に属し、後者の族にはタイプ 4 と 8 にも適合する 2 つの特殊なケースがあります。各族は 1 つの自由度を持ち、1 つの 180° の角度を持つ退化五角形で交わります。これらの五角形の中には、複数の方法でタイル張りできるものもあり、平面をタイル張りできるが、上記の 2 つの族のどちらにも属さない正三角形五角形の散発的な例が 1 つあります。これはタイプ 7 に属し、その角度はおおよそ 89°16'、144°32.5'、70°55'、135°22'、99°54.5' であり、2 つの補角はありません。^{[ 3 ]}

正五角形は、全く交差しない場合、1回交差する場合、2回交差する場合、または5回交差する場合があります。交差しないものは単純五角形と呼ばれ、凸型または凹型に分類されます。ここでは、2回または5回交差する正五角形を「星型」と呼びます。このセクションでは、ちょうど1回交差する正五角形は除外します。

一度だけ交差する五角形を除外すると、残りの五角形は2次元平面上の2つの変数の関数としてプロットできます。各値のペア（α、β）は平面上の1点に対応し、同時に1つの五角形にも対応します。

αとβの値の周期性と、α ≥ β ≥ δという条件により、マッピングのサイズを制限することができます。座標軸αとβを持つ平面では、方程式α  =  βは平面を2つの部分に分割する直線です（図では南側の境界がオレンジ色で示されています）。方程式δ  =  βは曲線として平面を異なるセクションに分割します（北側の境界は青色で示されています）。

両方の境界線は、平面上の連続した領域を囲んでおり、その領域の点はそれぞれ固有の正五角形に対応します。領域外の点は、単に同じ五角形に一致するだけです。つまり、回転または反転すると、既に説明した他の五角形と一致する五角形です。これらの境界線に正確に一致する五角形は、対称軸を持ちます。

固有写像の領域内には、星型、凹型、凸型の3種類の五角形が存在し、それぞれが新たな境界線によって区切られている。