投影フィルター

射影フィルタは、確率解析と情報幾何学、または統計に対する微分幾何学的アプローチに基づくアルゴリズムのセットであり、非線形状態空間システムのフィルタリング問題の近似解を見つけるために使用されます。 ^{[1] [2] [3]} フィルタリング問題は、信号の部分的なノイズ観測からランダム動的システムの観測されていない信号を推定することから成ります。目的は、ノイズで乱された観測の履歴を条件として信号の確率分布を計算することです。この分布により、観測の履歴が与えられた信号のすべての統計を計算できます。この分布に密度がある場合、密度は、 クシュナー・ストラトノビッチ方程式またはザカイ方程式と呼ばれる特定の確率偏微分方程式(SPDE) を満たします。非線形フィルタの密度は、無限次元関数空間で進化することが知られています。^{[4] [5]}

有限次元の確率密度族、たとえばガウス密度、ガウス混合、指数族を選択して、無限次元フィルタ密度を近似することができます。射影フィルタの基本的な考え方は、選択された密度空間の幾何学的構造を使用して、最適フィルタの無限次元 SPDE を選択された有限次元族に射影し、有限次元族の密度のパラメータに対する有限次元確率微分方程式(SDE) を取得し、それが完全なフィルタ進化を近似することです。^{[3]これを行うために、選択された有限次元族には、}情報幾何学の場合と同様に多様体構造が装備されています。射影フィルタは、キュービック センサー問題に対する最適フィルタに対してテストされました。射影フィルタは、拡張カルマン フィルタなどの標準的なアルゴリズムでは近似するのが困難だった最適フィルタの二峰性密度を効果的に追跡できました。^{[2] [6]} 射影フィルタは、実装が迅速で時間内に効率的に実行され、効率的に実装できるパラメータの有限次元SDEを提供するため、インライン推定に最適です。^[2] 射影フィルタは、より豊富な近似ファミリを選択することで近似の精度を微調整でき、一部の指数ファミリでは射影フィルタリングアルゴリズムの修正ステップが正確になるため、柔軟性もあります。^[3]一部の定式化は、ヒューリスティックベースの仮定密度フィルタ^[3]またはガラーキン法と一致します。^[6]射影フィルタは、平均二乗最小化などの正確な基準に従って、SPDE係数のみの最適近似を超えて、完全な無限次元フィルタを最適な方法で近似することもできます。^{[7]射影フィルタは、}スウェーデン国防研究機関^[1]によって研究されており、ナビゲーション、海洋ダイナミクス、量子光学および量子システム、ファイバー径の推定、カオス時系列の推定、変化点検出など のさまざまな分野にもうまく適用されています。^[8]

「射影フィルタ」という用語は、1987年にBernard Hanzonによって初めて造られ、^[9]、関連する理論と数値例は、Bernard HanzonおよびFrancois LeGlandと共同でDamiano Brigoの博士課程の研究中に完全に開発、拡張、厳密化されました。 ^{[10] [2] [3]これらの研究は、} Hellinger距離とFisher情報量メトリック の射影フィルタを扱っており、これらは、選択された指数族に無限次元SPDEの最適フィルタを射影するために使用されました。指数族は、フィルタリングアルゴリズムの予測ステップが正確になるように選択できます。^[2] 代替の射影メトリックである直接メトリックに基づく異なるタイプの射影フィルタが、ArmstrongとBrigo（2016）によって導入されました。^{[6]このメトリックでは、}混合分布の族への射影フィルタは、ガラーキン法に基づくフィルタと一致します。その後、アームストロング、ブリゴ、ロッシ・フェルッチ（2021）^[7]は、無限次元最適フィルタを近似する際に特定の最適性基準を満たす最適射影フィルタを導出している。実際、ストラトノビッチベースの射影フィルタは、選択された多様体上のSPDE個別係数の近似を最適化したが、SPDEソリューション全体を最適化しなかった。これは、最適射影フィルタを導入することで対処された。ここでの革新は、フィルタ方程式のストラトノビッチ計算バージョンに頼るのではなく、伊藤計算を直接操作することです。これは、ジェットバンドルに基づく多様体上の伊藤確率微分方程式の幾何学、いわゆる多様体上の伊藤確率微分方程式の2ジェット解釈に関する研究に基づいています。^[11]${\displaystyle L^{2}}$

ここでは、さまざまな投影フィルターの導出について説明します。

^{これは、Hanzon [9]によって概説され、Brigo、Hanzon、LeGland [10] [2]}によって完全に開発されたHellinger/Fisher計量の初期フィルタと、ArmstrongとBrigo (2016) による直接L2計量の後の射影フィルタの両方の導出です。^[6]

観測されないランダム信号は伊藤確率微分方程式によってモデル化されると仮定する。 ${\displaystyle X_{t}\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle dX_{t}=f(X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$

ここで、fと は値を持ち 、はブラウン運動である。結果が成り立つために必要なすべての正則条件の妥当性が仮定され、詳細は参考文献に記載されている。関連するノイズ観測プロセスは次のようにモデル化される 。${\displaystyle \sigma \,dW}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle Y_{t}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle dY_{t}=b(X_{t},t)\,dt+dV_{t}}$

ここで は値を 持ち、は に依存しないブラウン運動である。上で示唆したように、完全なフィルタは の事前分布 と までの の履歴が与えられたときの の条件付き分布である。この分布の密度が次のように非公式に記述される場合、 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle V_{t}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle p_{t}(x)dx=Prob\{X_{t}\in dx|\sigma (Y_{s},s\leq t)\}}$

ここで、は時刻までのノイズ観測の履歴によって生成されたシグマ場であり、適切な技術的条件下では密度はクシュナー・ストラトノビッチSPDEを満たします。 ${\displaystyle \sigma (Y_{s},s\leq t)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p_{t}}$

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt]}$

ここで期待値であり 、順方向拡散演算子は ${\displaystyle E_{p}}$${\displaystyle E_{p}[h]=\int h(x)p(x)dx,}$${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}p=-\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}[f_{i}(x,t)p_{t}(x)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}[a_{ij}(x,t)p_{t}(x)]}$

ここで、 と は転置を表す。射影フィルタの最初のバージョンを導くには、 SPDEをストラトノビッチ形式で置く必要がある。 ${\displaystyle a=\sigma \sigma ^{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p_{t}}$

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}]\,dt+p_{t}\,[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}\circ dY_{t}\ .}$

連鎖律を通して、 のSPDEを導くことはすぐにできる。表記を短くするために、この最後のSPDEを次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle d{\sqrt {p_{t}}}}$${\displaystyle dp=F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY\ ,}$

ここで、演算子とは次の通り定義される。 ${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle G^{T}(p)}$

${\displaystyle F(p)={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p\,-{\frac {1}{2}}\,p\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}],}$

${\displaystyle G^{T}(p)=p\,[b(\cdot ,t)-E_{p}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}.}$

平方根バージョンは ${\displaystyle d{\sqrt {p}}={\frac {1}{2{\sqrt {p}}}}[F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY]\ .}$

これらは、解が無限次元関数空間で展開するストラトノビッチSPDEである。例えば、（直接計量） で展開する可能性がある。${\displaystyle p_{t}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{2}(p_{1},p_{2})=\Vert p_{1}-p_{2}\Vert \ ,\ \ p_{1,2}\in L^{2}}$

または（ヘリンガー計量） で進化する可能性がある${\displaystyle {\sqrt {p_{t}}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle d_{H}}$

${\displaystyle d_{H}({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})=\Vert {\sqrt {p_{1}}}-{\sqrt {p_{2}}}\Vert ,\ \ \ p_{1,2}\in L^{1}}$

ここで はヒルベルト空間のノルムである。いずれにせよ、(または) は有限次元の密度族内では発展しない。 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle p_{t}}$${\displaystyle {\sqrt {p_{t}}}}$

${\displaystyle S_{\Theta }=\{p(\cdot ,\theta ),\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}\ (または\ S_{\Theta }^{1/2}=\{{\sqrt {p(\cdot ,\theta )}},\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}).}$

投影フィルタのアイデアは、有限次元密度(または) を介して(または ) を近似することです。 ${\displaystyle p_{t}(x)}$${\displaystyle {\sqrt {p_{t}(x)}}}$${\displaystyle p(x,\theta _{t})}$${\displaystyle {\sqrt {p(x,\theta _{t})}}}$

フィルタ SPDE がストラトノビッチ形式であるという事実により、次のことが可能になります。ストラトノビッチ SPDE は連鎖律を満たし、ベクトル場として動作します。したがって、方程式はベクトル場とベクトル場によって特徴付けられます。このバージョンの射影フィルタでは、2 つのベクトル場を別々に扱うだけで十分です。とを(直接計量)の密度の接空間、またはそれらの平方根 (ヘリンガー計量) の接空間に射影できます。直接計量の場合は次のようになります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle F}$${\displaystyle dY_{t}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S_{\Theta}}$

${\displaystyle dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]\,dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}\ }$

ここで は多様体 の点における接空間投影であり、 のようなベクトルに適用された場合、 の各成分を投影することによって成分ごとに作用すると仮定される。この接空間の基底は ${\displaystyle \Pi _{p(\cdot ,\theta )}}$${\displaystyle p(\cdot,\theta)}$${\displaystyle S_{\Theta}}$${\displaystyle G^{T}}$${\displaystyle G^{T}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{n}}}\right\},}$

との内積を表すことにより、計量を定義する。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \gamma _{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle =\int {\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx}$

そして投影はこうなる

${\displaystyle \Pi _{p(\cdot ,\theta )}^{\gamma }[v]=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle v,\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}}$

ここで はの逆数である 。投影された方程式はこうなる。 ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$

${\displaystyle dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}}$

これは次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial p(\cdot ,\theta _{t})}{\theta _{i}}}\circ d\theta _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle F(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}dt+\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\circ dY_{t},}$

ここでストラトノビッチ計算が連鎖律に従うことが重要である。上記の式から、最終的な射影フィルタSDEは ${\displaystyle d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int F(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int G_{k}(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{k}}$

初期条件 a が選択されます。 ${\displaystyle \theta _{0}}$

演算子 F と G の定義を代入すると、直接メトリックで完全に明示的な射影フィルタ方程式が得られます。

${\displaystyle d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx-\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {1}{2}}\left[\vert b(x,t)\vert ^{2}-\int \vert b(z,t)\vert ^{2}p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt}$

${\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int \left[b_{k}(x,t)-\int b_{k}(z,t)p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .}$

代わりにヘリンガー距離を使用する場合、密度の平方根が必要になります。接空間基底は

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{n}}}\right\},}$

そして、指標を定義する

${\displaystyle {\frac {1}{4}}g_{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{p(x,\theta )}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx.}$

この計量はフィッシャー情報計量である。直接計量の場合と完全に類似した手順に従い、ヘリンガー/フィッシャー計量におけるフィルタ方程式は次のようになる。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {F(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {G_{k}(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ ,}$

再び初期条件 a が選択されます。 ${\displaystyle \theta _{0}}$

FとGを代入すると次のようになる。 ${\displaystyle d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx-\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\int {\frac {1}{2}}\vert b_{t}(x)\vert ^{2}{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt}$

${\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int b_{k}(x,t)\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .}$

直接計量における射影フィルタは、混合族の多様体上に実装されると、ガラーキン法と同等になる。^[6]${\displaystyle S_{\Theta }}$

ヘリンガー/フィッシャー計量の射影フィルタは、密度の指数族の平方根の多様体上に実装されると、想定される密度フィルタと同等になります。^[3]${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$

より単純なザカイ方程式を、正規化されていない密度pに対して投影することも可能であることに注意する必要がある。これにより、同じヘリンガー投影フィルタが得られるが、異なる直接メトリック投影フィルタが得られる。^[6]

最後に、指数族の場合、指数族の十分な統計量の中に の観測関数、つまりの成分とを含めると、フィルタリングアルゴリズムの補正ステップが正確になることがわかります。言い換えると、ベクトル場の射影は正確であり、 自体になります。連続状態と離散時間観測の設定でフィルタリングアルゴリズムを記述すると、関連するベイズ式が近似を必要としないため、新しい観測ごとに補正ステップが正確であることがわかります。^[3]${\displaystyle dY_{t}}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle |b(x)|^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ここで、ストラトノビッチ計算形式での正確なフィルタSPDEを考えるのではなく、伊藤計算形式で考える。

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt].}$

上記のストラトノビッチ射影フィルタでは、ベクトル場とが別々に射影された。定義により、射影はとを別々に最善の近似値となるが、これはフィルタSPDE解全体の最善の近似値となることを意味しない。実際、ストラトノビッチ射影は、2つの項とを別々に作用するため、例えば小さい に対する厳密な近似値としての解の最適性を保証するものではない。解に適用されるノルムを探す必要があるかもしれないが、そのノルムについては ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})}$${\displaystyle p_{0+\delta t}}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta )\|.}$

イトーベクトル射影は次のようにして得られます。密度空間のノルムを選択します。これは直接計量またはヘリンガー計量に関連付けられる可能性があります。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$

近似伊藤方程式の拡散項は、平均二乗誤差のテイラー展開項を 最小化（ゼロにしない）することによって選択される。${\displaystyle \theta _{t}}$${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle E_{t}[\|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})\|^{2}]}$、

同じ差の項を最小化する近似伊藤方程式のドリフト項を見つけます。ここでは、順序項は最小化されますが、ゼロにはなりません。収束は達成されず、収束のみが得られます。 ${\displaystyle (\delta t)^{2}}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle (\delta t)^{2}}$${\displaystyle \delta t}$

伊藤ベクトル投影のさらなる利点は、次の1次テイラー展開を最小化することである。 ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle \|E[p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})]\|.}$

収束ではなく収束を達成するために、イトージェット図法が導入されました。これは、メトリック図法の概念に基づいています。 ${\displaystyle (\delta t)^{2}}$${\displaystyle \delta t}$

密度(または) の多様体(または ) への計量射影は、 (または)上の (または)に最も近い点です。これを と表記します。計量射影は、定義により、選択された計量に応じて、を近似するために実行できる最良の方法です。したがって、この考え方は、計量射影に可能な限り近い射影フィルタを見つけることです。言い換えると、次の基準を考慮します。 ${\displaystyle p\in L^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {p}}\in L^{2}}$${\displaystyle S_{\Theta }}$${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$${\displaystyle S_{\Theta }}$${\displaystyle S_{\Theta }^{1/2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\sqrt {p}}}$${\displaystyle \pi (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S_{\Theta }}$${\displaystyle \theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|\pi (p_{0+\delta t})-p(\cdot ,\theta )\|.}$

詳細な計算は長くて面倒だが^[7] 、近似値は収束する。実際、伊藤ジェット射影は次の最適性基準を満たす。次数項をゼロにし、と間の平均二乗距離のテイラー展開の次数項を最小化する。 ${\displaystyle (\delta t)^{2}}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle (\delta t)^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \pi (p_{0+\delta t})}$${\displaystyle p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})}$

イトーベクトルとイトージェット投影は両方とも、観測値によって駆動される最終的なSDEをもたらし、短時間での正確なフィルタ進化を最もよく近似するパラメータを求める。 ^[7]${\displaystyle dY}$${\displaystyle \theta _{t}}$

JonesとSoatto (2011)は、視覚慣性航法^[12]、地図作成、位置特定におけるオンライン推定に使用できるアルゴリズムとして投影フィルタについて言及しており、Azimi-SadjadiとKrishnaprasad (2005) ^[13]は、航行に関しても投影フィルタアルゴリズムを使用しています。投影フィルタは、Lermusiaux 2006によって海洋力学への応用も検討されています。 ^[14] Kutschireiter、Rast、およびDrugowitsch (2022) ^[15]は、連続時間循環フィルタリングの文脈で投影フィルタについて言及しています。量子システムの応用については、たとえばvan HandelとMabuchi (2005) ^{[16]を参照してください。彼らは}量子光学に量子投影フィルタを適用し、光共振器内の強く結合した2レベル原子の光位相双安定性の量子モデルを研究しました。量子システムへのさらなる応用は、Gao、Zhang、およびPetersen (2019)で検討されています。^[17] Ma、Zhao、Chen、Chang (2015)は、危険位置推定の文脈で投影フィルタに言及し、VellekoopとClark (2006) ^[18]は、変化点検出を扱うために投影フィルタ理論を一般化しています。Harel、Meir、Opper (2015) ^[19]は、仮定密度形式の投影フィルタを最適点プロセスのフィルタリングに適用し、ニューラルエンコーディングに応用しています。BroeckerとParlitz (2000) ^{[20]は、カオス}時系列のノイズ低減のための投影フィルタ法を研究しています。Zhang、Wang、Wu、Xu (2014) ^[21]は、メルトブロー不織布の繊維径の測定を扱う推定手法の一部としてガウス投影フィルタを適用しています。

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