マーカムQ関数

統計学では、一般化された マーカムQ関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)={\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{b}^{\infty }x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx}$

ここで、およびは の次数の第一種修正ベッセル関数です。 のとき、積分は任意の に対して収束します。 マーカムの Q 関数は、非心カイ 分布、非心カイ二乗分布、およびライス分布に対する相補累積分布関数として現れます。工学では、この関数はレーダーシステム、通信システム、待ち行列システム、および信号処理の研究に登場します。この関数は、パルスレーダーの Jess Marcum によって に対して初めて研究され、その名が付けられました。^[1]${\displaystyle b\geq 0}$${\displaystyle a,\nu >0}$${\displaystyle I_{\nu -1}}$${\displaystyle \nu -1}$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu =1}$

という事実を用いて、一般化されたマーカムQ関数は、次のように有限積分として定義することもできる。 ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.}$

しかし、マルカムQ関数の積分表現は、(i)積分の極限が関数の引数に依存しないこと、(ii)極限が有限であること、(iii)被積分関数がこれらの引数のガウス関数であることなどが好ましい。の正の整数値に対して、そのような表現は三角積分^{[2] [3]}で与えられる。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

どこ

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,}$

そしてその比率は定数です。 ${\displaystyle \zeta =a/b}$

任意の実数に対して、そのような有限三角積分は^{[4]で与えられる。}${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

ここで、は前に定義したとおりであり、追加の補正項は次のように与えられる。 ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$${\displaystyle \zeta =a/b}$

${\displaystyle C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left[-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.}$

の整数値の場合、補正項は消える傾向があります。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle C_{\nu }(a,b)}$

• 一般化されたマーカムQ関数は、すべてのおよびに対しておよびで厳密に増加し、すべてのおよびに対して で厳密に減少します^[5]${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle b,\nu >0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a,b\geq 0}$${\displaystyle \nu >0.}$

• この関数は、すべての^[5]に対して対数凹関数である。${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle [1,\infty )}$${\displaystyle a,b\geq 0.}$

• 関数は、すべてのおよびに対して厳密に対数凹であり、これは一般化されたMarcum Q関数が新しいものが中古品よりも優れているという性質を満たすことを意味します。^[6]${\displaystyle b\mapsto Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle \nu >1}$

• この関数は、すべての^[5]に対して対数凹関数である。${\displaystyle a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle b,\nu >0.}$

• 一般化されたマルカムQ関数は不完全ガンマ関数を使って次のように表される^{[7] [8] [9]}${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},}$

ここで、 は下側不完全ガンマ関数です。これは通常、次の一般化 Marcum Q 関数の標準表現と呼ばれます。${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle \nu }$

• 一般化されたマルカムQ関数は、一般化されたラゲール多項式を使用して次のように表すこともできる^[9]${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\nu },}$

ここで、 次、 位の一般化ラゲール多項式です。${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

• 一般化されたマルカムQ関数はノイマン級数展開としても表すことができる^{[4] [8]}${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),}$

${\displaystyle 1-Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),}$

ここで、合計は 1 ずつ増加します。 が整数値を想定する場合、 となることに注意してください。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }(ab)}$

• 非負の半整数値に対して、一般化されたマーカムQ関数の閉じた形式の表現は^{[8] [10]である。}${\displaystyle \nu =n+1/2}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right]+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k-1/2}I_{k-1/2}(ab),}$

ここで は相補誤差関数である。半整数パラメータを持つベッセル関数は有限和展開を持つため、^[4]${\displaystyle \mathrm {erfc} (\cdot )}$

${\displaystyle I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(n-k)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\right],}$

ここで、は非負の整数であり、半整数パラメータを持つ一般化マーカムQ関数を正確に表すことができる。より正確には、^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)=Q(b-a)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k!(i-k-1)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{-(a-b)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{-(a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],}$

非負整数 に対して、 はガウスQ関数です。あるいは、半整数のベッセル関数を双曲正弦関数と双曲余弦関数の和としてより簡潔に表現することもできます。^[11]${\displaystyle n}$${\displaystyle Q(\cdot )}$

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2z}{\pi }}}\left[g_{n}(z)\sinh(z)+g_{-n-1}(z)\cosh(z)\right],}$

ここで、の任意の整数値に対して、 、 となります。${\displaystyle g_{0}(z)=z^{-1}}$${\displaystyle g_{1}(z)=-z^{-2}}$${\displaystyle g_{n-1}(z)-g_{n+1}(z)=(2n+1)z^{-1}g_{n}(z)}$${\displaystyle n}$

• 部分積分すると、一般化マーカムQ関数は次の再帰関係を満たすことが分かる^{[8] [10]}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).}$

• 上記の式は簡単に一般化できる^[10]

${\displaystyle Q_{\nu -n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),}$

${\displaystyle Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k}I_{\nu +k}(ab),}$

正の整数 に対して、 となります。前者の再帰性は、負の に対して、一般化 Marcum Q 関数を正式に定義するために使用できます。に対しておよびを取ると、一般化 Marcum Q 関数のノイマン級数表現が得られます。${\displaystyle n}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1}$${\displaystyle Q_{-\infty }(a,b)=0}$${\displaystyle n=\infty }$

• 関連する3項再帰関係は^{[7]で与えられる。}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{\nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,}$

どこ

${\displaystyle c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu }(ab)}{I_{\nu +1}(ab)}}.}$

ベッセル関数の出現を消去すると、3次の再帰関係が得られる^[7]。

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu }(a,b)-{\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).}$

• 導関数と関連したもう一つの再帰関係は次のように表される。

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),}$

${\displaystyle Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b).}$

• 積分に対する通常の生成関数は^[10]である。${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac {t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},}$

どこ${\displaystyle |t|<1.}$

• 2つのノイマン級数表現を用いると、正の積分に対して次の対称関係が得られる。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{0}(ab)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k}(ab)\right].}$

特に、私たちは${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}(ab).}$

マルカムQ関数の具体的な値は^[6]

• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,+\infty )=0,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu ,b^{2}/2)}{\Gamma (\nu )}},}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1,}$
• については、ノイマン級数表現の2つの形式を減算することにより、^[10]${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],}$

これを再帰式と組み合わせると、

${\displaystyle Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n-1}I_{k}(a^{2}),}$

${\displaystyle Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]-e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),}$

任意の非負整数に対して。${\displaystyle n}$

• については、一般化マーカムQ関数の基本的な積分定義を用いると、^{[8] [10]}${\displaystyle \nu =1/2}$

${\displaystyle Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

• については、${\displaystyle \nu =3/2}$

${\displaystyle Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh(ab)}{a}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• なぜなら私たちは${\displaystyle \nu =5/2}$

${\displaystyle Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• が固定され大きいと仮定すると、一般化されたマルカムQ関数は次の漸近形を持つ^[7]${\displaystyle \nu }$${\displaystyle ab}$${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n},}$

ここで、${\displaystyle \psi _{n}}$

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n}(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.}$

関数と関数は次のように与えられる。${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle \phi _{n}=\left[{\frac {(b-a)^{2}}{2ab}}\right]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n,{\frac {(b-a)^{2}}{2}}\right),}$

${\displaystyle A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu -n)}}.}$

この関数は再帰を満たす${\displaystyle A_{n}(\nu )}$

${\displaystyle A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2}-4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu ),}$

および​${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle A_{0}(\nu )=1.}$

• 上記の漸近近似の最初の項では、

${\displaystyle \phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{b-a}}\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right).}$

したがって、と仮定すると、一般化マルカムQ関数の第一項の漸近近似は^{[7]である。}${\displaystyle b>a}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(b-a),}$

ここで はガウスQ関数です。ここで${\displaystyle Q(\cdot )}$${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$${\displaystyle a\uparrow b.}$

の場合には、^[7]${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(a-b).}$

ここでも${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$${\displaystyle a\downarrow b.}$

• の偏微分は次のように与えられる^{[12] [13]}${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu -1}(ab).}$

2つの偏導関数は次のように関係づけられる。

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.}$

• のn次偏微分は次のように与えられる^[10]${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2})^{-k}}{k!(n-2k)!}}\sum _{p=0}^{n-k}(-1)^{p}{\binom {n-k}{p}}Q_{\nu +p}(a,b),}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }}{2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=[n/2]}^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(n-k)!(2k-n)!}}\sum _{p=0}^{k-1}{\binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).}$

• 一般化されたマルカムQ関数はトゥラン型不等式を満たす^[5]

${\displaystyle Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu +1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)}$

すべておよびについて。${\displaystyle a\geq b>0}$${\displaystyle \nu >1}$

一般化 Marcum-Q 関数のさまざまな上限と下限は、関数の単調性と対数凹性、およびが半整数値の 場合に の閉じた形式表現があることを利用して取得できます。${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle \nu }$

とを、それぞれ実数を最も近い左半奇数と右半奇数に マッピングする半整数丸め演算子のペアとします。${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}}$${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}=\lfloor x-0.5\rfloor +0.5}$

${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}=\lceil x+0.5\rceil -0.5}$

ここで、およびは整数の床関数と天井関数を表します。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

• 全ての関数の単調性は、次のような単純な境界を与える^{[14] [8] [15]}${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu }(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b).}$

しかし、この境界の相対誤差は の場合にはゼロに近づかない。^[5]の整数値の場合、この境界は次のように減少する。${\displaystyle b\to \infty }$${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).}$

整数値に対する一般化マルカムQ関数の非常に良い近似は、上限と下限の算術平均を取ることによって得られる^[15]${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.}$

• の対数凹性を利用することで、より厳密な境界を得ることができる。[ ^5]${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$${\displaystyle [1,\infty )}$

${\displaystyle Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _{2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu }(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b)^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},}$

ここで、についてはとなる。この境界の厳密さは、 またはが増加するにつれて向上する。この境界の相対誤差は のときに 0 に収束する。^[5]の整数値については、この境界は次のように減少する。${\displaystyle \nu _{1}=\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}$${\displaystyle \nu _{2}=\lceil \nu \rceil _{0.5}}$${\displaystyle \nu \geq 1.5}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle b\to \infty }$${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.}$

整数値に対する三角関数の積分表現を用いると、次のコーシー・シュワルツ境界が得られる^[3]。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,}$

どこ。 ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

解析的な目的のためには、単純な指数形式で境界値を持つことがしばしば有用であるが、それが達成可能な最も厳しい境界値ではないかもしれない。 とすると、整数値 に対するそのような境界値の1つは 次のように与えられる^{[16] [3]}${\displaystyle \zeta =a/b>0}$${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

のとき、境界は次のように簡略化される。 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.}$

コーシー・シュワルツ不等式によって得られる別の境界は次のように与えられる^[3]。

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

一般化マルカムQ関数のチェルノフ型境界は整数で、次のように与えられる^{[16] [3]}${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle (1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n(a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.}$

ここで、チェルノフパラメータの 最適値は${\displaystyle (0<\lambda <1/2)}$${\displaystyle \lambda _{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).}$

^{1次のマルカムQ関数は[17]}で半線形近似できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_{1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}}$

マーカムQ関数は次のように再表現すると便利である^[18]

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=Q_{N}({\sqrt {2NX}},{\sqrt {2Y}}).}$

は、正規化された検出閾値 を持つ、一定の受信信号対雑音比 の非コヒーレントに積分された受信信号サンプルの検出確率として解釈できます。この Marcum Q 関数の同等の形式では、および が与えられた場合、および が成り立ちます。 を表す式は多数存在します。しかし、数値計算に最も信頼性が高く、正確で、効率的な 5 つの式を以下に示します。それらは形式 1 です。^[18]${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X=a^{2}/2N}$${\displaystyle Y=b^{2}/2}$${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}},}$

フォーム2：^[18]

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{m=0}^{N-1}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}+\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\left(1-\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\right),}$

フォーム3：^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}},}$

フォーム4：^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\left(1-\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\right),}$

そして5つ目は次のようになる: ^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=e^{-(NX+Y)}\sum _{r=N}^{\infty }\left({\frac {Y}{NX}}\right)^{r/2}I_{r}(2{\sqrt {NXY}}).}$

これら5つの形態のうち、2番目の形態が最も堅牢である。^[18]

一般化された Marcum Q 関数は、多くのランダム変数の累積分布関数 (cdf) を表すために使用できます。

• が速度パラメータ を持つ指数分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$

• が形状パラメータと速度パラメータを持つアーラン分布である場合、そのcdfは次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$

• が自由度を持つカイ2乗分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,{\sqrt {x}})}$

• が形状パラメータと速度パラメータを持つガンマ分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\alpha }(0,{\sqrt {2\beta x}})}$

• が形状パラメータと尺度パラメータを持つワイブル分布である場合、そのcdfは次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (k,\lambda )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\frac {k}{2}}\right)}$

• がパラメータ を持つ一般化ガンマ分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \mathrm {GG} (a,d,p)}$${\displaystyle a,d,p}$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\frac {d}{p}}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {p}{2}}\right)}$

• が非心パラメータと自由度を持つ非心カイ二乗分布である場合、そのcdfは次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})}$

• がパラメータ を持つレイリー分布である場合、そのcdfは次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• がパラメータ を持つマクスウェル・ボルツマン分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Maxwell} (\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{3/2}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• が自由度を持つカイ分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,x)}$

• が形状パラメータとして、広がりパラメータとして仲上分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \mathrm {Nakagami} (m,\Omega )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{m}\left(0,{\sqrt {\frac {2m}{\Omega }}}x\right)}$

• がパラメータ と を持つライス分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \mathrm {Rice} (\nu ,\sigma )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• が非心パラメータと自由度を持つ非心カイ分布である場合、その累積分布関数は次のように表される。${\displaystyle X\sim \chi _{k}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(\lambda ,x)}$

• Marcum, JI (1950)「Q 関数表」。米国空軍 RAND 研究メモ M-339。カリフォルニア州サンタモニカ: Rand Corporation、1950 年 1 月 1 日。
• ナットル、アルバート H. (1975): QM 関数を含むいくつかの積分、IEEE Transactions on Information Theory、21(1)、95–96、ISSN  0018-9448
• Shnidman, David A. (1989):検出確率の計算と一般化Marcum Q関数、 IEEE Transactions on Information Theory、 35(2)、389-400。
• ワイスタイン、エリック・W・マーカムQ関数。MathWorld —Wolfram Webリソースより。[1]