自由度ゼロ

統計学では、自由度ゼロの非心カイ二乗分布は、標本が区間 (0, 1) 上の一様分布からのものであるという帰無仮説を検定するのに使用できます。この分布は、1979 年にアンドリュー F. シーゲルによって導入されました。^[1]

自由度nのカイ2乗分布は、合計の 確率分布である。

${\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\,}$

どこ

${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \operatorname {iidN} (0,1).\,}$

しかし、もし

${\displaystyle X_{k}\sim \operatorname {N} (\mu _{k},1)}$

独立している場合、上記の平方和は、自由度 nと「非心度パラメータ」を持つ非心カイ二乗分布に従う。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle \mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{n}^{2}.\,}$

自由度がゼロの「中心」カイ二乗分布がすべての確率をゼロに集中させることは自明です。

これらすべてから、非心度パラメータがゼロでない場合に自由度がゼロになると何が起こるかという疑問が残ります。

自由度がゼロで非心パラメータμを持つ非心カイ二乗分布 は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k\,=\,1}^{2K}X_{k}^{2}\\{\text{ここで}}&K\sim \operatorname {Poisson} (\mu /2)\\{\text{かつ}}&X_{1},X_{2},X_{3},\ldots \sim \operatorname {iidN} (0,1).\end{aligned}}}$

これにより、確率 e ^{− μ /2が}ゼロに集中します。つまり、離散分布と連続分布が混在することになります。