多重度（数学）

数学において、多重集合の要素の重複度とは、その要素が多重集合の中に現れる回数のことである。例えば、ある多項式がある点において根を持つ回数は、その根の重複度である。

重複という概念は、例外を指定せずに正しく数えるために重要です（例えば、二重根は二重に数えられます）。そのため、「重複を考慮して数える」という表現が用いられます。

重複を無視する場合、異なる要素の数を数えることで、その点を強調することができます。例えば、「異なる根の数」のようにです。しかし、集合（多重集合とは対照的に）が形成される場合、重複は自動的に無視され、「異なる」という用語を使用する必要はありません。

素因数分解において、素因数の重複度は、${\displaystyle p}$-進評価。例えば、整数60の素因数分解は

60 = 2 × 2 × 3 × 5、

素因数2の重複度は2であり、素因数3と5の重複度はそれぞれ1である。したがって、60は重複度を考慮した4つの素因数を持つが、異なる素因数は3つしかない。

させて${\displaystyle F}$分野であり、${\displaystyle p(x)}$係数がの 1 変数多項式である${\displaystyle F}$要素${\displaystyle a\in F}$多重度の根${\displaystyle k}$の${\displaystyle p(x)}$多項式が存在する場合${\displaystyle s(x)}$そのため$s(a)≠0$そして${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$。 もし${\displaystyle k=1}$の場合、aは単純根と呼ばれます。${\displaystyle k\geq 2}$、 それから${\displaystyle a}$多重根と呼ばれる。

例えば、多項式${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$は 1 と −4 を根として持ち、次のように書くことができる。${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$つまり、1 は重複度 2 の根であり、−4 は単純根 (重複度 1 ) です。根の重複度は、代数学の基本定理 によって、多項式の完全な因数分解におけるこの根の出現回数です。

もし${\displaystyle a}$多重度の根${\displaystyle k}$多項式の根である場合、それは重複度根である。${\displaystyle k-1}$その多項式の導関数の​${\displaystyle a}$少なくとも多重度の根である${\displaystyle k}$導関数の。

多項式の判別式がゼロになるのは、その多項式が重根を持つ場合のみである。

多重根付近における多項式関数の挙動

多項式関数fのグラフは、その多項式の実根においてx軸と交わります。グラフは、fの重根において x 軸に接しますが、単純根においては接しません。グラフは、奇数重根においてx軸を横切りますが、偶数重根においては横切りません。ここで、「x軸を横切る」とは、根の近傍において、グラフの点が軸の両側に存在することを意味します。

非ゼロ多項式関数は、そのすべての根が偶数重であり、かつ、${\displaystyle x_{0}}$そのため${\displaystyle f(x_{0})>0}$。

方程式の場合${\displaystyle f(x)=0}$単一変数解${\displaystyle x_{*}}$多重度は${\displaystyle k}$もし

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$そして${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

言い換えれば、微分関数$\displaystyle \partial _{j}}$導関数として定義される${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$関数の${\displaystyle x_{*}}$、消える${\displaystyle f}$のために${\displaystyle j}$まで${\displaystyle k-1}$これらの微分汎関数${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ベクトル空間を張る。これはマコーレー双対空間と呼ばれる。${\displaystyle x_{*}}$[ ^{1 ]}次元は^、${\displaystyle x_{*}}$ゼロとして${\displaystyle f}$。

させて${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$システムである${\displaystyle m}$方程式${\displaystyle n}$解を持つ変数$\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$どこ${\displaystyle \mathbf {f} }$は、${\displaystyle R^{n}}$に${\displaystyle R^{m}}$または${\displaystyle C^{n}}$に${\displaystyle C^{m}}$また、微分汎関数のマコーレー双対空間も存在する。$\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$すべての関数が消滅する${\displaystyle \mathbf {f} }$このマコーレー双対空間の次元は、解の多重度である。$\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$方程式に${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$マコーレー双対空間は、解におけるシステムの多重度構造を形成する。^{[ 2 ] [ 3 ]}

例えば、解決策${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$方程式系の形式は ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$と

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

マコーレー双対空間は多重度3である。

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

次元は3で、${\displaystyle \partial _{ij}}$微分関数を表す${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$関数の特定の点に適用${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$。

解が孤立している場合、多重度は常に有限であり、摂動不変であるという意味で、${\displaystyle k}$-fold 解は、結合された多重度を持つ解のクラスターになります${\displaystyle k}$複素空間における摂動下では、多項式系における交差多重度と同一である。

代数幾何学において、代数多様体の2つの部分多様体の交わりは、既約多様体の有限和集合である。このような交わりの各成分には、交わりの多重度が付与される。この概念は、その成分の任意の一般的な点の近傍で何が起こるかを調べることによって定義できるという意味で、局所的である。したがって、一般性を失うことなく、交わりの多重度を定義するために、2つのアフィン多様体（アフィン空間の部分多様体）の交わりを考えることができる。

したがって、2 つのアフィン多様体V ₁とV ₂が与えられたとき、V ₁とV ₂の交点の既約成分W を考えます。Wの次元をdとし、PをWの任意の一般点とします。Pを通る一般位置にあるd個の超平面とWの交点には、単一の点Pに還元される既約成分があります。したがって、この交点の座標環のこの成分における局所環は、ただ 1 つの素イデアルのみを持ち、したがってアルティン環となります。この環は、基礎体上の有限次元ベクトル空間です。その次元は、 WにおけるV ₁とV ₂の交点の重複度です。

この定義を用いることで、ベズーの定理とその一般化を正確に述べることができる。

この定義は、多項式の根の重複度を次のように一般化しています。多項式fの根はアフィン直線上の点であり、それは多項式によって定義される代数集合の成分です。このアフィン集合の座標環は${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ここで、Kはfの係数を含む代数的に閉じた体である。${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$fの因数分解は、素イデアルにおけるRの局所環である。${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$は${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$これはK上のベクトル空間であり、重複度は${\displaystyle m_{i}}$根を次元として捉える。

この交差多重度の定義は、基本的にジャン＝ピエール・セールが著書『局所代数』で提唱したもので、交差の集合論的成分（孤立成分とも呼ばれる）にのみ適用され、埋め込み成分には適用されません。埋め込みの場合を扱うための理論が開発されています（詳細は交差理論を参照）。

正則関数fの根をz ₀とし、z ₀におけるfのn^階導関数がゼロと異なる最小の正の整数をnとする。このとき、 z ₀に関するfのべき級数はn^項から始まり、f は重複度 (または「位数」) nの根を持つと言われる。n = 1の場合、根は単純根と呼ばれる。^{[ 4 ]}   

有理型関数の零点と極の重複度も定義できます。有理型関数がある場合${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$gとhの点z ₀の周りのテイラー展開を取り、それぞれの最初の非ゼロ項を見つけます (項の次数をそれぞれmとnとします) 。m = nの場合、その点は非ゼロの値を持ちます。  ${\displaystyle m>n,}$すると、その点は多重度のゼロ点となる。${\displaystyle m-n.}$もし${\displaystyle m<n}$すると、その点は多重極を持つことになる。${\displaystyle n-m.}$偏角原理は、零点と極をその多重度に応じて数える。

• 代数的重複度

• Krantz, SG 『複素​​変数ハンドブック』ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser、1999年。ISBN 0-8176-4011-8。