完全乗法関数

数論において、積を尊重する正の整数の関数は重要であり、完全乗法関数または全乗法関数と呼ばれます。互いに素な数の積のみを尊重するという、より弱い条件も重要であり、そのような関数は乗法関数と呼ばれます。数論以外の分野では、「乗法関数」という用語は、本稿で定義する「完全乗法関数」と同義語として用いられることがよくあります。

完全乗法関数（または全乗法関数）とは、正の整数を定義域とする算術関数（つまり、定義域が正の整数である関数）であり、すべての正の整数aおよびbに対してf (1) = 1およびf ( ab ) = f ( a ) f ( b )が成り立つ。^{[ 1 ]}

論理表記では、f (1) = 1および∀ a , b ∈ domain( f ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b )となります。

f (1) = 1という条件がなければ、f (1) = 0となり、すべての正の整数a に対してf ( a ) = f (1 ⋅ a ) = f (1) ⋅ f ( a ) = 0 ⋅ f ( a ) = 0となるが、これは自明なケースであり、選択された定義によって除外される。

上記の定義は、代数学の言葉を用いて次のように言い換えることができる。完全乗法関数はモノイドからの準同型である。${\displaystyle (\mathbb {Z} _{>0},\cdot )}$（つまり、乗算の対象となる正の整数）を別のモノイドに。

完全に乗法的な関数の最も簡単な例は、先頭係数が 1 の単項式です。任意の正の整数nに対して、f ( a ) = a ⁿと定義します。すると、f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c )、そしてf (1) = 1 ⁿ = 1 となります。

リウヴィル関数は、ディリクレ指標、ヤコビ記号、ルジャンドル記号と同様に、完全乗法関数の非自明な例である。

完全乗法関数は、素数における値によって完全に決定されます。これは算術の基本定理の結果です。したがって、n が異なる素数のべき乗の積である場合、例えばn = p ^a q ^b ...の場合、f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...となります。

2つの乗法関数のディリクレ畳み込みは乗法関数であるが、2つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みは必ずしも完全乗法関数であるとは限らない。2つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みとして表せる算術関数は、二次関数または特に乗法乗法関数と呼ばれる。これらは次数(2, 0)の有理算術関数であり、ブッシュ・ラマヌジャン恒等式を満たす。

関数が完全乗法的であることと同値な関数に関する記述はいくつかあります。例えば、関数fが乗法的である場合、そのディリクレ逆関数がμ ⋅ fである場合に限り、完全乗法的であると言えます。ここでμはメビウス関数です。^{[ 2 ]}

完全乗法関数は分配法則も満たします。fが完全乗法関数である 場合、$${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h),}$$ ここで、*はディリクレ積を表し、⋅ は点ごとの乗算を表す。^{[ 3 ]} このことから、任意の完全乗法関数fに対して、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$$これは、 g = h = 1 を 両方置くことで上記から導き出すことができ、ここで1( n ) = 1は定数関数です。ここでτは除数関数です。

• 算術関数
• ディリクレL関数
• ディリクレ級数
• 乗法関数

• アポストル、TM （1971）「完全乗法算術関数のいくつかの性質」、アメリカ数学月報、78：266–271
• アポストル、トム（1976）。解析的整数論入門。シュプリンガー。ISBN 0-387-90163-9。
• Haukkanen, P. ( 2001), 「完全乗法性算術関数の特徴付けについて」、数論、トゥルク：de Gruyter：115–123
• ラングフォード、E. ( 1973)、「ディリクレ積と完全乗法的な算術関数に関する分配法則」、アメリカ数学月報、80 : 411–414
• Laohakosol, V. (2001), 「対数演算子と完全乗法関数の特徴付け」、東南アジア数学紀要、25 ( 2): 273–281
• Yocom, KL ( 1973)、「正則畳み込み環における完全乗法関数」、Canad. Math. Bull.、16：119–128