Loading article…
数値解析の数学分野では、補間は推定の一種であり、既知の離散データ点の範囲に基づいて新しいデータ点を構築（発見）する方法である。[ 1 ] [ 2 ]
工学や科学の分野では、サンプリングや実験によって得られた多数のデータポイントが、独立変数の限られた値に対する関数の値を表すことがよくあります。そして、独立変数の中間値に対する関数の値を推定する、つまり補間を行う必要が生じることがよくあります。
密接に関連する問題として、複雑な関数を単純な関数で近似することが挙げられます。ある関数の式は既知であるものの、効率的に計算するには複雑すぎるとします。元の関数からいくつかのデータ点を補間することで、元の関数にかなり近い、より単純な関数を作成できます。このようにして得られる単純化による利点は、補間誤差による損失を上回り、計算処理のパフォーマンス向上につながる可能性があります。
例として、方程式の点を使用します。様々な補間方法を実証するため。
補間は、次のような中間点で関数を推定する手段を提供する。
本稿では、精度、コスト、必要なデータ点の数、得られる補間関数の滑らかさといった特性が異なる、いくつかの補間方法について説明する。
最も単純な補間方法は、最も近いデータ値を見つけて、同じ値を割り当てることです。単純な問題では、線形補間（下記参照）がほぼ同じくらい簡単なので、この方法は使われにくいですが、高次元多変数補間では、その速度と簡便さから好ましい選択肢となる可能性があります。
最も単純な方法の 1 つは線形補間 (lerp とも呼ばれる) です。上記のf (2.5) の推定例を考えてみましょう。2.5 は 2 と 3 の中間にあるため、 f (2) = 0.9093 とf (3) = 0.1411の中間をf (2.5)とするのが妥当で、その結果 0.5252 となります。
一般的に、線形補間では、( x a , y a ) と ( x b , y b )という 2 つのデータ点を受け取り、補間関数は次のように与えられます。
この前の式は、新しい直線の傾きがそしては、 と の間の直線の傾きと同じです。そして
線形補間は迅速かつ簡単ですが、精度はあまり高くありません。もう1つの欠点は、補間関数が点x kで微分可能ではないことです。
以下の誤差推定は、線形補間があまり正確ではないことを示しています。補間したい関数をgとし、x がx aとx bの間にあり、gが 2 回連続微分可能であると仮定します。すると、線形補間の誤差は次のようになります。
言い換えれば、誤差はデータ点間の距離の二乗に比例します。多項式補間やスプライン補間（後述）など、他のいくつかの方法では、誤差はデータ点間の距離のより高いべき乗に比例します。これらの方法は、より滑らかな補間結果も生成します。
多項式補間は線形補間の一般化です。線形補間は線形関数であることに注意してください。ここでは、この補間をより高次の多項式に置き換えます。
上記の問題をもう一度考えてみましょう。次の6次多項式は、7つの点すべてを通ります。
x = 2.5を代入すると、 f (2.5) = 約 0.59678 となる。
一般に、 n個のデータ点がある場合、すべてのデータ点を通る次数がn - 1以下の多項式がただ1つ存在します。補間誤差は、データ点間の距離のn乗に比例します。さらに、補間関数は多項式であるため、無限回微分可能です。このように、多項式補間は線形補間のほとんどの問題を克服できることがわかります。
しかし、多項式補間にはいくつかの欠点もあります。補間多項式の計算は、線形補間に比べて計算コストが高くなります（計算複雑性を参照）。さらに、多項式補間では、特に端点で振動的なアーティファクトが発生する場合があります（ルンゲ現象を参照）。
多項式補間は、線形補間とは異なり、サンプル範囲外の局所最大値と局所最小値を推定できます。たとえば、上記の補間関数は、x ≈ 1.566、f ( x ) ≈ 1.003 で局所最大値、 x ≈ 4.708、f ( x ) ≈ −1.003で局所最小値を持ちます。ただし、これらの最大値と最小値は関数の理論的な範囲を超える可能性があります。たとえば、常に正の値をとる関数でも、負の値をとる補間関数を持つ場合があり、その逆関数には偽の垂直漸近線が含まれる可能性があります。
より一般的に言えば、得られる曲線の形状、特に独立変数の値が非常に高い場合や低い場合、常識に反する、つまりデータ点を生成した実験システムについて知られていることと矛盾する場合があります。このような欠点は、スプライン補間を用いるか、チェビシェフ多項式のみに注目することで軽減できます。
線形補間では、区間 [ x k , x k+1 ]それぞれに線形関数を用います。スプライン補間では、各区間に低次の多項式を用い、多項式の断片が滑らかに繋がるように選択します。結果として得られる関数はスプラインと呼ばれます。
例えば、自然三次スプラインは区分的に三次であり、2回連続微分可能です。さらに、その2階微分は端点でゼロになります。上記の表の点を補間する自然三次スプラインは次のように与えられます。
この場合、f (2.5) = 0.5972 となります。
多項式補間と同様に、スプライン補間は線形補間よりも誤差が小さく、補間関数は多項式補間で使用される高次多項式よりも滑らかで評価が容易です。ただし、基底関数のグローバルな性質により、条件が悪くなります。これは、Boost.Math で実装され、Kress で議論されているようなコンパクトサポートのスプラインを使用することで完全に軽減されます。[ 3 ]
場の離散化の仕方によっては、異なる補間関数が必要になる場合があります。対象点上の関数を推定する他の補間方法とは対照的に、模倣補間は、場の種類（スカラー、ベクトル、擬似ベクトル、擬似スカラー）に応じて、対象線、領域、または体積上の場の積分を評価します。
模倣補間の重要な特徴は、ストークスの定理や発散定理を含むベクトル解析の恒等式が満たされることです。その結果、模倣補間は線積分、面積積分、体積積分を保存します。[ 4 ]線積分は積分経路の端点での電位差を与えるため、例えば電場を補間する場合、線積分の保存が望ましい場合があります。 [ 5 ]模倣補間は、積分経路の長さに関係なく、電場の線積分を推定する誤差が、積分経路の端点での電位を補間することによって得られる誤差と同じであることを保証します。
線形補間、双線形補間、三線形補間も、保存されるのが場の値であって場の積分ではない場合でも、模倣的であると考えられています。線形補間とは別に、面積加重補間は、最初に開発された模倣的補間方法の1つと考えられます。[ 6 ]
補間は関数を近似する一般的な方法です。一連のポイントと共に関数を形成できるそのためのために（つまり、補間するこれらの点において）。一般に、補間関数は必ずしも良い近似である必要はありませんが、よく知られており、多くの場合妥当な条件では良い近似となります。たとえば、（4回連続微分可能）の場合、3次スプライン補間の誤差限界は次のように与えられる。どこそしては定数である。[ 8 ]
ガウス過程は、強力な非線形補間ツールです。多くの一般的な補間ツールは、実際には特定のガウス過程と同等です。ガウス過程は、与えられたデータ点を正確に通過する補間曲線を当てはめるだけでなく、回帰、つまりノイズの多いデータに曲線を当てはめるためにも使用できます。地質統計学の分野では、ガウス過程回帰はクリギングとも呼ばれています。
逆距離加重法（IDW）は、近傍のデータポイントに基づいて値を推定する空間補間法であり、近いポイントほど影響力が大きくなります。[ 9 ]重み付けには逆べき乗則を使用し、べき乗値が高いほど局所的な影響が強調され、低いほど表面が滑らかになります。IDWは、その単純さからGIS、気象学、環境モデリングで広く使用されていますが、クラスタリングされたデータや不均一なデータではアーティファクトが発生する可能性があります。[ 10 ]
異なる種類の補間関数を選択することで、他の形式の補間を構築できます。例えば、有理関数による補間はパデ近似を用いた有理関数による補間であり、三角関数による補間はフーリエ級数を用いた三角関数による補間です。また、ウェーブレットを使用する方法もあります。
データ点の数が無限である場合、または補間対象の関数がコンパクトな台を持つ場合は、ウィテカー・シャノン補間式を使用できます。
場合によっては、補間したい関数の値だけでなく、その導関数も特定の点で分かっていることがあります。これはエルミート補間問題につながります。
各データ点がそれ自体関数である場合、補間問題を各データ点間の部分移流問題として捉えることが有効です。この考え方は、輸送理論で用いられる変位補間問題につながります。
多変数補間は、複数の変数の関数を補間することです。その方法には、2次元では最近傍補間、双線形補間、双三次補間、3次元では三線形補間などがあります。これらは、グリッドデータまたは散布データに適用できます。模倣補間は、次元空間では[ 11 ] [ 12 ]
デジタル信号処理の分野では、補間という用語は、さまざまなデジタルフィルタリング技術（例えば、周波数制限されたインパルス信号との畳み込み）を使用して、サンプリングされたデジタル信号（サンプリングされた音声信号など）をより高いサンプリングレート（アップサンプリング）に変換するプロセスを指します。このアプリケーションでは、元の信号のナイキスト限界（つまり、元の信号のサンプリングレートの fs/2 を超える）を超える元の信号のエイリアシングされた高調波成分を生成することなく、元の信号の高調波成分を保持するという特定の要件があります。この主題に関する初期のかなり基本的な議論は、Rabiner と Crochiere の著書Multirate Digital Signal Processingにあります。[ 13 ]
外挿という用語は、既知のデータ点の範囲外にあるデータ点を見つけるために用いられる。
曲線近似問題では、補間関数がデータ点を完全に通過しなければならないという制約は緩和されます。必要なのは、他の制約の範囲内で、データ点にできるだけ近づくことだけです。そのためには、潜在的な補間関数をパラメータ化し、誤差を測定する方法を用意する必要があります。最も単純なケースでは、これは最小二乗近似につながります。
近似理論は、与えられた関数を、あらかじめ定められたクラスの別の関数でどのように最適に近似するか、そしてその近似の精度を研究する学問である。これは明らかに、補間関数が未知の関数をどの程度正確に近似できるかの上限を与える。
考えてみると位相空間における変数として、そして関数バナッハ空間に写像すると、問題は「演算子の補間」として扱われます。[ 14 ]演算子の補間に関する古典的な結果は、リース・トーリンの定理とマルチンキェヴィチの定理です。他にも多くの後続の結果があります。
![{\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{ただし}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e835bf7d5d64ca8fef6bd55cfd937460b4752e)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd654c9f03b663dc277263ec988f010e0d934e1)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df22c48c2c827e30fa634d0964908f94af232750)
![{\displaystyle s:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb454b2565ba3ced5a91e87ee9b2a685a14d03bb)
![{\displaystyle f\in C^{4}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d66eda475f0e830cf15ecdec3d8fbf5e6ba7e)
{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク){{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）