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多基準意思決定（MCDM）または多基準意思決定分析（MCDA ）は、オペレーションズリサーチのサブ分野であり、意思決定（日常生活とビジネス、政府、医療などの場面の両方）において、相反する複数の基準を明示的に評価します。これは、多属性意思決定（MADM）[ 1 ]、多属性効用理論、多属性価値理論、多属性選好理論、多目的意思決定分析としても知られています。
選択肢を評価する際には、相反する基準がつきものです。コストや価格が主な基準の一つとなることが多く、品質も別の基準として挙げられますが、これはコストと容易に矛盾します。車を購入する場合、価格、快適性、安全性、燃費などが主な基準となるでしょう。最も安い車が最も快適で安全な車であることは稀です。ポートフォリオ運用においては、運用者はリスクを抑えつつ高いリターンを得ることを目指しますが、高いリターンが見込める銘柄は、損失のリスクも高いのが一般的です。サービス業においては、顧客満足度とサービス提供コストは根本的に相反する基準です。
日常生活では、人々は通常、複数の基準を暗黙のうちに考慮し、直感のみに基づいて下された決定の結果に満足している場合がある。[ 2 ]一方、利害関係が大きい場合は、問題を適切に構造化し、複数の基準を明示的に評価することが重要である。[ 3 ]原子力発電所を建設するかどうか、またどこに建設するかを決定する際には、複数の基準が関係する非常に複雑な問題だけでなく、その結果に深く影響を受ける関係者も複数存在する。
複雑な問題を適切に構造化し、複数の基準を明示的に考慮することで、より情報に基づいたより良い意思決定が可能になります。1960年代初頭に現代の多基準意思決定学が始まって以来、この分野では重要な進歩がありました。さまざまなアプローチと手法が開発され、その多くは専門的な意思決定ソフトウェアによって実装されています[ 4 ] [ 5 ]。これらは、政治やビジネスから環境やエネルギーに至るまで、さまざまな分野に応用されています[ 6 ] 。
MCDMまたはMCDAは、多基準意思決定および多基準意思決定分析の頭文字をとった略語です。スタンレー・ジオンツは、起業家向けに1979年に発表した記事「MCDM ― ローマ数字でなければ、一体何なのか？」で、この略語の普及に貢献しました。
多基準意思決定（MCDM）は、複数の基準を含む意思決定および計画問題を構造化し、解決することを目的としている。その目的は、こうした問題に直面する意思決定者を支援することにある。通常、このような問題には唯一の最適解は存在せず、意思決定者の選好に基づいて複数の解を区別する必要がある。
「解決する」という言葉は、さまざまな解釈が可能です。例えば、利用可能な選択肢の中から「最良の」選択肢を選ぶこと（ここで「最良の」とは、意思決定者にとって「最も好ましい選択肢」と解釈できます）などが挙げられます。また、「解決する」の別の解釈としては、優れた選択肢を少数選ぶこと、あるいは選択肢を異なる選好セットに分類することなどが考えられます。極端な解釈としては、すべての「効率的な」選択肢、あるいは「非劣解」の選択肢を見つけることも考えられます（これらについては後ほど定義します）。
問題の難しさは、複数の基準が存在することに起因します。選好情報を組み込まなければ得られる唯一の最適解は、もはやMCDM問題には存在しません。最適解の概念は、しばしば非劣解の集合に置き換えられます。ある解が非劣解であるとは、他の基準を犠牲にすることなく、いずれかの基準で改善することが不可能な場合を指します。したがって、意思決定者が非劣解の集合から解を選択することは理にかなっています。そうでない場合、意思決定者はいくつかの基準またはすべての基準でより良い結果を得ることができ、どの基準でも悪化することはありません。しかし、一般的に、非劣解の集合は大きすぎて、最終的な選択のために意思決定者に提示することはできません。そのため、意思決定者が好ましい解（または代替案）に焦点を当てるのに役立つツールが必要になります。通常、ある基準を他の基準と「トレードオフ」する必要があります。
MCDMは1970年代から活発な研究分野となっています。MCDM関連の組織はいくつかあり、国際多基準意思決定学会[ 7 ] 、 MCDAに関する欧州ワーキンググループ[ 8 ]、INFORMSのMCDMセクション[ 9 ]などがあります。歴史については、Köksalan、Wallenius、Zionts（2011）[10]を参照してください。MCDMは、以下 のような多くの分野の知識を活用しています。
多基準意思決定（MCDM）の問題と手法には、さまざまな分類が存在する。MCDM問題の主な違いは、解が明示的に定義されているか、暗黙的に定義されているかという点に基づいている。
評価問題であれ設計問題であれ、解決策を区別するためには意思決定者の選好情報が必要となる。多基準意思決定問題の解決方法は、一般的に意思決定者から得られる選好情報のタイミングに基づいて分類される。
意思決定者の選好情報をプロセスの開始時に必要とし、問題を本質的に単一基準問題に変換する手法があります。これらの手法は「事前選好表明」によって機能すると言われています。価値関数を推定したり、「上位関係」の概念を使用したり、分析的階層プロセスやルールベースの意思決定手法の一部は、事前選好表明を利用して多基準評価問題を解決しようとします。同様に、価値関数を構築することによって事前選好表明を使用して多基準設計問題を解決するために開発された手法もあります。おそらくこれらの手法の中で最もよく知られているのは目標計画法でしょう。価値関数が構築されると、結果として得られる単一目的の数理計画問題を解いて、好ましい解を得ます。
一部の手法では、解決プロセス全体を通して意思決定者からの選好情報が必要となります。これらは対話型手法、または「選好の段階的な明確化」を必要とする手法と呼ばれます。これらの手法は、多基準評価（例えば、Geoffrion、Dyer、Feinberg、1972、[ 12 ]、Köksalan、Sagala、1995 [ 13 ]を参照）と設計問題（Steuer、1986 [ 14 ]を参照）の両方で十分に開発されています。
多基準設計問題では、暗黙的に定義された解を明らかにするために、通常、一連の数理計画モデルを解く必要があります。これらの問題では、「効率的な解」の表現または近似も関心の対象となる場合があります。このカテゴリは「選好の事後的明確化」と呼ばれ、意思決定者の関与は「興味深い」解が明示的に明らかになった後に始まることを意味します（例えば、Karasakal と Köksalan、2009 [ 15 ]を参照）。
数理計画モデルに整数変数が含まれる場合、設計問題の解決はより困難になります。多目的組み合わせ最適化（MOCO）は、計算上の大きな困難を伴うこのような問題の特殊なカテゴリを構成します（レビューについては、EhrgottとGandibleux、 [ 16 ] 2002を参照）。
多基準意思決定（MCDM）問題は、基準空間または決定空間で表現できます。あるいは、異なる基準を重み付き線形関数で組み合わせる場合は、重み空間で表現することも可能です。以下に、基準空間と重み空間の例と、それぞれの正式な定義を示します。
特定の課題状況における解決策を複数の基準で評価すると仮定しましょう。さらに、各基準において、基準値が高いほど良いと仮定します。すると、考えられるすべての解決策の中で、理想的には、検討対象となるすべての基準で優れた性能を発揮する解決策に関心があります。しかし、検討対象となるすべての基準で優れた性能を発揮する単一の解決策が存在する可能性は低いでしょう。通常、いくつかの解決策は特定の基準で優れた性能を発揮し、別の解決策は他の基準で優れた性能を発揮します。基準間のトレードオフを見つける方法は、多基準意思決定（MCDM）に関する文献における主要な取り組みの一つです。
数学的には、上記の議論に対応するMCDM問題は次のように表すことができます。
ここで、qはk 個の基準関数 (目的関数)のベクトルであり、 Qは実行可能集合、Q ⊆ R kです。
Qが（選択肢の集合によって）明示的に定義されている場合、結果として生じる問題は多基準評価問題と呼ばれる。
Qが（一連の制約によって）暗黙的に定義されている場合、結果として生じる問題は多基準設計問題と呼ばれる。
引用符は、ベクトルの最大化が明確に定義された数学的演算ではないことを示すために使用されます。これは、すべての基準において優れた性能を発揮する解が存在しない場合、基準間のトレードオフ（通常は意思決定者の好みに基づく）を解決する方法を見つける必要があるという議論に対応します。
意思決定空間とは、私たちが選択可能な意思決定の集合を指します。基準値は、私たちが下す意思決定の結果となります。したがって、意思決定空間において、対応する問題を定義できます。例えば、製品を設計する際には、設計パラメータ（意思決定変数）を決定しますが、それぞれのパラメータは、製品を評価する際の性能指標（基準）に影響を与えます。
数学的に、多基準設計問題は、意思決定空間において次のように表現できる。
ここで、Xは実行可能集合であり、xはサイズnの決定変数ベクトルである。
Xが線形不等式と線形等式で定義される多面体である場合、十分に発展した特殊なケースが得られます。すべての目的関数が決定変数に関して線形である場合、この変形は多目的線形計画法（MOLP）につながり、これはMCDM問題の重要なサブクラスです。
多基準意思決定（MCDM）において中心となる定義はいくつか存在する。密接に関連する2つの定義は、非支配性（基準空間表現に基づいて定義される）と効率性（決定変数表現に基づいて定義される）である。
定義 1. q* ∈ Qは、 q ≥ q*かつq ≠ q*となるような別のq ∈ Qが存在しない場合に非支配である。
大まかに言えば、ある解が非劣解であるというのは、検討対象となるすべての基準において、他のどの解よりも劣っていない場合を指す。
定義2. x* ∈ X は、 f ( x ) ≥ f ( x *)かつf ( x ) ≠ f ( x *)となるような別のx ∈ Xが存在しない場合に効率的である。
MCDM問題が意思決定状況を適切に表現している場合、意思決定者の最も好ましい解は意思決定空間における効率的な解でなければならず、その像は基準空間における非劣解となる。以下の定義も重要である。
定義3. q* ∈ Qは、 q > q*となるような別のq ∈ Qが存在しない場合に弱非支配である。
定義4. x* ∈ X は、 f ( x ) > f ( x *)となるような別のx ∈ Xが存在しない場合に弱効率である。
弱非支配点には、すべての非支配点と一部の特殊な支配点が含まれます。これらの特殊な支配点が重要なのは、それらが実務で頻繁に現れるため、非支配点と区別するために特別な注意が必要となるからです。例えば、単一の目的関数を最大化する場合、弱非支配点でありながら支配される点が得られる可能性があります。弱非支配点集合の支配点は、基準空間内の垂直面または水平面（超平面）上に位置しています。
理想点：（基準空間において）各目的関数の最良値（最大化問題の場合は最大値、最小化問題の場合は最小値）を表し、通常は実行不可能な解に対応します。
最低点：（基準空間において）非劣解集合内の点の中で各目的関数の最悪値（最大化問題では最小値、最小化問題では最大値）を表し、通常は劣解点です。
理想点と最低点は、設計者が解決策の範囲を「感覚的に」把握するのに役立ちます（ただし、2つ以上の基準を持つ設計問題の場合、最低点を見つけるのは容易ではありません）。
決定変数空間における以下の2変数MOLP問題は、いくつかの重要な概念をグラフで示すのに役立ちます。
図1において、極点「e」と「b」はそれぞれ第1目的と第2目的を最大化する。これら2つの極点間の赤い境界線は、効率集合を表す。図からわかるように、効率集合外の任意の実行可能解においては、効率集合内のいくつかの点によって両方の目的を改善できる。逆に、効率集合内の任意の点においては、他の実行可能解に移動しても両方の目的を改善できない。このような解においては、一方の目的を改善するために他方の目的を犠牲にしなければならない。
上記の問題は単純であるため、基準空間においてxをfに置き換えることで、次のように表現できます。
図2に、基準空間をグラフで示します。基準空間では、非劣解（決定空間における効率的な解に対応）を容易に検出できます。実行可能空間の北東領域は、（最大化問題の場合）非劣解の集合を構成します。
非劣解を生成する方法はいくつかあります。ここではそのうちの2つについて説明します。1つ目の方法は特定のクラスの非劣解を生成するのに対し、2つ目の方法はあらゆる非劣解を生成することができます。
複数の基準を、各基準に正の重みを乗じて重み付けされた基準を合計することによって単一の基準に統合すると、結果として得られる単一基準問題の解は特別な効率的な解となります。これらの特別な効率的な解は、利用可能な解の集合の隅に現れます。隅にない効率的な解は特別な特性を持ち、この方法ではそのような点を見つけることができません。数学的には、この状況を次のように表すことができます。
重みを変化させることで、重み付き和は設計問題に対する効率的な極値解を生成したり、評価問題に対する支持点（凸非劣解）を生成したりするために使用できる。
達成度スカラー化関数は、複数の基準を特別な方法で重み付けすることで、単一の基準に統合します。これらの関数は、基準点から利用可能な効率的な解に向かって伸びる矩形の等高線を作成します。この特別な構造により、達成度スカラー化関数はあらゆる効率的な解に到達できます。これは、これらの関数が多基準意思決定問題において非常に有用となる強力な特性です。
数学的には、対応する問題を次のように表すことができます。
達成スカラー化関数は、効率フロンティア上の任意の点（実行可能または実行不可能）を投影するために使用できます。任意の点（サポートされているかどうかにかかわらず）に到達できます。非効率的な解の生成を避けるためには、目的関数の第 2 項が必要です。図 3 は、実行可能点g 1と実行不可能点g 2が、それぞれ非支配点q 1とq 2に、達成スカラー化関数を使用して方向wに沿ってどのように投影されるかを示しています。破線と実線の等高線は、それぞれ目的関数の第 2 項がある場合とない場合の目的関数の等高線に対応します。
MCDM問題（設計型と評価型の両方）を解決するためのさまざまな学派が発展してきた。時間の経過に伴うそれらの発展を示す計量書誌学的研究については、Bragge、Korhonen、H. Wallenius、J. Wallenius [2010]を参照のこと。[ 19 ]
多目的数学プログラミングスクール
（１）ベクトル最大化：ベクトル最大化の目的は非劣解集合を近似することであり、元々は多目的線形計画問題のために開発された（Evans and Steuer、1973年；[ 20 ] Yu and Zeleny、1975年[ 21 ]）。
（２）対話型プログラミング：計算フェーズと意思決定フェーズが交互に行われる（Benayoun et al., 1971; [ 22 ] Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972; [ 23 ] Zionts and Wallenius, 1976; [ 24 ] Korhonen and Wallenius, 1988 [ 25 ]）。意思決定者の価値関数に関する明示的な知識は想定されていない。
目的は、目標の事前目標値を設定し、これらの目標からの加重偏差を最小限に抑えることである。重要度重みと辞書式先制重みの両方が使用されてきた（Charnes and Cooper、1961 [ 26 ]）。
ファジィ集合理論家
ファジィ集合は、ザデー（1965）[ 27 ]によって、古典的な集合の概念の拡張として導入されました。この考え方は、多くのMCDMアルゴリズムでファジィ問題をモデル化して解決するために使用されています。
順序データに基づく方法
順序データは、現実世界の様々な場面で幅広く応用されています。そのため、順序データを入力データとして扱うように設計された多基準意思決定（MCDM）手法がいくつかあります。例えば、順序優先度アプローチやクオリフレックス法などが挙げられます。
多属性効用理論家
多属性効用関数または価値関数が引き出され、最も好ましい代替案を特定したり、代替案を順位付けしたりするために使用されます。線形加法効用関数と乗法非線形効用関数を引き出すための精緻なインタビュー技法が使用される場合があります（Keeney and Raiffa、1976 [ 28 ]）。別のアプローチは、仮想的な代替案の選択を含む一連のペアワイズ順位付け質問を意思決定者に尋ねることによって、価値関数を間接的に引き出すことです（PAPRIKA法、Hansen and Ombler、2008 [ 29 ]）。
フランス語学校
フランス学派は意思決定支援、特に1960年代半ばにフランスで生まれたELECTREファミリーの上位順位付け手法に焦点を当てている。この手法はベルナール・ロイによって最初に提案された（ロイ、1968 [ 30 ]）。
進化型多目的最適化（EMO）学派
EMOアルゴリズムは初期集団から始まり、自然界の適者生存原理と遺伝的変異演算子を模倣するように設計されたプロセスを使用して、世代ごとに平均集団を改善することで更新します。目標は、非劣解集合を表す解の集団に収束することです（Schaffer、1984年；[ 31 ] SrinivasとDeb、1994年[ 32 ]）。最近では、EMOアルゴリズムの解法プロセスに選好情報を組み込む試みが行われています（DebとKöksalan、2010年[ 33 ]を参照）。
灰色システム理論に基づく方法
1980年代、鄧巨龍は灰色システム理論（GST）とその最初の多属性意思決定モデルである、鄧の灰色関係分析（GRA）モデルを提唱した。その後、灰色システム研究者たちは、劉思峰の絶対GRAモデル[ 34 ] 、灰色目標意思決定（GTDM）[ 35 ]、灰色絶対意思決定分析（GADA）[ 36 ]など、GSTに基づく多くの手法を提案した。
AHPはまず、意思決定問題を階層的なサブ問題に分解します。次に、意思決定者は、さまざまな要素の相対的な重要性をペアワイズ比較によって評価します。AHPはこれらの評価を数値（重みまたは優先順位）に変換し、各代替案のスコアを計算するために使用します（Saaty、1980 [ 37 ]）。一貫性指数は、意思決定者が回答においてどの程度一貫性を持っているかを測定します。AHPは、ここに挙げた手法の中で最も議論の多い手法の1つであり、MCDAコミュニティの一部の研究者は、AHPに欠陥があると考えています。[ 38 ] [ 39 ]
いくつかの論文では、ファジーMCDM [ 40 ]、古典的なMCDM [ 41 ] 、持続可能で再生可能なエネルギー[42]、VIKOR手法[ 43 ] 、輸送システム[ 44 ] 、サービス品質[ 45 ] 、 TOPSIS法[46]、エネルギー管理問題[47]、eラーニング[ 48]、観光とホスピタリティ[49]、SWARA法とWASPAS法[ 50 ]など、さまざまな分野におけるMCDM技術の応用についてレビューしている。
以下のMCDM手法が利用可能であり、その多くは専門的な意思決定ソフトウェアによって実装されています。[ 4 ] [ 5 ]
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