Loading article…
モンティ・ホール問題は、アメリカのテレビゲーム番組「Let's Make a Deal」を基にした確率パズルの形で行われる頭の体操であり、初代司会者のモンティ・ホールにちなんで名付けられました。この問題は、もともと1975年にスティーブ・セルビンがアメリカ統計学者に宛てた手紙の中で提起されました。[ 1 ] [ 2 ] 1990年にパレード誌のマリリン・ボス・サヴァントの「Ask Marilyn」コラムで引用され（そして解決された）読者クレイグ・F・ウィテカーの手紙からの質問として有名になりました。 [ 3 ]
あなたがクイズ番組に出演していて、3つのドアから1つを選ぶとします。1つのドアの後ろには車があり、残りの2つのドアの後ろにはヤギがいます。あなたがドアを1つ選び、例えば1番を選ん だとします。すると、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者が、別のドア、例えば3番を開けます。3番のドアにはヤギがいます。司会者はあなたに「2番 のドアを選びますか？」と尋ねます。この場合、選択を変える方があなたにとって有利でしょうか？
サヴァントの回答は、出場者は別のドアに切り替えるべきだというものだった。[ 3 ]標準的な仮定によれば、切り替え戦略では車を獲得する確率が 2/3 であるのに対し、最初の選択を維持する戦略では確率は1/3しかない。
プレイヤーが最初に選択を行うとき、車が選ばれなかったドアのいずれかの後ろにある確率は 2/3 です。司会者が選ばれなかったドアのいずれかの後ろにあるヤギを明らかにした後も、この確率は変わりません。司会者が選ばれなかった 2 つのドアに関する情報を提供すると (そのうちの 1 つの後ろには車がないことが明らかになる)、車が選ばれなかったドアのいずれかの後ろにある確率は2/3となり、最初にプレイヤーが選んだドアの後ろに車がある確率は1/3となります。
提示された確率は、司会者と出場者がどのようにドアを選択するかに関する特定の仮定に依存します。重要な洞察は、これらの標準条件下では、プレイヤーがドア1を選択したゲーム開始時よりも、ドア2とドア3に関する情報が多く存在するということです。司会者の行動は、除外されなかったドアに価値を追加しますが、出場者が最初に選択したドアには価値を追加しません。もう1つの洞察は、ドアを切り替えることは、残りの2つのドアからランダムに選択することとは異なる行動であるということです。前者の行動は以前の情報を使用しますが、後者は使用しません。説明されている以外の司会者の行動は、異なる追加情報、あるいは全く追加情報がないことを明らかにすることができ、異なる確率につながります。サヴァントは回答の中で次のように述べています。
仮に100万個のドアがあって、あなたが1番のドアを選んだとしましょう。すると、ドアの向こうに何があるかを知っていて、賞品が入っているドアは絶対に避ける司会者が、777,777番のドア以外すべてのドアを開けます。あなたはすぐにそのドアに切り替えますよね？
サヴァントのコラムを読んだ多くの読者は、切り替えが有益だということを信じようとせず、彼女の説明を拒否した。パレード誌にこの問題が掲載されると、博士号を持つ約1,000人を含む約10,000人の読者が同誌に手紙を送り、そのほとんどがサヴァントの主張は間違っていると指摘した。[ 4 ]説明、シミュレーション、正式な数学的証明が提示されても、多くの人々は切り替えが最善の戦略であるとは受け入れなかった。[ 5 ]歴史上最も多作な数学者の一人であるポール・エルデシュは、サヴァントの予測結果を示すコンピュータシミュレーションを見せられるまで納得しなかった。[ 6 ]
この問題は、真実性に関するパラドックスの一種である。なぜなら、その解決策は直感に反するほど突飛で、一見すると不条理に思えるかもしれないが、それでもなお証明可能な真実だからである。モンティ・ホール問題は、数学的には、先に述べた「三人の囚人」問題や、さらに古いベルトランの箱のパラドックスと密接に関連している。
スティーブ・セルビンは1975年にアメリカ統計学会に手紙を書き、ゲーム番組「Let's Make a Deal」に基づいた問題を説明した[ 1 ]。その後の手紙でそれを「モンティ・ホール問題」と名付けた[ 2 ] 。この問題は、1959年にサイエンティフィック・アメリカンのマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムで説明された3人の囚人問題[ 7 ] 、およびガードナーの著書「Aha Gotcha」で説明された3つの貝殻問題[ 8 ]と数学的に同等である。
Parade版の曖昧さは、ホストのプロトコルを明示的に定義していません。しかし、Whitakerの質問と並んで掲載されたMarilyn vos Savantの解答[ 3 ]は、ホストの役割を次のように示唆しており、Selvin [ 1 ]とSavant [ 5 ]の両方が明示的に定義しています。
また、車は（均等に）ランダムにいずれかのドアの後ろに配置され、プレイヤーが最初に車を選択した場合、ホストがどのヤギを隠したドアを開けるかの選択も（均等に）ランダムに行われると想定されている。[ 10 ]
これらの標準的な仮定の下では、ドアを切り替えた後に車を獲得する確率は 2/3 です。仮定を変更すると、ドアを切り替えることによって獲得する確率が変わる可能性があります。詳細は以下のセクションで説明します。
これらの仮定は、分析対象となるホストの行動と賞品の分配に関する数学モデルを規定する。意思決定理論的な解釈では、参加者が切り替えることが合理的かどうかは、ホストがこのプロトコルに従うことを参加者が知っているか、またはそう推測する理由があるかどうかにも依存する。[ 11 ]
パレードでサヴァントが提示した解決策は、3つのドアの後ろに1台の車と2頭のヤギを配置する3つの可能な配置と、それぞれの場合で最初にドア1を選んだ後に留まるか切り替えるかの結果を示しています。[ 12 ]
最初の選択を変えないプレイヤーは、これら3つの可能性のうち、それぞれ同じ確率で起こりうる状況のうち1つでしか勝利しないのに対し、選択を変えるプレイヤーは3つのうち2つで勝利する。
直感的な説明としては、参加者が最初にヤギ（3つのドアのうち2つ目）を選んだ場合、もう一方のヤギは選べなくなるため（司会者がその場所を明らかにしなければならなかったため） 、参加者は切り替えることで車を獲得できるが、参加者が最初に車（3つのドアのうち1つ目）を選んだ場合は、切り替えても車を獲得できないということである。 [ 13 ]切り替え戦略を用いると、勝つか負けるかは、参加者が最初にヤギ（確率2/3）を選んだか、車（確率1/3）を選んだかのみに依存する。司会者がその後、選ばれなかったドアの1つにヤギがあることを明らかにしたとしても、最初の確率は変わらない。 [ 14 ]
ほとんどの人は、開けていない2つのドアのどちらかの後ろに車がある確率が50%なので、切り替えても問題ないと結論付けます。これは、ホストがランダムに開けるドアを選択した場合に当てはまりますが、そうではありません。ホストが開けるドアはプレイヤーの最初の選択に依存するため、独立性の仮定は成り立ちません。ホストがドアを開ける前に、各ドアの後ろに車がある確率は 1/3 です。車がドア 1 の後ろにある場合、ホストはドア 2 またはドア3のどちらかを開けることができるので、車がドア 1 の後ろにあり、ホストがドア3を開ける確率は1/3 × 1/2 = 1/6です。プレイヤーがドア 1 を選んだ場合、車がドア 2 の後ろにあるとすると、ホストはドア 3 を開けなければなりません。したがって、車がドア 2 の後ろにあり、ホストがドア 3 を開ける確率は 1/3 × 1 = 1/3です。ホストがドア3を開けるのはこのケースだけなので、プレイヤーがドア 1 を選び、ホストがドア 3 を開けた場合、車がドア 2 の後ろにある確率はドア 1 の後ろにある確率の 2 倍になります。重要なのは、車がドア 2 の後ろにある場合はホストはドア3 を開けなければなりませんが、車がドア 1 の後ろにある場合はホストはどちらのドアを開けても構わないということです。
解決策を理解するもう 1 つの方法は、プレイヤーが最初に選ばなかった 2 つのドアを一緒に考えることです。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]セシル アダムスが言うように、 [ 15 ]「モンティは実質的にこう言っているのです。1 つのドアをそのままにするか、残りの 2 つのドアを選ぶか」。これらのドアの 1 つが開いたとしても、車を見つける確率2/3は変わりません。なぜなら、モンティは車の位置を知っているので、必ずヤギを見せるからです。ホストがドアを開けた後のプレイヤーの選択は、ホストがプレイヤーに最初に選んだドアから残りの 2 つのドアのセットに切り替えるオプションを提供した場合と変わりません。この場合の切り替えにより、プレイヤーは明らかに車を選ぶ確率が2/3になります。
キース・デブリンが言うように[16]、「モンティはドアを開けることで、出場者に『あなたが選ばなかったドアが2つあり、賞品がそのうちの1つのドアの後ろにある確率は2/3です。賞品がどこにあるかを知っているので、その2つのドアのうち1つを開けて、賞品が隠されていないことを示してあげましょう。これで、この追加情報を活用できます。あなたが選んだドアAが当選する確率は3分の1です。私はそれを変えていません。しかし、ドアCを排除することで、ドアBが賞品を隠している確率が3分の2であることを示しました。』」
サヴァントは、ドアが3つではなく1,000,000個ある方が、解決策がより直感的になると示唆している。[ 3 ]この場合、ヤギのいるドアが999,999個あり、賞品が入っているドアが1つある。プレイヤーがドアを1つ選んだ後、ホストは残りのドアのうち999,998個を開ける。平均すると、1,000,000回のうち999,999回は、残りのドアに賞品が入っている。直感的には、プレイヤーは100万個のドアがある中で、最初に正しいドアを選んだ確率はどれくらいかと問うべきである。スティベルらは、モンティ・ホール問題ではワーキングメモリの要求が負荷となり、人々が選択肢を2つの等確率のオプションに「集約」せざるを得なくなると提唱した。彼らは、オプションの数が7つを超えると、人々はより頻繁に切り替える傾向があると報告しているが、ほとんどの参加者は依然として成功の確率を50%と誤って判断している。[ 19 ]
サヴァントはモンティ・ホール問題に関する最初のコラムで、プレイヤーは切り替えるべきだと述べた。[ 3 ]彼女は読者から何千通もの手紙を受け取ったが、その大多数、博士号を持つ読者からの手紙も含めて、彼女の答えに反対していた。1990年から1991年にかけて、彼女はパレード誌にさらに3つのコラムを寄稿し、このパラドックスについて論じた。[ 20 ]サヴァントのコラムの読者からの手紙の多くの例が、『モンティ・ホールのジレンマ：卓越した認知錯覚』で紹介され、議論されている。[ 21 ]
この議論は他の場所（例えば、セシル・アダムスの新聞コラム「ストレート・ドープ」[ 15 ] ）でも取り上げられ、ニューヨーク・タイムズなどの主要新聞でも報道された。[ 4 ]
彼女は自分の答えを明確にするために、シェルゲーム[ 8 ]を提案して説明した。「あなたが目をそらしている間に、私は3つの貝殻のうちの1つに豆を置きます。次に、貝殻の上に指を置くように頼みます。あなたが選んだ貝殻に豆が入っている確率は1/3です。よろしいですか？それから、私は残りの2つから空の貝殻を1つ持ち上げます。あなたが何を選んだかに関わらず、私はこれを行うことができる（そしてそうする）ので、あなたの指の下にある貝殻の確率を修正できるようなことは何も学んでいません。」彼女はまた、3枚のトランプを使った同様のシミュレーションも提案した。
サヴァントは、一部の読者が司会者が必ずヤギを明かすという前提を理解していなかったために多少の混乱が生じたものの、彼女の多数の通信者のほぼ全員が問題の前提を正しく理解しており、それでも当初はサヴァントの答え（「スイッチ」）が間違っていると確信していたとコメントした。
モンティ・ホールのゲームをプレイする
に使用する設定: 滞在する スイッチ
可能性が等しい3つのケース（あなたがドア1を選ぶ、ホストがヤギのドアを開ける）
現状維持が3件中1件で勝利、切り替えが3件中2件で勝利します。JavaScriptを有効にすると、このデモンストレーションのインタラクティブ版が利用可能です。
モンティ・ホール問題が初めて提示されたとき、圧倒的多数の人々は、それぞれのドアの確率が等しいと仮定し、切り替えても問題ないという結論に至ります。[ 9 ]ある研究では、228人の被験者のうち、切り替えを選んだのはわずか13%でした。[ 22 ]ヴォス・サヴァントの著書『論理的思考の力』[ 23 ] の中で、認知心理学者のマッシモ・ピアテッリ＝パルマリーニは次のように書いています。「これほど多くの人々を常に騙すことができる統計パズルは他にありません。ノーベル賞受賞物理学者でさえ、体系的に間違った答えを出し、それを主張し、正しい答えを提案する人々を印刷物で非難する準備ができています」。ハトは、人間とは異なり、この問題に繰り返しさらされると、すぐに常に切り替えることを学習します。[ 24 ]
問題の記述のほとんど、特にParadeの記述は、実際のゲーム ショーのルールと一致しておらず[ 10 ]、司会者の行動や車の位置がランダムに選択されることを完全に明記していません。[ 22 ] [ 4 ] [ 25 ]しかし、Krauss と Wang は、明示的に述べられていなくても人々は標準的な仮定を行うと主張しています。[ 26 ]
これらの問題は数学的に重要ではあるものの、これらの要因を考慮に入れたとしても、ほとんどの人は依然として、開いていない2つのドアそれぞれに等しい確率があると考え、切り替えても問題ないという結論に至る。[ 9 ]この「等しい確率」という仮定は、深く根付いた直感である。[ 27 ]人々は、検討中の特定の状況でそれが真実であるかどうかに関わらず、存在する未知数の数だけ確率が均等に分布していると考える傾向が強い。[ 28 ]
この問題は認知心理学者の注目を集め続けている。大多数の典型的な行動、つまり切り替えないという行動は、心理学文献で知られている現象によって説明できるかもしれない。
実験的証拠は、これらが確率の直観に依存しないもっともらしい説明であることを裏付けています。[ 32 ] [ 33 ]もう一つの可能性は、人々の直観が単に教科書的な問題ではなく、実際のゲームショーの設定を扱っているということです。[ 34 ]そこでは、最初に車のあるドアが選ばれた場合にのみ他のドアを開けることで、ショーマスターが不正にプレイする可能性があります。半分の確率で不正にプレイするショーマスターは、「等しい確率」に切り替える機会が与えられた場合に、勝つチャンスを変更します。
既に述べたように、確率に関するほとんどの資料、特に多くの入門的な確率の教科書では、参加者が最初にドア 1 を選び、司会者がドア 3 を開けるという条件の下で、車がドア 1 とドア 2 の後ろにある条件付き確率が 1/3 と 2/3 （1/2 と 1/2 ではない）であることを示すことで問題を解決しています。この結果を導き出し理解するためのさまざまな方法は、前のサブセクションで説明しました。
これらの情報源の中には、一般的に提示されている「単純な」解決策を明確に批判しているものもいくつかあり、それらの解決策は「正しいが…不安定」[ 35 ]、あるいは「提起された問題に対処していない」[ 36 ]、あるいは「不完全」[ 37 ]、あるいは「説得力がなく誤解を招く」[ 38 ]、あるいは（最も率直に言えば）「間違っている」[ 39 ]と述べている。
サシャ・ヴォロフは、「『ドア1の確率は1/3で、それを変えることはできない…』といった説明は、自動的に怪しい。確率は世界についての私たちの無知の表れであり、新しい情報によって私たちの無知の度合いが変わる可能性がある」と書いた。[ 40 ]
これらの解決策は、少し異なる質問に答えるものだと言う人もいる。ある言い方では、「ドアが開く前に、切り替える予定があるかどうかを知らせなければならない」というものだ。 [ 41 ]
単純な解法は、さまざまな方法で、切り替えることを決意した参加者が確率 2/3で車を獲得し、したがって、プレイヤーが「常に切り替える」か「常に留まる」かを事前に選択しなければならない場合、切り替えが勝利戦略であることを示しています。しかし、常に切り替えることで勝つ確率は、プレイヤーがドア1を選び、司会者がドア 3 を開けた場合に切り替えて勝つ確率とは論理的に異なる概念です。ある情報源が述べているように、「これらの質問の区別は多くの人を混乱させるようです」。[ 39 ]これらが異なるという事実は、これらの 2 つの確率が異なる数値を持つように問題を変更することで示すことができます。たとえば、参加者が、モンティがすべての合法的な選択肢の中からランダムに 2 番目のドアを開けるのではなく、代わりに、2 つの負けのドアから選択する機会が与えられたときに、モンティは右側のドアを開けることを知っていると仮定します。この状況では、次の 2 つの質問の答えが異なります。
最初の質問の答えは 2 / 3 で、「単純な」解法で正しく示されています。しかし、2 番目の質問の答えは異なります。ホストがドア 3 (右側のドア) を開けた場合、車がドア 1 またはドア 2 の後ろにある条件付き確率は 1 / 2 です。これは、モンティが一番右側のドアを好むため、車がドア 1 の後ろにある場合 (元々は確率 1 / 3 でそうなっている) または車がドア 2 の後ろにある場合 (元々は確率 1 / 3 でそうなっている) に、モンティはドア 3 を開けるからです。このバリエーションでは、2 つの質問の答えが異なります。これは、2 番目の質問の想定条件 (ホストがドア 3 を開ける) が、このバリエーションでのみ確率 2 / 3 で発生するためです。しかし、各ドアの後ろに車がある初期確率が 1/3である限り、切り替えることで勝つ条件付き確率は常に少なくとも 1/2 であるため、切り替えることが参加者にとって不利になることは決してない。[ 39 ]
Morgan et al. [ 39 ]では、 4 人の大学教授がThe American Statisticianに記事を発表し、Savant は正しいアドバイスをしたが、議論が間違っていたと主張した。彼らは、この問題は、プレイヤーが最初にドア 1 を選択し、ゲームのホストがドア 3 を開けた場合に、ドア 2 の後ろに車がある確率を尋ねていると考え、この確率は、選択に対するホストの決定プロセスに応じて 1/2 から 1 の間の任意の値になることを示した。決定が完全にランダム化された場合にのみ、確率は2/3になる。
招待されたコメント[ 42 ]と、その後の編集者への手紙[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]において、モーガンらは一部の執筆者から支持され、他の執筆者から批判された。いずれの場合も、モーガンらの回答は、手紙またはコメントとともに『The American Statistician』に掲載されている。特に、サヴァントは精力的に自己弁護を行った。モーガンらは、サヴァントへの回答[ 43 ]の中で、サヴァントがまだ自分たちの主要な論点に実際には答えていないと不満を述べた。後にホグビンとナイダムへの回答の中で[ 46 ]彼らは、ホストが選択肢がある場合には完全にランダムにドアを開けることを選択すると考えるのが自然であり、したがって切り替えによって勝つ条件付き確率（つまり、プレイヤーが選択しなければならない状況が与えられた場合の条件付き確率）は切り替えによって勝つ無条件確率（つまり、すべての可能な状況にわたって平均化）と同じ値、2/3になることに同意した。この等価性はベルによって既に強調されており、ベルはモーガンらの数学的に複雑な解決策は統計学者にしか魅力的ではないが、対称性の場合の条件付き解決策と無条件解決策の等価性は直感的に明らかであると示唆した。
パレードで提示されたサヴァントの問題の定式化が、最初の質問をしているのか2番目の質問をしているのか、またこの違いが重要なのかどうかについては、文献で意見が分かれている。[ 47 ]ベーレンズは、「両方の分析が正しいことを確認するために、この問題を注意深く検討する必要がある」と結論付けているが、これは両者が同じであるという意味ではない。[ 48 ]モーガンらによる論文[ 39 ]の批判者数名は、サヴァントの表現を変更し、彼女の意図を誤解したとして、著者らを批判した。[ 47 ]ある討論者（ウィリアム・ベル）は、（標準的な条件では）ホストがどちらのドアを開けるかは、切り替えたいかどうかとは無関係であることを明示的に述べるかどうかは好みの問題だと考えた。
単純な解決策の中で、「複合ドア解決策」は、オッズの概念とベイズの定理を用いた方法の議論で示されているように、条件付き解決策に最も近いものです。これは、すでに知られている情報を明らかにしても確率に影響しないという、深く根付いた直感に基づいています。しかし、ホストが選ばれていない2つのドアのうちの1つを開けてヤギを見せることができると知っていても、特定のドアを開けることが、最初に選ばれたドアの後ろに車がある確率に影響しないという意味ではありません。重要なのは、ホストがドアを開けてヤギを見せることは事前にわかっているものの、どのドアを開けるかはわからないということです。ホストがヤギを隠しているドアの中から一様にランダムに選択する場合（標準的な解釈の場合）、この確率は確かに変わりませんが、ホストがそのようなドアの中から非ランダムに選択できる場合、ホストが開ける特定のドアによって追加の情報が明らかになります。ホストはいつでもヤギが見えるドアを開けることができ、（問題の標準的な解釈では）最初に選んだドアの後ろに車がある確率は変わりませんが、後者が真であるのは前者によるものではありません。ホストの行動が最初に選んだドアの後ろに車がある確率に影響を与えないという主張に基づく解決策は説得力があるように見えますが、ホストに選択肢がある場合、2 つの選択肢がどちらも同じ確率でない限り、その主張は単純に偽です。[ 49 ]したがって、その主張は正当化される必要があり、正当化が与えられなければ、解決策はせいぜい不完全です。答えは正しいが、それを正当化するために使用された推論に欠陥があるという場合もあります。
上記の単純な解は、切り替え戦略をとるプレイヤーが、ホストがどのドアを開けたかを考慮しない場合、全体的な確率 2/3 で車を獲得することを示しています。[50 ] [ 14 ]これに従って、確率のトピックに関するほとんどの情報源は、競技者が最初にドア 1を選び、ホストがドア 3 を開けた場合、車がドア 1 とドア 2 の後ろにある条件付き確率をそれぞれ 1/3 と 2/3と計算しています。 [ 2 ] [ 39 ] [ 51 ] [ 36 ] [ 14 ] [ 50 ] [ 37 ]このセクションの解は、プレイヤーがドア 1 を選び、ホストがドア 3 を開けた場合のみを考慮しています。
ドアに明示的に番号を付けずに解を求めるには、全確率の法則を適用します。
ここで、「正しい」最初の推測とは、最初に選んだドアが車を隠していることを意味します。3 つのドアのうちちょうど 1 つが車を隠しているので、
次、 なぜなら、切り替えは必然的に車からヤギへの移動となるからだ。
一方で、 なぜなら、ホストは残りの扉の中にヤギを隠し、唯一開けていない扉に車を隠すためだ。
したがって、
ホストが選択肢を与えられたときにランダムにドアを開けると仮定すると、ホストがどのドアを開けるかによって、車がドア 1 の後ろにあるかどうかについての情報は全く得られません。単純な解では、プレイヤーが最初に選択したドアであるドア 1 の後ろに車がある確率は、最初は 1/3 であることがすでに確認されています。さらに、ホストは必ず(別の) ドアを開けるので、ドアを開けること(どのドアかは指定されていません) はこれを変えません。1/3は、ホストがドア 2を選んだ場合に車がドア 1 の後ろにある確率と、ホストがドア 3 を選んだ場合に車がドア 1 の後ろにある確率の平均でなければなりません。これは、これらが 2 つの可能性しかないためです。しかし、これら 2 つの確率は同じです。したがって、両方とも1/3に等しくなります。[ 39 ]これは、プレイヤーが最初にドア 1 を選択し、ホストがドア 3 を開けた場合、車がドア 1 の後ろにある確率は 1/3 であることを示しており、プレイヤーが最初にドア 1 を選択し、ホストがドア 3 を開けた場合、車がドア 2の後ろにある確率は 2/3 であることがわかります。分析では、常に切り替えることで達成される全体的な成功率 2/3 は改善できないことも示されており、すでに直感的に明らかであったかもしれないことを強調しています。プレイヤーが直面する選択は、最初に選択したドアと、ホストが閉じたままにしたもう 1 つのドアの 2 つであり、これらのドアの具体的な数字は関係ありません。
定義によれば、競技者が最初にドア 1 を選び、司会者がドア 3 を開けた場合に、切り替えによって勝つ条件付き確率は、「車がドア 2 の後ろにあり、司会者がドア 3 を開ける」という事象の確率を「司会者がドア 3 を開ける」という事象の確率で割ったものです。これらの確率は、以下の条件付き確率表、または同等の決定木を参照して決定できます。[ 51 ] [ 14 ] [ 50 ]切り替えによって勝つ条件付き確率は1/3 / 1/3 + 1/6であり、これは2 / 3です。[ 2 ]
以下の条件付き確率表は、プレイヤーが最初にドア1を選択した場合の300のケースが、車の位置とホストが開けるドアの選択に応じて、平均的にどのように分割されるかを示しています。
確率論の分野における多くの確率の教科書や論文では、ベイズの定理の正式な適用を通して条件付き確率の解を導出している。その中には、Gill [ 52 ]や Henze [ 53 ]の著書も含まれる。ベイズの定理によれば、ドア 3 が開いたという条件の下で、車がドア 1 の後ろにある条件付き確率は、は次のように計算できます。 右側には事前確率があります。事前確率車がドア1の後ろにあるということはすべての結果が事前確率として等しい確率であるため、条件付き確率車が1の位置にある場合、ドア3が開いているのはドア2とドア3はそれぞれ等しい確率で出現する（どちらにも車が入っていない）ため、分母を計算するには、事象「車1」、「車2」、「車3」が確率空間を分割するという事実を利用する必要があります。これは、 さて、確率車がドア2の後ろにあるという条件の下でドア3が開く確率は1です（ドア2を開けるとヤギではなく車が見えるからです）。最後に、確率は車がドア3の後ろにあるという条件の下でドア3が開く確率は、同じ理由で0です。これら3つの条件付き確率を用いると、分母は次のようになります。 分子と分母を組み合わせると、ベイズの定理は次のようになる。 したがって（補足的に）車が唯一残っているドア（ドア2）の後ろにある確率はだから、切り替えるのが最も賢明だ。
一部の情報源は、ベイズの定理のオッズ形式の使用を推奨しており、それによって導出がより明確になると主張している。 [ 35 ] [ 54 ]最初は、車は3つのドアのいずれかの後ろにある可能性が等しい。車1、車2、車3のオッズは1:1:1である。これは、プレイヤーがドア1を選択した後も変わらない。ベイズのルールによれば、ホストがドア3を開けた場合の車の位置の事後オッズは、事前オッズにベイズ因子または尤度を掛けたものに等しい。これは、定義により、考慮される各仮説（車の位置）の下での新しい情報（ホストがドア3を開ける）の確率である。さて、プレイヤーが最初にドア 1 を選んだので、車がドア 1 の後ろにある場合、ホストがドア 3 を開ける確率は 50%、車がドア 2 の後ろにある場合は 100%、車がドア 3 の後ろにある場合は 0% です。したがって、ベイズ因子は比率 1 / 2 : 1: 0または同等に1:2: 0で構成され、事前オッズは 1:1:1 でした。したがって、事後オッズはベイズ因子1:2:0と等しくなります。ホストがドア 3 を開けたことを考えると、車がドア 3 の後ろにある確率はゼロであり、ドア 1 の後ろよりもドア 2 の後ろにある可能性が 2 倍になります。
リチャード・ギル[ 55 ]は、ホストがドア3を開ける可能性を次のように分析しています。車がドア1の後ろにない場合、ドア2またはドア3の後ろにある可能性は等しくなります。したがって、ホストがドア3を開ける可能性は50%です。車がドア1の後ろにある場合、ホストがドア3を開ける可能性も50%です。なぜなら、ホストに選択肢がある場合、どちらの選択肢も等しく可能性が高いからです。したがって、車がドア1の後ろにあるかどうかに関わらず、ホストがドア3を開ける可能性は50%です。「ホストがドア3を開ける」という情報は、車がドア1の後ろにあるかどうかについて、ベイズ因子または尤度比1:1をもたらします。当初、ドア1が車を隠している可能性に対するオッズは2:1でした。したがって、ドア1が車を隠している可能性に対する事後オッズは、事前オッズと同じ2:1のままです。
言葉で言えば、ホストがどのドアを開けたか（ドア2かドア3か？）という情報は、車がドア1の後ろにあるかどうかについては全く情報を示しておらず、これはまさに単純な解決策の支持者によって直感的に明らかであると主張されている点であり、数学的証明の慣用句を使えば、「対称性から見て明らかに正しい」ことである。[ 45 ]
標準的な仮定の下で切り替え戦略が実際に3回中2回勝つことを示す簡単な方法は、トランプを使ってゲームをシミュレートすることです。[ 56 ] [ 57 ]通常のデッキから3枚のカードを使用して3つのドアを表します。1枚の「特別な」カードは車のあるドアを表し、他の2枚のカードはヤギのドアを表します。
このシミュレーションは、ゲームの複数ラウンドをシミュレートするために複数回繰り返すことができます。プレイヤーは3枚のカードのうち1枚を選び、その後、「ホスト」は残りの2枚のカードを見てヤギのカードを1枚捨てます。ホストの手札に残ったカードが車のカードであれば、これは切り替えの勝利として記録されます。ホストがヤギのカードを持っている場合は、そのラウンドは維持の勝利として記録されます。この実験を複数ラウンドにわたって繰り返すと、各戦略の観測された勝率は、大数の法則に従って、理論上の勝率に近づく可能性が高くなります。
繰り返しプレイすることで、切り替えがより良い戦略である理由もより明確になります。プレイヤーがカードを選んだ後、切り替えによってラウンドに勝てるかどうかはすでに決定されています。これが納得できない場合は、デッキ全体でシミュレーションを行うことができます。 [ 56 ] [ 15 ]このバリアントでは、車のカードは52回中51回ホストに渡され、車以外のカードが何枚捨てられてもホストに残ります。
この問題の一般的な変種は、一部の学術著者が標準的な問題とみなしているもので、ホストが開けるドアを常に一律に選択しなければならないという単純化された仮定を置かず、代わりにホストが別の戦略を用いるというものである。どの形式化が権威あるものかという混乱は、特にこの変種がプレイヤーにとって常に切り替える戦略の最適性を変えることなく証明をより複雑にするため、かなりの論争を引き起こしてきた。この変種では、プレイヤーはホストの選択に応じて異なる勝率を持つ可能性があるが、いずれの場合も切り替えによって勝つ確率は少なくとも 1/2 であり（最大で1 になることもある）、切り替えによって勝つ全体的な確率は依然として正確に2/3である。これらの変種は、確率論とゲーム理論の基礎を教えることを目的とした教科書や記事で連続して紹介されることがある。他にもかなりの数の一般化が研究されている。
1990年にParade誌に掲載されたモンティ・ホール問題のバージョンでは、ホストが必ず別のドアを開ける、または必ず切り替えの選択肢を提供する、あるいは車が見えるドアを絶対に開けない、といったことは具体的に述べられていませんでした。しかし、サヴァントは2回目のフォローアップコラムで、ホストの意図された行動は、彼女が当初の回答として示した2/3の確率につながるものだけであると明確にしました。「それ以外のことは別の問題です。」[ 5 ] 「私の批判者のほぼ全員が、意図されたシナリオを理解していました。私は個人的に（届いた何千通もの手紙のうち）3000通近くの手紙を読みましたが、ほぼ全員が、2つの選択肢が残っている（または同等の誤りがある）ため、確率は均等であると主張しているだけでした。曖昧さについて疑問を呈した人はごくわずかで、実際にコラムに掲載された手紙は、そのごく少数の中に含まれていませんでした。」[ 58 ]車がランダムにいずれかのドアの後ろに配置された場合、ホストはプレイヤーの最初の選択に関係なくヤギが現れるドアを開けなければならず、2 つのドアがある場合はランダムにどちらを開けるかを選択します。[ 9 ]下の表は、ホストの他のさまざまな動作と切り替えの成功への影響を示しています。
ホストが従わなければならない一連のルールの中で、プレイヤーにとって最適な戦略を決定することは、ゲーム理論で研究される問題の一種です。たとえば、ホストが乗り換えの提案をする必要がない場合、プレイヤーはホストが悪意を持っていると疑い、最初に車を選択した場合に提案を頻繁に行う可能性があります。一般的に、この種の質問に対する答えは、ホストの行動に関する具体的な仮定に依存し、「ホストを完全に無視する」から「コインを投げて表が出たら乗り換える」まで、さまざまな選択肢があります。下の表の最後の行を参照してください。
Morgan et al [ 39 ]と Gillman [ 36 ]は、車が（一様）ランダムに配置されるが、プレイヤーが最初に車を選択した場合、ホストが一様ランダムに選択する必要はないという、より一般的な解決策を示している。これは、著者の免責事項にもかかわらず、Paradeの問題文を両者が解釈した方法である。両者は、問題を再提示する際に、その点を強調するためにParade版の文言を変更した。彼らは、ホストが確率qで表される好みで 2 匹のヤギを表示するか選択するシナリオを検討している。qの値は 0 から 1 の間である。ホストがランダムに選択する場合、qは1/2となり、ホストがどのドアを開けるかに関わらず、切り替えが確率2/3で勝つ。プレイヤーがドア 1 を選び、ホストがドア 3 を好む確率が q である場合、ホストがドア 3 を開けて車がドア 2 の後ろにある確率は 1/3 であり、ホストがドア 3 を開けて車がドア 1 の後ろにある確率は q/3 です。ホストがドア3を開けるのはこれらのケースのみなので、ホストがドア 3 を開けるという条件の下で切り替えて勝つ条件付き確率はこれは 1 / 1 + q に簡略化されます。qは0から1の間で変化する可能性があるため、この条件付き確率は 1 / 2 から1の間で変化する可能性があります。これは、ホストがランダムに選択するように制約しなくても、プレイヤーが最初に車を選択した場合、プレイヤーは切り替えても決して不利にならないことを意味します。ただし、どちらの情報源も、プレイヤーがqの値を知っていることを示唆していないため、プレイヤーは Savant が暗黙のうちに想定した 2 / 3 以外の確率を割り当てることはできません。
DL Ferguson [ 2 ]は、元の問題をNドアに一般化したもので、ホストがp 個の負けドアを開け、その後プレイヤーに切り替えの機会を与えるというものです。このバリアントでは、切り替えによって確率で勝利します。この確率は常に 1 / N より大きいので、切り替えは常に有利になります。
ホストがドアを 1 つだけ開ける場合 ( p = 1 )でも、プレイヤーはどのケースでも切り替えた方が有利です。Nが大きくなるにつれて、その利点は減少し、ゼロに近づきます。[ 62 ]もう一方の極端な例として、ホストが 1 つを除くすべての負けのドアを開ける場合 ( p = N − 2 ) は、 N が大きくなるにつれて利点が大きくなり(切り替えによって勝つ確率は N − 1 / N であり、N が非常に大きくなるにつれて1 に近づきます)。
量子版のパラドックスは、古典的または非量子的な情報と、量子力学システムの状態に符号化された量子情報との関係についていくつかの点を示しています。この定式化は、量子ゲーム理論にゆるやかに基づいています。3つのドアは、3つの選択肢を可能にする量子システムに置き換えられます。ドアを開けて後ろを見ることは、特定の測定を行うことと解釈されます。ルールはこの言語で記述でき、ここでもプレイヤーの選択は、最初の選択を維持するか、別の「直交」オプションに変更することです。後者の戦略は、古典的な場合と同様に、チャンスを2倍にすることがわかります。ただし、番組の司会者が賞品の位置を完全に量子力学的な方法でランダム化していない場合は、プレイヤーはさらに良い結果を出すことができ、場合によっては確実に賞品を獲得することもできます。[ 63 ] [ 64 ]
モンティ・ホール問題に関連するいくつかの確率パズルの中で最も古いものは、1889年にジョセフ・ベルトランが著書『確率の計算』で提起したベルトランの箱のパラドックスである。[ 65 ]このパズルでは、3つの箱がある。金貨2枚が入った箱、銀貨2枚が入った箱、金貨と銀貨が1枚ずつ入った箱である。箱をランダムに1つ選び、ランダムに1枚のコインを取り出したところ、それがたまたま金貨だった場合、もう1枚のコインが金貨である確率はどれくらいか。モンティ・ホール問題と同様に、直感的な答えは1/2だが、実際の確率は2/3である。
1959年にサイエンティフィック・アメリカンのマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムに掲載された「3人の囚人問題」 [ 7 ] [ 56 ]は、モンティ・ホール問題と同等です。この問題は、3人の死刑囚のうち、無作為に選ばれた1人が秘密裏に恩赦を受けることになっているというものです。囚人の1人が、自分の運命については何も分からないが、恩赦を受ける確率が1/3から1/2に上がるとして、処刑される他の囚人の名前を教えてほしいと看守に懇願します。看守は、（秘密裏に）コインを投げて、尋ねている囚人が恩赦を受ける囚人である場合にどの名前を教えるかを決め、その要求に応じます。問題は、看守の答えを知ることで、囚人が恩赦を受ける確率が変わるかどうかです。この問題はモンティ・ホール問題と同等です。質問をしている囚人にはまだ恩赦される可能性が 1/3ありますが、名前のわからない同僚には2/3のチャンスがあります。
スティーブ・セルビンは、1975年にアメリカ統計学者に宛てた2通の手紙でモンティ・ホール問題を提起した。[ 1 ] [ 2 ]最初の手紙では、15年後にパレード誌で提示されたものに近い形で問題が提示された。2通目は「モンティ・ホール問題」という用語が初めて使用されたものと思われる。この問題は実際にはゲームショーから派生したものである。モンティ・ホールは興奮を高めるために間違ったドアを開けたが、ドアを交換する選択肢ではなく、 100ドルの現金など、既知のより少ない賞品を提供した。モンティ・ホールがセルビンに書いたように：[ 66 ]
そして、もしあなたが私の番組に出演することになったら、ルールはあなたにも厳守されます。選考後にボックスを交換することは禁止です。
3年後にParade誌に掲載されたものと非常によく似た問題のバージョンが、 1987年にThe Journal of Economic Perspectives誌のパズルセクションに掲載された。ナレバフは、後の数理経済学の著者たちと同様に、この問題をゲーム理論の単純で面白い演習と見なしている。[ 67 ]
フィリップ・マーティンが1989年に『ブリッジ・トゥデイ』誌に寄稿した記事「モンティ・ホール・トラップ」では、セルビンの問題を、マーティンが「確率の罠」と呼ぶ、非ランダムな情報をランダムであるかのように扱うことの例として提示し、これをブリッジのゲームにおける概念と関連付けている。[ 68 ]
セルビンの問題の改訂版が、1990 年 9 月にParade 誌のマリリン・ボス・サヴァントの質疑応答コラム「Ask Marilyn 」に掲載された。 [ 3 ]サヴァントは、切り替えれば 3 分の 2 の確率で勝つという正しい答えを出したが、彼女の回答は間違っていると主張する手紙が 10,000 通も雑誌に届き、そのうち 1,000 通近くは博士号取得者によるもので、多くは数学や科学の学科のレターヘッドを使用していたと推定している。[ 4 ]圧倒的な反響を受けて、Parade 誌はこの問題について異例の 4 回のコラムを掲載した。[ 69 ]この宣伝の結果、この問題は「マリリンとヤギ」という別名を得た。
1990年11月、セシル・アダムスのコラム「ストレート・ドープ」で、サヴァントの記事をめぐる同様に物議を醸す議論が繰り広げられた。 [ 15 ]アダムスは当初、残りの2つのドアの確率はそれぞれ2分の1であると誤って答えた。読者からアダムスの分析の数学的な誤りを指摘する手紙が届いた後、アダムスは数学的に自分が間違っていたことを認めた。「あなたはドア1を選びます。ここで、ドア1を開けるか、ドア2とドア3を開けるかという選択肢が提示されます。後者の場合、どちらかのドアの後ろに賞品があれば、あなたは賞品を保持できます。賞品を獲得できる確率が3分の2である方が、3分の1であるよりも良いと思いませんか？よく考えてみれば、元の問題では基本的に同じ選択肢が提示されています。モンティは事実上こう言っているのです。あなたは1つのドアを保持するか、残りの2つのドアを持つかを選択できます。そのうちの1つ（賞品のないドア）は私があなたのために開けてあげます。」アダムスは、パレード版では重要な制約が明記されておらず、それらの制約がなければ、切り替えによって勝つ確率は必ずしも3分の2ではない（例えば、司会者が必ずドアを開けると考えるのは合理的ではない）と述べた。しかし、多くの読者から、アダムスは「最初から正しかった」ので、正しい確率は2分の1だと主張する手紙が寄せられた。
パレード誌のコラムとその反響は、ニューヨーク・タイムズ紙の一面記事でモンティ・ホール本人へのインタビューが掲載されるなど、マスコミで大きな注目を集めた。[ 4 ]ホールは問題を理解しており、車のキーを使って記者に実演し、「レッツ・メイク・ア・ディール」での実際のゲームプレイがパズルのルールとどのように異なるかを説明した。記事の中でホールは、自分がゲームの進行をコントロールし、出場者の心理を利用していたため、理論上の解決策は番組の実際のゲームプレイには当てはまらないと指摘した。専門家たちが確率は2分の1だと主張したことに驚かなかったという。「私がドアの向こうに何もないことを出場者に見せた後、出場者が番組で抱くのと同じ思い込みです」と彼は言った。「彼らは自分のドアの確率が2分の1に上がったと考え、私がいくらお金を提示してもドアを手放したくなかったのです。そのドアを開けることで、私たちはプレッシャーをかけていたのです。私たちはそれをヘンリー・ジェームズの手法と呼んでいました。『ねじの回転』です。」ホール氏は、ゲーム番組の司会者として、サヴァント欄のパズルのルールに従う必要はなく、必ずしも参加者に選択肢を変える機会を与える必要もないと説明した（例えば、負けのドアであればすぐにドアを開けたり、負けのドアから勝ちのドアに切り替えないようにお金を渡したり、勝ちのドアを持っている場合にのみ選択肢を変える機会を与えたりするかもしれない）。「司会者が常にドアを開けて選択肢を与える義務があるなら、あなたは選択肢を変えるべきだ」と彼は述べた。「しかし、選択肢を与えるかどうかを選択できる場合は注意が必要だ。買い手責任だ。すべては司会者の気分次第だ。」
