誘導表現

G を有限群とし、HをGの任意の部分群とする。さらに、( π , V )をHの表現とする。n = [ G  : H ]をGにおけるHの指数とし、g ₁ , ..., g _{n を}G / Hの左剰余類のGにおける代表の完全な集合とする。誘導表現Ind ^G _H π は、次の空間に作用するものと考えることができる。

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

ここで、各g _i Vはベクトル空間Vの同型コピーであり、その要素はv ∈ Vでg _i vと表記されます。Gの各gに対して、各iと{1, ..., n } の置換jに対して、 g g _i = g _{j ( i )} h _iとなるHのh _iが存在します。ここで、h _iとj はgに依存します。これは、 g ₁ , ..., g _nが代表元集合の完全集合であるということを別の言い方で表現したものです。誘導表現を介して、G はWに次のように作用します。

${\displaystyle g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}}$

どこ${\displaystyle v_{i}\in V}$各iについて。

あるいは、スカラーの拡張によって誘導表現を構築することもできる。任意のK線形表現${\displaystyle \pi }$ 群Hの は、群環K [ H ]上の加群Vと見なすことができる。次に、次のように定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

この後者の式は、有限性を必要とせずに、任意の群Gおよび部分群Hに対してInd ^G _H π を定義するためにも使用できます。 ^{[ 1 ]}

Gが局所コンパクト位相群（無限群の場合もある）であり、 Hが閉部分群である場合、誘導表現の一般的な解析的構成法が存在する。( π , V )をHからヒルベルト空間Vへの連続ユニタリ表現とする。このとき、次のように定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{すべての}}h\in H,\;g\in G{\text{および}}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}。}

ここでφ ∈ L ² ( G / H )は、空間G / Hが適切な不変測度を持ち、 φ ( g )のノルムがH の各左剰余類上で一定であるため、これらのノルムの二乗をG / H上で積分して有限の結果を得ることを意味します。群Gは、誘導表現空間に平行移動によって作用します。つまり、 g, x ∈ Gおよびφ ∈ Ind ^G _H πに対して( g . φ )( x )= φ ( g ⁻¹ x )となります。

この構成は、必要なアプリケーションに合わせてさまざまな方法で変更されることが多い。一般的なバージョンは正規化誘導と呼ばれ、通常は同じ表記法を使用する。表現空間の定義は次のとおりである。

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ および }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}

ここで_、ΔG、ΔH_はそれぞれGとHのモジュラー関数である。正規化因子を加えることで、この誘導関数はユニタリ表現をユニタリ表現に変換する。

帰納法のもう一つのバリエーションとして、コンパクト帰納法があります。これは、コンパクトなサポートを持つ関数に限定した標準的な帰納法です。正式には ind と表記され、次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\$ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ かつ }}\phi {\text{ は mod }}H でコンパクトなサポートを持つ。}

G / Hがコンパクトである場合、Ind と ind は同じ関手であることに注意してください。

Gを位相群とし、HをGの閉部分群とする。また、πをベクトル空間V上のHの表現とする。このとき、G は積G × Vに次のように作用する 。

${\displaystyle g.(g',x)=(gg',x)}$

ここで、gとg ′はGの要素であり、xはVの要素である。

G × V上で 同値関係を定義する

$すべての h ∈ H に対して、\displaystyle (g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ }$

の同値類を表す${\displaystyle (g,x)}$による${\displaystyle [g,x]}$この同値関係はGの作用の下で不変であることに注意する。したがって、G は( G × V )/~ に作用する。後者は、Hを構造群、Vをファイバーとする商空間G / H上のベクトル束である。Wを切断空間とする。${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$このベクトル束の。これは誘導表現の基となるベクトル空間です。${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi :W\to {\mathcal {L}}_{W}}$グループGはセクションに作用する${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$によって与えられた${\displaystyle gH\mapsto [g,\phi _{g}]}$次のように：

${\displaystyle (g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.}$

局所コンパクト群のユニタリ表現の場合、帰納法の構成は、不完全性のシステムの観点から定式化することができる。