非原型性のシステム

不完全性システムの概念は、数学、特に代数学と解析学において、群表現論の文脈で用いられる。ジョージ・マッキーは、局所コンパクト群の誘導ユニタリ表現論の基礎としてこの概念を用いた。

最も単純なケース、そしてこのアイデアが最初に注目された文脈は、有限群の場合です（原始置換群を参照）。群Gと部分群HおよびKを考えます。KはHに含まれます。このとき、 GにおけるHの左剰余類はそれぞれKの左剰余類の和集合になります。それだけでなく、 Gの任意の要素gによる (片側での) 平行移動はこの分解を尊重します。誘導表現との関連は、剰余類上の置換表現が誘導表現の特殊なケースであり、自明な表現から表現が誘導されるということです。この場合、組み合わせ的な構造が平行移動によって尊重されることから、KはGの極大部分群であるか、または非原始性 (大まかに言えば、完全な「混合」の欠如) のシステムが存在することがわかります。これを他のケースに一般化するために、この概念は再表現されます。まず、K-剰余類上で定数であるG上の関数の観点から、次に射影演算子（例えば、群代数の要素のK-剰余類上の平均）の観点からです。

マッキーはこの考え方を、配置空間に作用する相対性群の保存に基づく量子化理論の説明にも用いた。これはユージン・ウィグナーらの研究を一般化したものであり、正準量子化における先駆的なアイデアの一つとみなされることが多い。

一般的な定義を動機づけるために、まず有限群とその有限次元ベクトル空間上の表現の場合について定義を定式化する。

G を有限群とし、Uを有限次元複素ベクトル空間H上のGの表現とする。GがHの要素に作用すると、 GはHのベクトル部分空間Wに次のように作用する。

${\displaystyle U_{g}W=\{U_{g}w:w\in W\}。}$

Hの部分空間の集合をXとし、

• Xの要素は、部分空間に対するGの作用によって置換され、
• HはXの要素の（内部）代数的直和、すなわち、

${\displaystyle H=\bigoplus _{W\in X}W.}$

すると、（U、X ）はGの非原始性のシステムとなる。

上記の定義では、以下の2つの主張が成り立たなければならない。

• W ∈ Xの空間WはHを張らなければならず、
• 空間W ∈ Xは線形独立でなければならない。つまり、

$\displaystyle \sum _{W\in X}c_{W}v_{W}=0,\quad v_{W}\in W\setminus \{0\}}$

これは、すべての係数c _Wがゼロの場合にのみ成り立つ。

GがXの要素に及ぼす作用が推移的である場合、これを推移的な非原始性システムと呼ぶ。

G を有限群とし、G _{0 を}Gの部分群とする。Gの表現UがG ₀の表現Vから誘導されるのは、以下の条件が満たされる場合に限る。

• 非原始性の推移的システム ( U、X ) および
• 部分空間W ₀ ∈ X

G ₀はGの作用によるWの安定化部分群である、すなわち

${\displaystyle G_{0}=\{g\in G:U_{g}W_{0}\subseteq W_{0}\}.}$

また、V は、 h ∈ G ₀に対してU _h | W ₀で与えられるW ₀ 上のG ₀の表現と等価である。この定義により、によって誘導されるものは表現間の関係であることに注意する。我々は、この関係に対応する表現上の写像が実際に存在することを示す。

有限群の場合、表現Uの指標を考察することにより、表現の同値性に関する明確な誘導構成が存在することを示すことができる。

${\displaystyle \chi _{U}(g)=\オペレーター名 {tr} (U_{g})。}$

Gの表現UがG ₀の表現Vから誘導される場合、

${\displaystyle \chi _{U}(g)={\frac {1}{|G_{0}|}}\sum _{\{x\in G:{x}^{-1}\,g\,x\in G_{0}\}}\chi _{V}({x}^{-1}\ g\ x),\quad \forall g\in G.}$

したがって、特性関数 χ _U (およびU自体) は χ _Vによって完全に決定されます。

前節で述べた有限次元の定義を一般化するには、表現Uによって置換されるHのベクトル部分空間の集合Xの適切な代替物が必要です。実際には、Hの部分空間に基づく素朴なアプローチは機能しません。たとえば、L ² ( R )上のRの並進表現は、この意味での非原始性のシステムを持ちません。直接和分解の正しい定式化は、射影値測度の観点から定式化されます。

マッキーの元の定式化は、局所的にコンパクトな第2可算群 (lcsc) G、標準ボレル空間X、およびボレル群作用の観点から表現された。

${\displaystyle G\times X\rightarrow X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x.}$

これを標準ボレルG空間と呼ぶことにする。

これらの定義はより一般的な文脈で示すこともできるが、マッキーが用いた元の設定は依然としてかなり一般的であり、技術的な詳細をあまり必要としない。

定義。Gを標準ボレル空間Xに作用する lcsc 群とする。( G , X )に基づくインプリミティビティのシステムは、可分ヒルベルト空間Hと、以下のペアから構成される。

• H上のGの強連続ユニタリ表現U : g → U _g。
• Xのボレル集合上の射影値測度πで、 Hの射影に値を持つもの。

満たす

${\displaystyle U_{g}\pi (A)U_{g^{-1}}=\pi (g\cdot A).}$

不完全性のシステムが重複度nの同次性を持つのは、対応する射影値測度 π が重複度n の同次性を持つ場合に限る。実際、X は、π がX _n上で重複度nの同次性を持つようなボレル集合の可算個の互いに素な族 { X _n } _{1 ≤ n ≤ ωに分割される。また、} X _nがG不変であることも容易に示すことができる。

補題。任意の不完全性システムは、同次システムの直交直和である。

GのXへの作用が推移的であれば、 X上の任意の非原始性システムは同質であることが示せる。より一般的には、 GのXへの作用がエルゴード的（つまり、XはXの不変な固有ボレル集合によって還元できない）であれば、 X上の任意の非原始性システムは同質である。

ここでは、上記の例で示したクープマン表現を一般化した形で、不原性同質システムの構造をどのように表現できるかについて議論する。

以下では、μ は標準ボレルG空間X上のσ 有限測度であり、 Gの作用がμ の測度クラスを尊重すると仮定する。この条件は不変性よりも弱いが、上記の例のクープマン演算子と同様のユニタリ並進演算子を構成するには十分である。Gがμ の測度クラスを尊重するとは、ラドン・ニコディム微分が

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )}$

は、すべてのg ∈ Gに対して適切に定義され、

${\displaystyle g^{-1}\mu (A)=\mu (gA).\quad }$

sには共同ボレル可測なバージョンが存在することが示せる。

${\displaystyle s:G\times X\rightarrow [0,\infty )}$

ボレルは測定可能であり、

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )}$

ほぼすべての ( g , x ) ∈ G × Xの値に対して。

Hを可分ヒルベルト空間とし、U( H ) をH上のユニタリ作用素とする。ユニタリコサイクルはボレル写像である。

${\displaystyle \Phi :G\times X\rightarrow \operatorname {U} (H)}$

そのため

${\displaystyle \Phi (e,x)=I\quad }$

ほとんどすべてのx ∈ Xに対して

${\displaystyle \ファイ (gh,x)=\ファイ (g,h\cdot x)\ファイ (h,x)}$

ほぼすべての ( g , h , x ) に対して。ユニタリ コサイクルが厳密であるのは、上記の関係がすべての ( g , h , x ) に対して成り立つ場合のみです。任意のユニタリ コサイクルに対して、ほぼすべての場所でそれと等しい厳密なユニタリ コサイクルが存在することが示されています (Varadarajan、1985)。

定理。定義する

${\displaystyle [U_{g}\psi ](x)={\sqrt {s(g,g^{-1}x)}}\ \Phi (g,g^{-1}x)\ \psi (g^{-1}x).}$

このとき、Uはヒルベルト空間上のGのユニタリ表現である。

$\displaystyle \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x).}$

さらに、任意のボレル集合Aに対して、π( A ) は射影演算子である。

${\displaystyle \pi (A)\psi =1_{A}\psi ,\quad \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x),}$

すると、（U 、π）は（ G、X ）の非原始性のシステムとなる。

逆に、任意の同質な不原形性システムは、ある測度σ-有限測度μに対して、この形式をとる。この測度は測度同値性を除いて一意であり、つまり、そのような2つの測度は同じ測度0の集合を持つ。

原始性の均質システムとコサイクルとの間の対応関係については、さらに多くのことが言えるだろう。

しかし、 GによるXへの作用が推移的である場合、対応関係は、作用の不動点部分群にコサイクルΦを制限することによって得られる表現に基づいて、特に明確な形をとる。次節では、この場合について考察する。

XがボレルG空間であり、x ∈ Xである場合、不動点部分群は

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}}$

はGの閉部分群である。G のXへの作用がボレルであると仮定しているだけなので、この事実は自明ではない。これを証明するには、標準的なボレルG空間を、作用が連続であるコンパクトなG空間に埋め込むことができるという事実を利用できる。

定理。GがXに推移的に作用すると仮定する。このとき、 X上にσ有限準不変測度μが存在し、それは測度同値性を除いて一意である（すなわち、そのような測度の任意の2つは同じ測度ゼロの集合を持つ）。

Φが厳密なユニタリコサイクルである場合

${\displaystyle \Phi :G\times X\rightarrow \operatorname {U} (H)}$

すると、Φ を固定点部分群G _xに制限すると、H上のG _xのボレル可測ユニタリ表現U になります(ここで U( H ) は強作用素位相を持ちます)。しかし、ボレル可測ユニタリ表現は、ほとんど至るところで (ハール測度に関して) 強連続ユニタリ表現と等しいことが知られています。この制限写像は、基本的な対応関係を確立します。

定理。Gが準不変測度 μ でXに推移的に作用すると仮定する。( G , X )の不原形性の系のユニタリ同値類とG _xの表現のユニタリ同値類から全単射が存在する。

さらに、この全単射は既約性を保持します。つまり、( G , X )の非既約性のシステムは、G _xの対応する表現が既約である場合に限り既約です。

G _xの表現Vが与えられたとき、 Gの対応する表現はVによって誘導される表現と呼ばれます。

(Varadarajan、1985) の定理 6.2 を参照してください。

非原始性の体系は、アーベル群Nと、N の自己同型によって作用する群Hの半直積である群Gの表現を決定する際に自然に生じます。これは、NがGの正規部分群であり、HがGの部分群であり、G = NHかつN ∩ H = { e } ( eはGの単位元)であることを意味します。

その重要な例として、不均質ローレンツ群が挙げられる。

上記のようにG、H、Nを固定し、XをNの指標空間とする。特に、HはXに作用する。

${\displaystyle [h\cdot \chi ](n)=\chi (h^{-1}nh).}$

定理。Gの表現のユニタリ同値類と ( H , X )に基づく非可換性の系のユニタリ同値類の間には全単射が存在する。この対応関係は絡み合う作用素を保存する。特に、Gの表現が既約であるのは、対応する非可換性の系が既約である場合に限る。

この結果は、 HのXへの作用が、X上のすべてのエルゴード準不変測度が推移的であるような場合に特に興味深い。その場合、そのような各測度は、写像によるX上の Haar 測度の (完全有限バージョン) の像である。

${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}.}$

この条件が満たされるためには、Hの軌道を分離する可算個のH不変ボレル集合が存在することが必要である。これは、例えばR ⁴の指標空間に対するローレンツ群の作用の場合に当てはまる。

例：ハイゼンベルク群

ハイゼンベルク群は、次の形式の3 × 3実数行列の群である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

このグループは、

${\displaystyle H={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&w&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}:w\in \mathbb {R} {\bigg \}}}$

そしてアーベル正規部分群

${\displaystyle N={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&0&t\\0&1&s\\0&0&1\end{bmatrix}}:s,t\in \mathbb {R} {\bigg \}}.}$

Hにおける典型的な行列を[ w ] で表し、 Nにおける典型的な行列を[ s , t ] で表す。すると

${\displaystyle [w]^{-1}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}[w]={\begin{bmatrix}s\\-ws+t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-w&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}.}$

wは転置行列による乗算によってR ²の双対に作用する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-w\\0&1\end{bmatrix}}.}$

これにより、軌道と表現論を完全に決定することができる。

軌道構造：軌道は2つのクラスに分類されます。

• y軸と非ゼロ値y₀で交わる水平線_。この場合、この線上の準不変測度をルベーグ測度とすることができる。
• x軸上_の一点( x0,0 )

固定点部分群：これらも軌道に応じて2つのクラスに分類されます。

• 自明な部分群 {0}
• グループH自体

分類：これにより、ハイゼンベルク群のすべての既約表現を完全に分類することができます。これらは、次の集合によってパラメータ化されます。

• R − {0}。これらは無限次元です。
• ペア ( x ₀ , λ) ∈ R × R。x _0はx軸上の単一点軌道の横座標であり、λ はHの双対の要素です。これらは一次元です。

NとHに対する制約を記述することで、これらの表現の明示的な式を書き下すことができます。

ケース 1。対応する表現 π は次の形式です。これは、ルベーグ測度に関してL ² ( R ) に作用し、

${\displaystyle (\pi [s,t]\psi )(x)=e^{ity_{0}}e^{isx}\psi (x).\quad }$

${\displaystyle (\pi [w]\psi )(x)=\psi (x+wy_{0}).\quad }$

ケース2。対応する表現は1次元文字で与えられる。

${\displaystyle \pi [s,t]=e^{isx_{0}}.\quad }$

${\displaystyle \pi [w]=e^{i\lambda w}.\quad }$

• GW マッキー、『ユニタリ群表現の理論』、シカゴ大学出版局、1976年。
• V.S. ヴァラダラジャン、『量子論の幾何学』、シュプリンガー・フェルラーク、1985年。
• David Edwards、「量子力学の数学的基礎」、Synthese、第42巻、第1号/1979年9月、1～70ページ。