フロベニウスの公式

数学、特に表現論において、G. フロベニウスによって導入されたフロベニウスの公式は、対称群S _nの既約表現の指標を計算する。その他の応用例として、この公式はフックの長さの公式を導出するために使用できる。

させて${\displaystyle \chi _{\lambda }}$対称群の既約表現の指標となる${\displaystyle S_{n}}$パーティションに対応${\displaystyle \lambda }$nの:${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$そして${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+kj}$各パーティションについて${\displaystyle \mu }$nの、${\displaystyle C(\mu )}$共役類を表す${\displaystyle S_{n}}$それに対応する（以下の例を参照）とし、${\displaystyle i_{j}}$jが出現する回数を表す${\displaystyle \mu }$（それで${\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}$)すると、フロベニウスの公式は、定数の値が${\displaystyle \chi _{\lambda }}$の上${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

は単項式の係数です${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$同次多項式において${\displaystyle k}$変数

${\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

どこ$${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$$は${\displaystyle j}$-乗和。

例：${\displaystyle n=4}$。 させて${\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$そしてそれゆえに${\displaystyle k=2}$、${\displaystyle \ell _{1}=3}$、${\displaystyle \ell _{2}=2}$。 もし${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$（${\displaystyle i_{1}=4}$）これは、同一要素のクラスに対応し、${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$は係数です${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$で

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

つまり2です。同様に、${\displaystyle \mu :4=3+1}$（3サイクル×1サイクルのクラス）${\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}$、 それから${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$によって与えられた

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

は -1です。

恒等表現の場合、${\displaystyle k=1}$そして$\displaystyle \lambda _{1}=n=\ell _{1}}$キャラクター${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$の係数に等しくなります${\displaystyle x_{1}^{n}}$で${\displaystyle \prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}$これは、どの値に対しても 1 です。${\displaystyle \mu }$予想通り。

アルン・ラムはフロベニウスの公式のq類似版を与えている。 ^{[ 1 ]}

• 対称群の表現論

• Ram, Arun (1991). "ヘッケ代数の指標に対するフロベニウス公式". Inventiones Mathematicae . 106 (1): 461–488 . Bibcode : 1991InMat.106..461R . doi : 10.1007/BF01243921 .
• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
• マクドナルド、IG 『対称関数とホール多項式』第2版。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード科学出版。クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1995年。x+475ページ。ISBN  0-19-853489-2MR 1354144