マイヤーG関数

数学において、G 関数は、既知の特殊関数のほとんどを特殊なケースとして含めることを意図した 非常に一般的な関数として、コルネリス・サイモン・マイヤー(1936)によって導入されました。これは、この種の唯一の試みではありませんでした。一般化超幾何関数とマクロバート E 関数も同じ目的を持っていましたが、マイヤーの G 関数は、それらを特殊なケースとして含めることができました。最初の定義は、マイヤーによって級数を使用して行われました。今日受け入れられているより一般的な定義は、複素平面の線積分によるもので、これは 1953 年にアーサー・エルデーリによってその完全な一般性が導入されました。

現代的な定義では、確立された特殊関数の大部分は、マイヤーの G 関数で表すことができます。注目すべき特性は、すべての G 関数の集合が、微分だけでなく不定積分においても閉包することです。G関数G ( z )からその引数zの定数べきである任意の因子z ^{ρ を}解放することを可能にする関数方程式と組み合わせると、閉包は、関数が関数引数の定数べきの定数倍の G 関数f ( x ) = G ( cx ^γ ) として表現できる場合は常に、この関数の微分と不定微分も同様に表現できることを意味します。

特殊関数の幅広い適用範囲は、導関数と不導関数の表現と操作以外にも、マイヤーの G 関数の用途に威力を発揮します。たとえば、有理数γ / δ を持つ 2 つの G 関数の積G ₁ ( cx ^γ )· G ₂ ( dx ^δ )として表される任意の関数g ( x )の正の実軸上の定積分は、別のG関数に等しく、適切な G 関数ペアを変換カーネルとして使用すると、ハンケル変換やラプラス変換などの積分変換とその逆変換の一般化が得られます。

Meijer の G 関数に追加のパラメータを導入するさらに一般的な関数は、Fox の H 関数です。

マイヤー G 関数の応用例の 1 つは、動的カシミール効果の可動鏡モデルにおける慣性地平線からの放射の粒子スペクトルです (Good 2020)。

マイヤーG関数の一般的な定義は、複素平面における次の線積分によって与えられます（Bateman & Erdélyi 1953、§ 5.3-1）。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,}$

ここで、Γ はガンマ関数を表します。この積分はいわゆるメリン・バーンズ型であり、逆メリン変換として考えることができます。定義は次の仮定の下で成り立ちます。

• 0 ≤ m ≤ qかつ 0 ≤ n ≤ p（ただし、m、n、pおよびqは整数）
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... であり、任意の {k, j} の組み合わせでk = 1, 2, ..., n、j = 1, 2, ..., mであり、これは任意のΓ( b _j − s )、j = 1, 2, ..., mの極が任意の Γ(1 − a _k + s )、k = 1, 2, ..., nの極と一致しないことを意味する。
• 0 ≠ 0

歴史的な理由により、最初の下位インデックスと2 番目に上位のインデックスは最上位のパラメータ行を参照し、2 番目に下位のインデックスと最初の上位のインデックスは最下位のパラメータ行を参照することに注意してください。ベクトルを使用した次のようなより総合的な表記法がよく使用されます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

コンピュータ代数システムにおける G 関数の実装では、通常、 4 つの (空の場合もある) パラメータ グループa ₁ ... a _n、a _{n +1} ... a _p、b ₁ ... b _m、およびb _{m +1} ... b _qに対して個別のベクトル引数が使用されるため、順序p、q、n、およびm は冗長であるとして省略できます。

積分中のLは、積分中に従うべきパスを表します。このパスには 3 つの選択肢があります。

1. Lは− i ∞ から + i ∞ まで走り、Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., mのすべての極は経路の右側にあり、Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., nのすべての極は左側にあります。積分は|arg z | < δ πで収束します。ここで

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

このための明らかな前提条件はδ > 0である。積分は、(q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1のとき|arg z | = δ π ≥ 0で収束する。ここでσは、積分変数sが+ i ∞と− i ∞の両方に近づくときのRe( s )を表し、

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

必然的に、 |arg z |については、 = δ πおよびp = q の場合、Re( ν ) < −1 の場合、積分はσに関係なく収束します。

2. Lは +∞ で始まり +∞ で終わるループで、 Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., mのすべての極を負の方向に 1 回だけ囲みますが、 Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., nのいずれの極も囲みません。q > p ≥ 0であれば、積分はすべてのzについて収束します。また、| z | < 1であれば、q = p > 0 についても収束します。後者の場合、Re( ν ) < −1であれば、積分は | z | = 1についても収束します。ここで、 ν は最初のパスの場合と同様に定義されます。

3. L は、 -∞ で始まり、 -∞ で終わるループであり、 Γ(1 − a _k + s )、k = 1、2、...、nのすべての極を正の方向にちょうど1回取り囲みますが、 Γ( b _j − s )、j = 1、2、...、mのいずれの極も取り囲みません。ここで、積分は、 p > q ≥ 0であればすべてのzについて収束します。また、 | z | > 1である限り、 p = q > 0 についても収束します。2 番目のパスでも述べたように、 p = qの場合、Re( ν ) < -1 のとき、積分は | z | = 1 についても収束します。

収束条件は、積分関数のガンマ関数にスターリングの漸近近似を適用することで簡単に確立されます。積分がこれらのパスの 1 つ以上で収束する場合、積分の結果は一致することが示されます。1 つのパスのみで収束する場合は、そのパスのみを検討します。実際、複素平面での数値パス積分は、マイヤー G 関数の計算に対する実用的で合理的なアプローチです。

この定義の結果として、マイヤー G 関数は、原点z = 0 と単位円 | z | = 1 を除いて、 zの解析関数になります。

G関数は、次のmax( p , q )次線形微分方程式を満たします。

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

p ≤ qの場合のこの方程式の解の基本集合としては、次のものが考えられます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

p ≥ qの場合も同様です。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.}$

これらの特殊解は、 z = 0での可能性のある特異点(およびz = ∞ での可能性のある特異点)を除いて解析的であり、 p = qの場合はz = (−1) ^{p − m − n}での不可避な特異点も例外ではありません。 すぐにわかるように、これらはそれぞれ、 _z b _^h乗の引数 (−1) ^{p − m − n} zの一般化超幾何関数p F _{q −1}、およびz ^{a _h −1}乗の引数 (−1) ^{q − m − n} z ^{−1の一般化超幾何関数}_{q F p −1}と同一視できます。

上で紹介した2番目のパスに沿って評価したときに積分が収束し、Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., mの間に合流極が現れない場合、マイヤーのG関数は一般化超幾何関数_p F _{q −1の}剰余の合計として表すことができます（スレーターの定理）。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

星印は、 j = hに対応する項が省略されていることを示しています。積分が第 2 の経路に沿って収束するには、p < q、またはp = qかつ| z | < 1 のいずれかである必要があり、極が別個であるためには、b _j、j = 1、2、...、mのどのペアも整数またはゼロで異なっていてはいけません。関係式のアスタリスクは、次のようにインデックスj = hの寄与を無視することを思い出させます。積では、これは Γ(0) を 1 に置き換えることに相当し、超幾何関数の引数では、ベクトル表記の意味を思い出すと、

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

これはベクトルの長さをqからq −1に短縮することになります。

m = 0のとき、2番目の経路には極が含まれず、したがって積分は同じようにゼロになること に注意してください。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

p < q、またはp = qかつ| z | < 1の場合。

同様に、積分が上記の3番目のパスに沿って評価されたときに収束し、Γ(1 − a _k + s )、k = 1、2、...、nの間に合流極が現れない場合、G関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

このためには、p > q、またはp = qかつ| z | > 1 のいずれかが必要であり、_k、 k = 1、2、...、nのどのペアも整数またはゼロで異なってはなりません。n = 0 の場合、次のようになります。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

p > q、またはp = qかつ| z | > 1の場合。

一方、一般化された超幾何関数は、マイヤー G 関数で簡単に表現できます。

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

ここではベクトル表記を使用しています。

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

これは、そのパラメータa _pの少なくとも 1 つが非正の整数値で、超幾何関数が有限多項式に簡約されない限りは成り立ちます。その場合、どちらの G 関数のガンマ前因子も消え、G 関数のパラメータ セットは、上記の定義からの要件a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... ( k = 1, 2, ..., n、j = 1, 2, ..., m)に違反します。この制限を除けば、一般化超幾何級数_p F _q ( z ) が収束する場合は常に、つまりp ≤ qのときは任意の有限zに対して、またp = q + 1 のときは | z | < 1に対して、この関係は有効です。後者の場合、G 関数との関係により、実軸に沿って 1 から ∞ への分岐切断を伴う | z | ≥ 1 への_p F _q ( z )の解析接続が自動的に提供されます。最後に、この関係は、超幾何関数の定義をp > q + 1 の次数まで自然に拡張します。G 関数を使用すると、p > q + 1 の一般化超幾何微分方程式も解くことができます。

一般化超幾何関数の多項式ケースをマイヤー G 関数で表現するには、一般に 2 つの G 関数の線形結合が必要です。

${\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}$

ここで、h = 0, 1, 2, ... は多項式_{p +1} F _q ( z ) の次数に等しい。次数mおよびn は、 0 ≤ m ≤ qおよび 0 ≤ n ≤ p の範囲で自由に選択することができ、これにより、多項式のパラメータa _pおよびb _q間の特定の整数値または整数差によって前因子に発散するガンマ関数が生じたり、G 関数の定義と矛盾したりすることを回避できる。最初の G 関数は、p > qの場合、 n = 0で消滅し、2 番目の G 関数は、 p < qの場合、 m = 0で消滅することに注意してください。ここでも、2 つの G 関数を留数の合計として表すことで式を検証できます。G関数の定義で許可されている合流極のケースをここで除外する必要はありませ ん。

G 関数の定義からわかるように、被積分関数の分子と分母の因子を決定するa _pとb _qの間に等しいパラメータが現れる場合、分数は簡略化され、関数の次数も減少します。次数mまたはn が減少するかどうかは、問題のパラメータの特定の位置によって異なります。したがって、a _k、k = 1、 2、 ...、nのいずれかがb _j、j = m + 1、 ...、qのいずれかに等しい場合、G 関数は次数p、q 、およびn を低下させます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

同じ理由で、a _k（k = n + 1、...、p ）のいずれかがb _j（j = 1、2、...、m ）のいずれかに等しい場合、G関数はp、q 、およびm の次数を下げます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

定義から出発して、次の特性を導き出すことも可能です。

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

νとδという略語は、上記の G 関数の定義で導入されました。

G 関数の 導関数に関しては、次の関係が見られます。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

これら 4 つの関係式から、左側の導関数を評価して少し操作するだけで、同等の関係式を導き出すことができます。たとえば、次の式が得られます。

${\displaystyle z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

さらに、任意の階数hの導関数については、

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

これらはh < 0 の場合にも成り立ち、したがって、任意の G 関数の原始微分を微分と同じくらい簡単に得ることができます。いずれかの式で提供されている 2 つの結果のどちらかを選択することで、結果のパラメーター セットが、G 関数の定義によって課される条件a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... ( k = 1, 2, ..., n、j = 1, 2, ..., m)に違反することを常に防ぐことができます。h < 0の場合、結果の各ペアは等しくなくなることに注意してください。

これらの関係から、ガウス超幾何関数と他の特殊関数の対応する特性を導き出すことができます。

1 次導関数の異なる表現を等しくすると、連続する G 関数間の次の 3 項の再帰関係が得られます。

${\displaystyle (a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\displaystyle (b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,}$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,}$

${\displaystyle (a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.}$

対角パラメータのペアa ₁、b _qおよびb ₁、a _pについても、上記の適切な組み合わせによって同様の関係が得られます。また、超幾何関数やその他の特殊関数の対応する特性は、これらの再帰関係から導くことができます。

z ≠ 0の場合、次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

これらは、上で説明した基本特性を利用して、w = 1についてのテイラー展開によって得られます。収束半径は、 zの値と展開される G 関数に依存します。展開は、ベッセル関数、超幾何関数、合流型超幾何関数の同様の定理の一般化と見なすことができます。

任意の G 関数を含む 定積分には次のものがあります。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

この積分が存在する制約はここでは省略されていることに注意してください。もちろん、 G 関数のメリン変換が上記の定義に現れる積分関数に戻るのは驚くことではありません。

G関数の オイラー型積分は次のように与えられる。

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

これらの積分が存在する広範な制限については、A. Erdelyi 編集の「Tables of Integral Transforms」第 2 巻 (1954 年) の 417 ページに記載されています。G 関数への影響を考慮すると、これらの積分は、かなり大規模な関数クラス ( Erdélyi–Kober 演算子) の分数積分演算を定義するために使用できることに注意してください。

根本的に重要な結果は、正の実軸上で積分された任意の 2 つの G 関数の積は、別の G 関数 (畳み込み定理) で表すことができるということです。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

積分が存在する制約については、Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, pp. 82–92 に記載されています。結果のメリン変換は、被積分関数の 2 つの関数のメリン変換からガンマ係数を単に組み合わせるだけであることに注目してください。

畳み込み式は、定義するメリン・バーンズ積分を G 関数の 1 つに代入し、積分の順序を逆にして、内部メリン変換積分を評価することによって導出できます。前述のオイラー型積分も同様です。

上記の畳み込み積分と基本的な性質を使用すると、次のことが示されます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),}$

ここで、Re( ω ) > 0 です。これは関数G ( ηx ) にx ^{− α}のべき乗を乗じたラプラス変換です。α = 0とすると、G 関数のラプラス変換が得られます。通常どおり、逆変換は次のように表されます。

${\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,}$

ここで、c は積分パスを被積分関数の任意の極の右側に配置する実数の正の定数です。

G 関数のラプラス変換の別の式は次のとおりです。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

ここでもRe( ω )>0である。積分が存在する制約の詳細はどちらの場合も省略されている。

一般に、任意の適切な関数f ( z )または任意の適切な関数g ( z )に対して、次の 2 つの関係が同時に成立する 場合、2 つの関数k ( z , y ) とh ( z , y ) は変換カーネルのペアと呼ばれます。

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

k ( z , y ) = h ( z , y )の場合、カーネルのペアは対称的であると言われます。

Roop Narain (1962、1963a、1963b) は、次の関数を示しました。

${\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

は非対称な変換カーネルのペアであり、γ > 0、n − p = m − q > 0であり、

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},}$

さらなる収束条件も伴います。特に、p = q、m = n、a _j + b _j = 0 ( j = 1, 2, ..., p )、c _j + d _j = 0 ( j = 1, 2, ..., m ) の場合、カーネルのペアは対称になります。よく知られているハンケル変換は、ナライン変換の対称な特殊ケースです ( γ = 1、p = q = 0、m = n = 1、c ₁ = − d ₁ = ^ν ⁄ ₂ )。

Jet Wimp (1964) は、これらの関数が非対称の変換カーネルのペアであることを示しました。

${\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),}$

${\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],}$

ここで関数A (·)は次のように定義されます。

${\displaystyle A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

ラプラス変換は、ナラインによるハンケル変換の一般化とほぼ同様に一般化できます。

${\displaystyle g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$

ここでγ > 0、p ≤ qであり、

${\displaystyle (q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\sum _{j=1}^{p}a_{j}-\sum _{j=1}^{q}b_{j},}$

ここで定数c > 0 は、2 番目の積分経路を被積分関数の任意の極の右側に配置します。γ = ¹ ⁄ ₂、ρ = 0、p = q = 0 の場合、これはよく知られているラプラス変換に対応します。

この一般化の2つの特別なケースは、1940年と1941年にCSマイヤーによって示されました。γ = 1、ρ = − ν、p = 0、q = 1、b ₁ = νの場合の結果は次のように表すことができます（Meijer 1940）。

${\displaystyle g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,}$

γ = ¹ ⁄ ₂、ρ = − m − k、p = q = 1、a ₁ = m − k、b ₁ = 2 mの場合、次のように表すことができます（Meijer 1941a）。

${\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds.}$

ここで、I _νとK _{ν は}それぞれ第 1 種と第 2 種の修正ベッセル関数、M k 、_mとW k 、_{mはホイッタカー}関数であり、最初のケースでは関数fとgとその引数sとtに一定のスケール係数が適用されています。

次のリストは、よく知られている基本関数がMeijer G 関数の特殊なケースとしてどのように結果となるかを示しています。

${\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sin x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,2,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

ここで、Hはヘヴィサイドステップ関数を表します。

次のリストは、いくつかの高次関数をG 関数でどのように表現できるかを示しています。

${\displaystyle \gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

γ( α , x )とΓ( α , x )のαに関する導関数も、マイヤーのG関数で表すことができます。ここで、γとΓは下側と上側の不完全ガンマ関数、JνとYν_はそれぞれ第1種と第2種のベッセル関数、IνとKν_{は対応する修正ベッセル関数、Φはレルヒの}超越関数です。

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