ランダムファジー変数

測定では、得られた測定値に 2 種類の不確実性が伴うことがあります。^[1] 1 つ目は、プロセスと測定のノイズによるランダムな不確実性です。2 つ目は、測定機器に存在する可能性のある体系的な不確実性によるものです。体系的な誤差は、測定機器と測定プロセスが変更されない限り、通常は測定プロセス全体を通じて一定であるため、検出された場合は簡単に補正できます。ただし、機器を使用している間は、体系的な誤差があるかどうか、またある場合はどの程度であるかを正確に知ることはできません。したがって、体系的な不確実性は、あいまいな性質の寄与と見なすことができます。

この系統的誤差は、測定機器とプロセスに関する過去のデータに基づいておおよそモデル化できます。

統計的手法は、測定における系統的寄与とランダム寄与の両方からの総不確実性を計算するために使用できます。^{[2] [3] [4]}しかし、計算の複雑さは非常に高いため、望ましくありません。

LAZadehはファジー変数とファジー集合の概念を導入した。^{[5] [6]}ファジー変数は可能性の理論に基づいており、したがって可能性分布である。これにより、ファジー変数はあらゆる種類の不確実性、つまり全体の不確実性に対する体系的寄与とランダム寄与の両方を扱うのに適している。^{[7] [8] [9]}

ランダムファジー変数（RFV）は、数学的可能性理論^{[5] [6]を使用して定義された}タイプ2ファジー変数^[10]であり、測定結果に関連するすべての情報を表すために使用されます。内部可能性分布とメンバーシップ関数と呼ばれる外部可能性分布があります。内部分布は、体系的な不確実性による不確実性の寄与であり、RFVの境界はランダムな寄与によるものです。外部分布は、すべての寄与からの不確実性の境界を示します。

ランダムファジー変数（RFV）は、以下の条件を満たすタイプ2ファジー変数として定義される。^[11]

• RFV の内部機能と外部機能の両方を識別できます。
• 内部関数と外部関数は両方とも可能性分布 (pd) としてモデル化されます。
• 内部関数と外部関数は両方とも、同じ値の範囲の可能性に対して単一の値を持ちます。

図には RFV が表示されています。外部メンバーシップ関数は青色の分布で、内部メンバーシップ関数は赤色の分布です。両方のメンバーシップ関数は可能性分布です。内部メンバーシップ関数と外部メンバーシップ関数の両方は、RFV の長方形部分でのみ可能性の単位値を持ちます。したがって、3 つの条件はすべて満たされています。

測定に系統的誤差のみがある場合、RFV は単に内部メンバーシップ関数のみで構成されるファジー変数になります。同様に、系統的誤差がない場合、RFV はランダム寄与のみを含むファジー変数になり、したがって、ランダム寄与の可能性分布になります。

ランダムファジー変数は、内部可能性分布 ( r_内部) とランダム可能性分布 ( r_ランダム) を使用して構築できます。

r_{ランダムは}、不確実性に対するランダムな寄与の可能性分布です。あらゆる測定機器またはプロセスは、固有のノイズやその他の影響により、 ランダムな誤差の寄与の影響を受けます。

これは本質的に完全にランダムであり、中心極限定理に従っていくつかのランダムな寄与が組み合わされた場合の正規確率分布です。^[12]

しかし、一様分布やガンマ分布など、他の確率分布からのランダムな寄与もある可能性があります。

測定データから確率分布をモデル化することができます。そして、その確率分布を使用して、最大限に特定された確率-可能性変換を使用して同等の可能性分布をモデル化することができます。^[13]

いくつかの一般的な確率分布と対応する可能性分布を図に示します。

r_内部はRFV 内の内部分布であり、全体の不確かさに対する系統的寄与の可能性分布です。この分布は、測定機器とプロセスに関して入手可能な情報に基づいて構築できます。

最大の可能な分布は、均一または長方形の可能性分布です。これは、指定された間隔内のすべての値が等しく可能であることを意味します。これは実際には証拠理論^[14]によると完全な無知の状態を表しており、情報が最大限に不足しているシナリオを表しています。

この分布は、系統誤差が特定の値の範囲に属していること以外は系統誤差について全く分からない場合に使用されます。これは測定では非常に一般的です。

しかし、場合によっては、特定の値の信念度が他の特定の値よりも高いか低いことが分かっている場合があります。この場合、値の信念度に応じて、適切な可能性分布を構築できます。

ランダム分布と内部可能性分布をモデル化した後、RFVの外部メンバーシップ関数r _externalは次の式を使用して構築できます。^[15]

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(xx^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

ここで はのモードであり、 のメンバーシップ関数のピークであり、T _{min は}最小の三角ノルムである。^[16]${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle r_{\textit {ランダム}}}$${\displaystyle r_{ランダム}}$

RFV は、2 つの可能性分布 (PD) の αカットを考慮することによって、内部分布とランダム分布から構築することもできます。

ファジィ変数Fのαカットは次のように定義される[ ^17] [ ^18]

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {where}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1}$

したがって、本質的にαカットは、ファジー変数のメンバーシップ関数の値がαより大きい値の集合です。したがって、これは各αカットのファジー変数 F の上限と下限を与えます。 ${\displaystyle \mu_{\rm {F}}(a)}$

しかし、RFVのαカットには4つの特定の境界があり、次のように定義されます。[ ^11]および は、それぞれ外部メンバーシップ関数( r _external )の下限と上限であり、それ自体はファジー変数です。および は、それぞれ内部メンバーシップ関数( r _internal )の下限と上限であり、それ自体はファジー変数です。 ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle X_{a}^{\alpha}}$${\displaystyle X_{d}^{\alpha}}$${\displaystyle X_{b}^{\alpha}}$${\displaystyle X_{c}^{\alpha}}$

RFVを構築するには、同じα値に対する2つのPDのαカット、すなわちr _randomとr _internalを考えてみましょう。これにより、2つのαカットの下限と上限が得られます。それらを、ランダム分布と内部分布に対してそれぞれとします。は、再び2つのサブ区間に分割でき、はファジー変数のモードです。次に、同じα値に対するRFVのαカットは、^[11]で定義できます。${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$${\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}$${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}$${\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$

${\displaystyle X_{a}^{\alpha}=X_{LI}^{\alpha}-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha})}$

${\displaystyle X_{b}^{\alpha}=X_{LI}^{\alpha}$

${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

上記の式を使用して、αのすべての値に対してαカットが計算され、RFV の最終プロットが得られます。

ランダムファジィ変数は、信頼水準が1-αに他ならないため、あらゆる信頼水準におけるαカットからの総不確実性に対するランダムおよび体系的な寄与の完全な図を示すことができる。^{[17] [18]}

ランダム PD と内部 PD から対応する外部メンバーシップ関数 ( r _external ) と RFV を構築する例を次の図に示します。

• ファジー集合
• Tノルム
• タイプ2ファジィ集合とシステム
• 観測誤差
• デンプスター・シェーファー理論
• 可能性理論
• 確率論
• 確率分布