リップマン・シュウィンガー方程式

リップマン・シュウィンガー方程式（ベルナルド・リップマンとジュリアン・シュウィンガー^[1]にちなんで名付けられた）は、量子力学 において粒子の衝突、より正確には散乱を記述するために最もよく使われる方程式の1つです。この方程式は分子、原子、中性子、光子、またはその他の粒子の散乱に使用でき、主に原子物理学、分子物理学、光学物理学、原子核物理学、素粒子物理学で重要ですが、地球物理学における地震散乱の問題にも重要です。この方程式は散乱波動関数と散乱を生み出す相互作用（散乱ポテンシャル）を関連付け、関連する実験パラメータ（散乱振幅と散乱断面積）の計算を可能にします。

散乱を含むあらゆる量子現象を記述する最も基本的な方程式は、シュレーディンガー方程式です。物理的な問題では、この微分方程式は、研究対象の特定の物理システムに対する追加の初期条件や境界条件を入力して解かなければなりません。リップマン・シュウィンガー方程式は、シュレーディンガー方程式に散乱問題の一般的な境界条件を加えたものと同等です。境界条件を埋め込むには、リップマン・シュウィンガー方程式を積分方程式として記述する必要があります。^[2]散乱問題では、リップマン・シュウィンガー方程式は元のシュレーディンガー方程式よりも便利な場合がよくあります。

リップマン・シュウィンガー方程式の一般的な形は次の通りである（実際には、符号と符号の2つの方程式が以下に示されている）。^[3]${\displaystyle +\,}$${\displaystyle -\,}$ $${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$$

位置エネルギーは、2 つの衝突系間の相互作用を表します。ハミルトニアンは、 2 つの系が無限に離れており、相互作用しない状況を表します。その固有関数は で、その固有値はエネルギー です。最後に、は方程式を解くために必要な積分の計算に必要な数学的な専門用語です。これは因果律の結果であり、散乱波が出力波のみで構成されることを保証します。これは極限吸収原理によって厳密化されます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle |\phi \rangle \,}$${\displaystyle E\,}$${\displaystyle i\epsilon \,}$

リップマン・シュウィンガー方程式は、二体散乱を伴う非常に多くの状況で有用である。衝突する物体が3つ以上ある場合、数学的な制限のため、この方程式はうまく機能しない。その場合、代わりにファデーエフ方程式が使用される。^[4]しかし、様々なケースにおいて、多体問題を一連の二体問題に還元できる近似が存在する。例えば、電子と分子の衝突では、数十または数百の粒子が関与している可能性がある。しかし、分子を構成する粒子のポテンシャルすべてを擬ポテンシャルとともに記述することにより、この現象を二体問題に還元することができる。^[5]このような場合、リップマン・シュウィンガー方程式が使用される。もちろん、これらのアプローチの主な動機は、はるかに少ない計算労力で計算を実行できる可能性でもある。

ハミルトニアンは次のように書ける と仮定する。 ここでH ₀は自由ハミルトニアン（またはより一般的には、固有ベクトルがわかっているハミルトニアン）である 。例えば、非相対論的量子力学では、H _{0 は次のように書ける。}$${\displaystyle H=H_{0}+V}$$$${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$$

直感的に、V はシステムの相互作用エネルギーです。H 0_の固有状態があるとします。 $${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .}$$

ここで相互作用を加えると、シュレーディンガー方程式は次のようになる。 ${\displaystyle V}$$${\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .}$$

ここで、ヘルマン・ファインマン定理について考えます。この定理では、ハミルトニアンのエネルギー固有値はハミルトニアンの連続的な変化とともに連続的に変化することが求められます。したがって、 がとなることを望みます。この方程式の素朴な解は となり 、ここで表記1/ A はAの逆数を表します。しかし、E はH ₀の固有値であるため、E − H ₀は特異です。以下で説明するように、この特異性は、分母をわずかに複素数にすることで 2 つの異なる方法で解消されます。 ${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$${\displaystyle V\to 0}$$${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .}$$$${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .}$$

自由粒子状態の完全なセットを挿入することにより、 $${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle ,}$$

シュレーディンガー方程式は積分方程式に変換されます。「in」（+）と「out」（-）の状態も基底を形成すると想定され、遠い過去と遠い未来ではそれぞれ自由粒子状態のように見えますが、完全なハミルトニアンの固有関数です。したがって、それらにインデックスを与えると、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle .}$$

数学的観点から見ると、座標表示のリップマン-シュウィンガー方程式はフレドホルム型の積分方程式です。これは離散化によって解くことができます。適切な境界条件を備えた微分時間独立シュレーディンガー方程式と同等であるため、微分方程式の数値法によっても解くことができます。球対称ポテンシャルの場合は、通常、部分波解析によって解かれます。高エネルギーおよび/または弱いポテンシャルの場合は、ボルン級数によって摂動的に解くこともできます。原子、原子核、または分子の衝突の記述など、多体物理学の場合にも便利な方法は、ウィグナーとアイゼンバッドのR行列法です。別のクラスの方法は、ホラーチェクとササカワの連分数法のような、ポテンシャルまたはグリーン演算子の可分展開に基づいています。非常に重要なクラスの方法は変分原理に基づいています。たとえば、シュウィンガーの変分原理とランチョス アルゴリズムを組み合わせたシュウィンガー-ランチョス法などです。 ${\displaystyle V}$

ジョン・アーチボルド・ホイーラーらによって開拓された素粒子物理学のS行列定式化では、 ^[6]すべての物理プロセスは次のパラダイムに従ってモデル化されます。^[7]

遠い過去の相互作用のない多粒子状態から始まります。相互作用がないということは、すべての力がオフになっている (その場合は、たとえば陽子がバラバラになる) という意味ではなく、相互作用のないハミルトニアン H _{0が存在することを意味します。このハミルトニアンでは、結合状態が実際のハミルトニアン}Hと同じエネルギー レベル スペクトルを持ちます。この初期状態は、状態 inと呼ばれます。直感的には、これは、互いの相互作用が無視されるほど十分に離れた素粒子または結合状態で構成されます。

考え方としては、研究しようとしている物理プロセスは、これらの十分に分離された束縛状態の散乱プロセスとしてモデル化できるということです。このプロセスは完全なハミルトニアンHで記述されますが、プロセスが終了すると、すべての新しい基本粒子と新しい束縛状態が再び分離し、アウト状態と呼ばれる新しい非相互作用状態が見つかります。S 行列は、定義するために時間スライスの選択を必要としないため、相対論ではハミルトニアンよりも対称的です。

このパラダイムにより、70 年間の粒子加速器実験で観測されたすべてのプロセスの確率を、驚くべき精度で計算できます。しかし、多くの興味深い物理現象は、明らかにこのパラダイムに当てはまりません。たとえば、中性子星内部のダイナミクスを検討したい場合、最終的に何に崩壊するか以上のことを知りたい場合があります。言い換えると、漸近未来ではない測定値に関心がある場合があります。漸近的な過去や未来が利用できない場合もあります。たとえば、ビッグバンの前に過去が存在しない可能性が非常に高いです。

1960年代、S行列パラダイムは多くの物理学者によって自然の基本法則にまで高められました。S行列理論では、測定可能なあらゆる量は、何らかのプロセスに対するS行列内に存在するはずであると述べられました。このアイデアは、S行列技術が質量殻に制限されたファインマン図に与えることができる物理的解釈に触発され、二重共鳴モデルの構築につながりました。しかし、局所場とハミルトニアンに基づく 量子場理論の妥当性を否定したため、非常に物議を醸しました。

直感的には、完全なハミルトニアンHのわずかに変形された固有関数は、in 状態と out 状態です。これらは、無限の過去と無限の未来における in状態とout状態に似た、相互作用しない状態です。${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$

この直感的な描写は、完全に正しいとは言えません。なぜなら、 はハミルトニアンの固有関数であり、異なる時間では位相だけ異なるからです。したがって、特に、物理的状態は進化せず、したがって相互作用しない状態にはなれません。この問題は、特性スケール にわたるエネルギー分布を持つ波束にとを組み立てることで簡単に回避できます。不確定性原理により、漸近状態の相互作用が時間スケールにわたって発生するようになり、特に、この間隔の外で相互作用がオフになることはもはや考えられません。次の議論は、これが実際に当てはまることを示唆しています。 ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle \hbar /\Delta E}$

リップマン・シュウィンガー方程式を波束の定義 と に代入すると、特定の時間において、波束と波束 の差はエネルギーEの積分によって与えられることがわかります。 $${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$$$${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$$${\displaystyle \psi _{g}(t)}$${\displaystyle \phi _{g}(t)}$

この積分は、波動関数を複素E平面上で定義し、波動関数が消える半円を使用してE等高線を閉じることによって評価できます。閉じた等高線上の積分は、コーシーの積分定理を使用して、さまざまな極での留数の合計として評価できます。ここで、 の留数が時間 におけるの留数に近づくため、対応する波束は時間無限大で等しいこと を論じます。${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t\to \mp \infty }$

実際、非常に正の時間tに対して、シュレーディンガー描像状態の因子は、下半平面で等高線を閉じることを強制します。リップマン・シュウィンガー方程式の の極は相互作用の時間不確実性を反映し、波束の重み関数の極は相互作用の持続時間を反映します。これらの両方の種類の極は有限の虚数エネルギーで発生するため、非常に大きな時間では抑制されます。分母のエネルギー差の極は の場合に上半平面上にあるため、積分等高線の内側にはなく、積分には寄与しません。残りは波束に等しくなります。したがって、非常に遅い時間 では、 は漸近的な非相互作用出力状態として識別されます。 ${\displaystyle e^{-iEt}}$${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$${\displaystyle \psi ^{-}}$

同様に、 に対応する波束を非常に負の時間で積分することもできます。この場合、等高線は上半平面上で閉じている必要があり、そのため下半平面にある のエネルギー極を見逃してしまいます。すると、と波束は漸近過去で等しいことがわかり、の漸近非相互作用状態として識別されます。 ${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi ^{+}}$

を漸近状態として特定することは、リップマン・シュウィンガー方程式の分母における の正当性となります。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \pm \epsilon }$

S行列は、a番目とb番目のハイゼンベルグ像 の漸近状態の内積として定義されます 。上記の輪郭積分戦略を使用して、S行列をポテンシャルVに関連付ける式を得ることができますが、今回はとの役割を入れ替えます。その結果、輪郭はエネルギー極を拾うようになります。これは、S 行列を使用して 2つの を入れ替えると、 に関連付けることができます。方程式の両側の の係数を特定すると、S をポテンシャルに 関連付ける目的の式が見つかります。$${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$$

一次摂動論に対応するボルン近似では、この最後のを自由ハミルトニアンH ₀の対応する固有関数に置き換えて、 S 行列をVと自由ハミルトニアン固有関数 だけ​​で表現するようになります。 ${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$$

これらの式は、プロセスの反応速度を計算するために使用することができ、それは次のように等しい。${\displaystyle b\to a}$${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.}$

グリーン関数の使用により、リップマン・シュウィンガー方程式は均質化理論（例えば、力学、導電率、誘電率）に対応するものを持つようになります。

• ベーテ・サルペーター方程式

• Lippmann, BA ; Schwinger, J. (1950). 「散乱過程の変分原理 I」. Phys. Rev. Lett . 79 (3): 469–480. Bibcode :1950PhRv...79..469L. doi :10.1103/PhysRev.79.469.
• Wheeler, JA (1937). 「共鳴群構造法による軽原子核の数学的記述について」. Phys. Rev. 52 ( 11): 1107–1122. Bibcode :1937PhRv...52.1107W. doi :10.1103/PhysRev.52.1107.