ボーンシリーズ

ボルン級数^{[ 1 ]}は、量子散乱理論における様々な散乱量を相互作用ポテンシャルのべき乗で展開したものである。${\displaystyle V}$（より正確には${\displaystyle G_{0}V,}$どこ${\displaystyle G_{0}}$は自由粒子のグリーン演算子です。これは、ボルン近似と密接に関連しており、ボルン級数の1次項です。この級数は、置換によって結合定数を導入したべき級数として形式的に理解できます。${\displaystyle V\to \lambda V}$ボルン級数の収束速度と収束半径は、演算子の固有値と関連している。${\displaystyle G_{0}V}$一般に、ボルン級数の最初の数項は、「弱い」相互作用の場合の展開量の良い近似値となる。${\displaystyle V}$ そして大きな衝突エネルギー。

散乱状態に関するボルン級数は次のようになる。

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots }$

これは、リプマン・シュウィンガー方程式を反復することで導出できる。

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .}$

グリーン演算子に注意してください${\displaystyle G_{0}}$自由粒子の場合、遅延/前進または遅延定常波演算子になります${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle }$高度な${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle }$または定常波散乱状態${\displaystyle |\psi ^{(P)}\rangle }$最初の反復は、完全な散乱解を置き換えることによって得られます。${\displaystyle |\psi \rangle }$自由粒子波動関数を持つ${\displaystyle |\phi \rangle }$リップマン・シュウィンガー方程式の右辺に代入すると、第1ボルン近似が得られます。2回目の反復では、第1ボルン近似を右辺に代入し、その結果を第2ボルン近似と呼びます。一般に、n次ボルン近似は級数のn項を考慮します。第1ボルン近似がゼロになる場合、第2ボルン近似が使用されることがありますが、高次の項はめったに使用されません。ボルン級数は、公比が演算子に等しい等比級数として形式的に和をとることができます。${\displaystyle G_{0}V}$リップマン・シュウィンガー方程式の形式解を次の形式で与える。

${\displaystyle |\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle 。}$

ボルン級数は、散乱振幅と密接に関係するT行列などの他の散乱量についても記述できます。T行列に対するリップマン・シュウィンガー方程式を反復すると、次の式が得られます。

${\displaystyle T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots }$

T行列の場合${\displaystyle G_{0}}$グリーンのオペレーターの知的障害者のみを意味します${\displaystyle G_{0}^{(+)}(E)}$定常波のグリーン演算子は、代わりにK行列を与える。

グリーン演算子に対するリップマン・シュウィンガー方程式はレゾルベント恒等式と呼ばれ、

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E)。}$

反復法による解法は、完全なグリーン演算子のボルン級数に帰着する。${\displaystyle G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}}$

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots }$

• ジョアシャン、シャルル・J. (1983).量子衝突理論. ノース・ホランド. ISBN 978-0-7204-0294-0。
• Taylor, John R. (1972).散乱理論：非相対論的衝突に関する量子論. John Wiley. ISBN 978-0-471-84900-1。
• ニュートン、ロジャー・G. (2002).波と粒子の散乱理論. ドーバー出版. ISBN 978-0-486-42535-1。