ラーベスグラフ

幾何学と結晶学において、ラーベスグラフは、 3次元ユークリッド空間における点と線分の無限かつ高度に対称なシステムであり、周期グラフを形成する。3つの等しい長さの線分が各点で120°の角度で交わり、すべてのサイクルで10以上の線分が使用される。これは、基本領域の体積に対して可能な限り短い三重周期グラフである。ラーベスグラフの1つの配置では、整数格子の点の8つごとに1つを点として使用し、これらの点のすべての最近接ペアを距離で接続する。また、幾何学から切り離して、4つの頂点を持つ完全グラフの被覆グラフである抽象的な無向グラフとして定義することもできる。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

HSM Coxeter  (1955)は、 1932 年に初めて結晶構造について論文を書いたFritz Lavesにちなんで、このグラフに名前を付けました。 ^{[1] [2]このグラフは、} K ₄結晶、^[3] (10,3)-a ネットワーク、^[4]ダイヤモンド ツイン、^[5]トリアモンド、^{[6] [7]} SRS ネットとも呼ばれています。^{[8]グラフの各頂点に最も近い空間領域は、空間を敷き詰める同型の 17 面体の多面体です。その辺は、空間の各整数点で 6 つの正方形が交わる表面である、}正歪多面体の対角線上にあります。

いくつかの結晶性化学物質は、ラーベス グラフの形で既知または予測された構造を持っています。ラーベス グラフのエッジを円筒形に太くすると、関連する極小表面であるジャイロイドが生成されます。これは、特定の石鹸膜構造や蝶の羽に物理的に現れます。

Coxeter (1955) が述べているように、Laves グラフの頂点は、3 次元整数格子の 8 点ごとに 1 点を選択し、それらの最近傍グラフ を形成することによって定義できます。具体的には、これらの座標に 4 の倍数を追加することによって形成される点 と他のすべての点を選択します。Laves グラフの辺は、ユークリッド距離が2 の平方根である点のペアを接続します。これは、各ペアの点が 2 つの座標で 1 単位異なり、3 番目の座標で同じであるためです。辺は、平面で各頂点で 120° の角度で交わります。隣接していないすべての頂点のペアは、互いに少なくとも の距離で離れています。結果として得られる幾何学的グラフの辺は、頂点ごとに 6 つの正方形の面を持つ通常の歪んだ多面体の面のサブセットの対角線であるため、Laves グラフはこの歪んだ多面体に埋め込まれます。 ^[1]$${\displaystyle {\begin{aligned}(0,0,0),\quad (1,2,3),\quad (2,3,1),\quad (3,1,2),\\(2,2,2),\quad (3,0,1),\quad (0,1,3),\quad (1,3,0),\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

整数格子の4つの点のうち1つをより大きな集合として選択することも可能であり、このより大きな集合の距離ペアのグラフは、互いに分離したラベスグラフの2つの鏡像コピーを形成し、他のすべての点のペアは離れているよりも遠くにある。^[9]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

抽象グラフとして、Laves グラフは、完全グラフの最大 アーベル 被覆グラフとして構築できます。 のアーベル被覆グラフであるということは、Laves グラフの頂点が 4 色で、各頂点が他の 3 色の隣接頂点を持ち、任意の頂点を同じ色の他の任意の頂点に移動させる色保存対称性が存在することを意味します。整数座標を持つ幾何学的形式の Laves グラフの場合、これらの対称性は各座標に偶数を追加する変換です(さらに、3 つの座標すべてのオフセットは 4 を法として合同でなければなりません)。このような変換を 2 つ連続して適用する場合、正味変換はそれらの順序に関係ありません。つまり、それらは互いに交換可能であり、アーベル群を形成します。この群の変換ベクトルは、3 次元格子を形成します。最後に、最大アーベル被覆グラフであるということは、より高次元の格子を含むの被覆グラフが他に存在しないことを意味します。この構造は、ラーベスグラフの別名である「結晶」を正当化する。^[10] ${\displaystyle K_{4}}$${\displaystyle K_{4}}$${\displaystyle K_{4}}$${\displaystyle K_{4}}$

最大アーベル被覆グラフは、任意の有限グラフ から構築できます。 に適用すると、この構築によって (抽象的な) Laves グラフが生成されますが、同じ幾何学的レイアウトは得られません。の全域木を選択し、が全域木に含まれない辺の数 (この場合は、3 つの非木辺) とします。これらの非木辺のそれぞれについて、 の異なる単位ベクトルを選択します。次に、被覆グラフの頂点の集合を の頂点、のベクトルである順序付きペア に固定します。このような各ペアとでに隣接する各辺について、からへの辺を作成します。 が全域木に属する場合は がゼロベクトル、 がそれ以外の場合は に関連付けられた基底ベクトルです。プラスまたはマイナスの符号は、辺がトラバースされる方向に従って選択されます。結果として得られるグラフは、選択された全域木とは独立しており、同じ構築は、ホモロジー を使用してより抽象的に解釈することもできます。^[11]${\displaystyle G}$${\displaystyle K_{4}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle uv}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle (u,w\pm \epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle uv}$${\displaystyle uv}$

同じ構成を用いると、平面の六角形タイリングは3辺双極子グラフの最大アーベル被覆グラフであり、ダイヤモンド立方体は4辺双極子の最大アーベル被覆グラフである。次元整数格子（単位長さの辺を持つグラフとして）は、1つの頂点と自己ループを持つグラフの最大アーベル被覆グラフである。^[10]${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

3次元整数格子上の単位距離グラフは、格子点ごとに頂点を持ち、各頂点にはちょうど6つの隣接点がある。格子からいくつかの点を削除して、残りの各点にちょうど3つの隣接点が残り、これらの点の誘導サブグラフに10辺より短いサイクルがないようにすることができる。これを行うには4つの方法があり、そのうちの1つは抽象グラフとしてラベスグラフと同型である。ただし、その頂点は、より対称的で従来の幾何学的構成とは異なる位置にある。^[12]

ラベスグラフと同型の単純立方格子の別のサブグラフは、ある方法で半分の辺を削除することによって得られる。結果として得られる構造は半単純立方格子と呼ばれ、ラベスグラフ自体よりも対称性が低い。^[13]

ラーベスグラフは立方体グラフであり、各頂点にはちょうど 3 本の辺がある。グラフの対称性により、頂点と隣接する辺のすべてのペアを他のすべてのペアに変換できるため、対称グラフである。さらに強い言い方をすれば、すべての 2 つの頂点と について、に接する 3 本の辺と に接する 3 本の辺の間のすべての 1 対 1 の対応を対称性によって実現できる。ただし、全体的な構造はキラルであり、並進や回転のシーケンスによってもその鏡像と一致させることはできない。^[10]ラーベスグラフの対称群は空間群である。^[13]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I4_{1}32}$

この構造の周囲長は10で、グラフの最短サイクルには10個の頂点があり、これらのサイクルのうち15個が各頂点を通過します。^{[10] [1] [9]}任意の頂点から0、1、2、...の距離にある頂点の数（ラベスグラフの座標列を形成）は次のとおりです。 ^[14]

周囲の空間を各頂点に最も近い領域（この構造のボロノイ図のセル）に分割すると、それぞれが 17 の面を持つ17面体が形成されます。これらはプレシオヘドラ、つまり空間を等面体に敷き詰める多面体です。これらの多面体によって形成される構造を実験した結果、物理学者のアラン・シェーンはジャイロイド 極小面^[15]を発見しました。これは、ラーベス グラフの辺を円筒状に太くしてそれらの結合境界を取った表面と位相的に等価です。 ^[16]

ラベスグラフは、次の意味で、唯一かつ最短の三重周期ネットワークです。三重周期とは、空間の 3 次元すべてで無限に繰り返されることを意味します。したがって、三重周期ネットワークは、並進対称性の 3 次元格子を持つ連結された幾何学的グラフです。基本領域とは、これらの対称性の下で、その並進コピーで空間をタイル張りできる任意の形状です。どの格子にも、さまざまな形状の基本領域の選択肢が無限にありますが、それらはすべて同じ体積 です。また、基本領域の 1 つのコピー内でネットワークのエッジの長さを測定することもできます。この数を と呼びます。 と同様に、ドメイン境界がエッジの長さの一部を含むのではなく、エッジのみを横切っている限り、 は基本領域の選択に依存しません。ラベスグラフには、頂点 (軌道)の 4 つの対称クラスがあります。これは、ここで考慮される対称性が並進のみであり、これら 4 つのクラスを互いにマッピングするために必要な回転ではないためです。各対称クラスは、どの基本領域にも 1 つの頂点を持つため、基本領域には 12 個の半辺が含まれ、その合計の長さはです。基本領域の体積は 32 です。これら 2 つの数値から、比(無次元量) は となります。これは、実際には可能な最小値です。すべての 3 重周期ネットワークは、Laves グラフの場合にのみ等しく を持ちます。^[17]${\displaystyle V}$${\displaystyle L}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 6{\sqrt {2}}}$${\displaystyle L^{3}/V}$${\displaystyle 27/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle {\frac {L^{3}}{V}}\geq {\frac {27}{\sqrt {2}}},}$$

ヤコブス・フェルホフとその息子トム・フェルホフによる彫刻「バンブーズル」は、ラベスグラフの断片の形をしており、その頂点は多色のアクリルの三角形で表現されています。2013年にアイントホーフェン工科大学に設置されました。^[18]

ラーベスグラフは炭素の同素体として提案されており、1原子あたり3つの結合が120°の角度で存在するより一般的なグラフェンやグラファイト炭素構造に類似している。 ^{[3] [5]}グラフェンでは、隣接する原子は互いに同じ結合面を持つが、ラーベスグラフ構造では、隣接する原子の結合面は結合線の周りで約70.5°の角度でねじれている。しかし、この仮説上の炭素同素体は不安定であることが判明した。^[19]

ラーベスグラフはホウ素の結晶構造も与えてくれる可能性があり、計算によれば安定しているはずである。^[20]この構造を形成する可能性のある他の化学物質には、SrSi 2 _（「SRSネット」の名前の由来）^[8]や元素窒素^{[9] [20] 、特定の}金属有機構造体^[21]や環状 炭化水素^[22]などがある。

ラベスグラフのタイトバインディングモデルの電子バンド構造が研究され、この構造にディラック点とワイル点が存在することが示されている。 ^{[23] [24]}

ラーベスグラフの構造とそこから派生したジャイロイド面の構造は、石鹸水系や蝶の羽の鱗のキチンネットワークでも実験的に観察されている。 ^[9]

• ハート、ジョージ W.、(10, 3)-a ネットワーク。
• Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A046944 (Laves グラフ上の長さ n の自己回避ウォークの数)」、整数シーケンスのオンライン百科事典、 OEIS Foundation
• Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A290705 (トライアモンドのシータ系列)」、整数シーケンスのオンライン百科事典、 OEIS Foundation