クロネッカーデルタ

数学において、クロネッカーのデルタ（レオポルド クロネッカーにちなんで名付けられた）は、2 つの変数（通常は非負の整数 ）の関数です。この関数は、変数が等しい場合は 1、そうでない場合は 0 になります。 または、アイバーソンの括弧 を使用すると次のようになります。 たとえば、であるためですが、 であるためです。 $${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$${\displaystyle \delta _{12}=0}$${\displaystyle 1\neq 2}$${\displaystyle \delta _{33}=1}$${\displaystyle 3=3}$

クロネッカーのデルタは、上記の定義を簡潔に表現する手段として、数学、物理学、工学、コンピューター サイエンスの多くの分野で自然に登場します。

線型代数では、単位行列の要素はクロネッカーのデルタに等しくなります。 ここで、 と は値を取り、ベクトルの内積はと書くことができます。 ここで、ユークリッド ベクトルはn組として定義されます。および最後のステップは、クロネッカーのデルタの値を使用して 上の合計を減らすことで得られます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$$${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i =1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$${\displaystyle j}$

iとj は{1, 2, ..., n }または{0, 1, ..., n − 1}の形式の集合に制限されるのが一般的ですが、クロネッカーのデルタは任意の集合上で定義できます。

次の式が満たされます。 したがって、行列δ は単位行列とみなすことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij} &=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{整列}}}$$

もう一つの便利な表現は次の形式です。 これは等比級数 の公式を使って導くことができます。 $${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}}$$

アイバーソン ブラケットの使用:$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

多くの場合、単一引数表記法が使用されます。これは、次のように設定するのと同等です。 ${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle j=0}$$${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}$$

線型代数では、これはテンソルとして考えられ、 と書かれる。クロネッカーのデルタは置換テンソルと呼ばれることもある。^[1]${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

デジタル信号処理(DSP)の研究では、単位サンプル関数は、クロネッカー デルタ関数の特殊なケースを表します。クロネッカー デルタ関数では、クロネッカー インデックスに 0 が含まれ、インデックスの 1 つが 0 になります。この場合、 ${\displaystyle \delta [n]}$${\displaystyle \delta_{ij}}$$${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty }$$

あるいは、より一般的には、次のようになります。 $${\displaystyle \delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{ここで}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

ただし、これは特殊なケースにすぎません。テンソル計算では、特定の次元の基底ベクトルをインデックス 0 ではなくインデックス 1 から番号付けするのが一般的です。この場合、関係は存在せず、実際、クロネッカーのデルタ関数と単位サンプル関数は、インデックスに数値 0 が含まれ、インデックスの数が 2 で、インデックスの 1 つが値 0 である特定のケースで重複する異なる関数です。 ${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}}$

離散単位サンプル関数とクロネッカーのデルタ関数は同じ文字を使用しますが、次の点で異なります。離散単位サンプル関数の場合、角括弧内に 1 つの整数インデックスを配置するのが一般的です。これに対して、クロネッカーのデルタは任意の数のインデックスを持つことができます。さらに、離散単位サンプル関数の目的は、クロネッカーのデルタ関数とは異なります。DSP では、離散単位サンプル関数は通常、システムの出力として生成されるシステムのシステム関数を検出するための離散システムへの入力関数として使用されます。これに対して、クロネッカーのデルタ関数の一般的な目的は、アインシュタインの総和規則からの項をフィルター処理することです。

離散単位サンプル関数は、次のように簡単に定義されます。 $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ は別の整数}}\end{cases}}}$$

さらに、ディラックのデルタ関数は、クロネッカーのデルタ関数と単位サンプル関数の両方と混同されることがよくあります。ディラックのデルタは次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

クロネッカーのデルタ関数や単位サンプル関数とは異なり、ディラックのデルタ関数には整数インデックスがなく、単一の連続した非整数値tがあります。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$${\displaystyle \delta [n]}$${\displaystyle \delta (t)}$

さらに混乱を招くのは、単位インパルス関数が、ディラックのデルタ関数 または単位サンプル関数のいずれかを指すために使用される場合があることです。 ${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle \delta [n]}$

クロネッカーのデルタは、 に対して といういわゆるふるい分け特性を持ちます。 また、整数を、計数測度を備えた測度空間と見なすと、この特性はディラックのデルタ関数の定義特性と一致し 、実際、この類似した特性のため、ディラックのデルタはクロネッカーのデルタにちなんで名付けられました。^[2] 信号処理では、クロネッカーとディラックの「関数」を区別するのは通常、コンテキスト (離散時間または連続時間) です。また、慣例により、 は一般に連続時間 (ディラック) を示しますが、 、、、、、 などの引数は通常、離散時間 (クロネッカー) 用として予約されています。別の一般的な方法は、離散シーケンスを角括弧で表すことです。つまり、 です。クロネッカーのデルタは、ディラックのデルタ関数を直接サンプリングした結果ではありません。 ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta [n]}$

クロネッカーのデルタは、接続代数の乗法単位元を形成する。^[3]

確率論と統計学では、クロネッカーのデルタ関数とディラックのデルタ関数はどちらも離散分布を表すために使用できます。分布のサポートが点で構成され、対応する確率がである場合、分布の確率質量関数は、クロネッカーのデルタを使用して次のように記述できます 。${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

同様に、分布の 確率密度関数はディラックのデルタ関数を使って次のように表すことができる。 ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

特定の条件下では、クロネッカーのデルタはディラックのデルタ関数をサンプリングすることで発生することがあります。たとえば、ディラックのデルタインパルスが正確にサンプリングポイントで発生し、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理に従って理想的にローパスフィルタリング（臨界周波数でカットオフ）された場合、結果として得られる離散時間信号はクロネッカーのデルタ関数になります。

型テンソルとして考えると、クロネッカーテンソルは共変インデックスと反変インデックスで表すことができます。 ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

このテンソルは次を表します:

• 恒等写像（または恒等行列）は、線形写像 または${\displaystyle V\to V}$${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• トレースまたはテンソル収縮は、マッピングとして考えられます${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• スカラー乗算を外積の和として表すマップ。${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

の一般化クロネッカー デルタまたは順序のマルチインデックス クロネッカー デルタは、上位インデックスと下位インデックスの両方で完全に反対称な型テンソルです。 ${\displaystyle 2p}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

の係数だけ異なる 2 つの定義が使用されています。以下に示すバージョンは、 にスケールされた非ゼロ成分を持ちます。2 番目のバージョンは、 である非ゼロ成分を持ち、その結果、式のスケール係数が変更されます。たとえば、 § 以下の一般化クロネッカー デルタの特性は消えます。^[4]${\displaystyle p!}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm 1/p!}$${\displaystyle 1/p!}$

指数の観点から、一般化クロネッカーデルタは次のように定義される: ^{[5] [6]} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

を次数 の対称群とすると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

反対称化の使用: $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

決定要因の観点から見ると：^[7]${\displaystyle p\times p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

行列式のラプラス展開（ラプラスの公式）を用いると、再帰的に定義することができる：^[8] ここで、キャロンは、シーケンスから省略されるインデックスを示します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\check {}}}$

（ベクトル空間の次元）のとき、レヴィ・チヴィタ記号 を用いて次のように表すことができます。 より一般的には、 に対して、アインシュタインの総和規則を用いて次のように表すことができます。 ${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$${\displaystyle m=n-p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

クロネッカーのデルタ収縮は空間の次元に依存する。例えば、 dは空間の次元 である。この関係から、完全収縮デルタは次のように得られる。 前述の公式の一般化は^{[引用が必要]}で ある。$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

一般化されたクロネッカーのデルタは反対称化に使用できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

上記の式と反対称テンソルの特性から、一般化クロネッカーのデルタの特性を導くことができます。 これは、§ 特性 で記述された公式の一般化バージョンです。最後の公式は、コーシー・ビネの公式と同等です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

指数の和による順序の減少は、恒等式^{[9]で表現できる。} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

この場合の総和則とレヴィ-チヴィタ記号との関係の両方を使用して、レヴィ-チヴィタ記号の総和則が導かれます。 最後の関係の 4D バージョンは、ペンローズによる一般相対性理論へのスピノルアプローチ^[10]に登場し、後に彼はエイトキンの図を展開しながらこれを一般化し、^[11]ペンローズグラフィカル記法の技法の一部となりました。^{[12]また、この関係は}S 双対理論、特に微分形式とホッジ双対の言語で記述される場合に広く使用されています。 ${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

任意の整数 に対して、標準的な留数計算を使用して、クロネッカーのデルタの積分表現を以下の積分として記述できます。ここで、積分の輪郭はゼロの周りを反時計回りに進みます。この表現は、複素平面での回転による定積分と同等です。 ${\displaystyle n}$$${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi }$$

周期 を持つクロネッカーの櫛形関数は、次のように定義されます ( DSP表記法を使用) 。 ここで、 と は整数です。クロネッカーの櫛形は、 N単位離れた単位インパルスの無限列で構成され、ゼロの単位インパルスを含みます。これは、ディラックの櫛形の離散アナログであると考えられます。 ${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

クロネッカーデルタは、ある面から別の面への写像の度合いとも呼ばれる。^[13]面S _uvwからS _xyzへの写像が、単純に一対一対応で接続された領域R _uvwとR _xyzの境界であるとする。この枠組みでは、 sとt がS _uvwのパラメータであり、S _uvwからS _uvwへの写像がそれぞれ外法線nによって方向付けられている場合、 法線の方向は $${\displaystyle u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),}$$$${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).}$$

x = x ( u , v , w )、y = y ( u , v , w )、z = z ( u , v , w )がS _{uvw を}含む領域で定義され滑らかであるとし、これらの式がS _uvwからS _xyzへの写像を定義するとします。写像の次数δは⁠1/4π⁠ は、 S _uvwの像Sの立体角をS _xyzの内点 Oに対して乗じ。 O が領域R _xyzの原点である場合、次数δ は次の積分で与えられます。 $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$$

• ディラック測度
• インジケーター機能
• レヴィ＝チヴィタのシンボル
• ミンコフスキー計量
• 't Hooft シンボル
• ユニット機能
• XNORゲート