't Hooft シンボル

' t Hooft 記号は、 SU(2)リー代数の生成元をローレンツ代数の生成元で表現できるようにする数値の集合です。この記号は、クロネッカーのデルタとレヴィ-チヴィタ記号を組み合わせたものです。これは、ジェラルド ' t Hooftによって導入されました。これは、BPST インスタントンの構築に使用されます。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}}$' t Hooft 記号です:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{件}}}$

ここで、 と はクロネッカーのデルタの例であり、 はレヴィ・チヴィタ記号です。 ${\displaystyle \delta ^{a\nu }}$${\displaystyle \delta ^{a\mu }}$${\displaystyle \epsilon ^{a\mu \nu }}$

言い換えれば、それらは次のように定義されます

（） ${\displaystyle a=1,2,3;~\mu ,\nu =1,2,3,4;~\epsilon _{1234}=+1}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }=\epsilon _{a\mu \nu 4}+\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}-\delta _{a\nu }\デルタ_{\μ 4}}$

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }=\epsilon _{a\mu \nu 4}-\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}+\デルタ _{a\nu }\デルタ _{\mu 4}}$

ここで後者は反自己双対の 't Hooft 記号です。

行列形式では、't Hooft記号は

${\displaystyle \eta _{1\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \eta _{2\mu \ぬ}={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}},\quad \eta _{3\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{bmatrix}},}$

そしてそれらの反自己双対は次のとおりです。

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{1\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad { \bar {\eta }}_{2\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\bar {\eta }}_{3\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}。$

これらは自己双対性と反自己双対性の特性を満たします。

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\eta _{a\rho \sigma }\ ,\qquad {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }{\bar {\eta }}_{a\rho \sigma }\ }$

その他の特性としては

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }=-\eta _{a\nu \mu }\ ,}$

${\displaystyle \epsilon _{abc}\eta _{b\mu \nu }\eta _{c\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\eta _{a\nu \sigma }+\delta _{\nu \sigma }\eta _{a\mu \rho }-\delta _{\mu \sigma }\eta _{a\nu \rho }-\delta _{\nu \rho }\eta _{a\mu \sigma }}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }\eta _{a\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\delta _{\nu \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }+\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \rho }\eta _{b\mu \sigma }=\delta _{ab}\delta _{\rho \sigma }+\epsilon _{abc}\eta _{c\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \theta }\eta _{a\sigma \theta }=\delta _{\sigma \mu }\eta _{a\nu \rho }+\delta _{\sigma \rho }\eta _{a\mu \nu }-\delta _{\sigma \nu }\eta _{a\mu \rho }\ ,}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }\eta _{a\mu \nu }=12\ ,\quad \eta _{a\mu \nu }\eta _{b\mu \nu }=4\delta _{ab}\ ,\quad \eta _{a\mu \rho }\eta _{a\mu \sigma }=3\delta _{\rho \sigma }\ .}$

以下を除いても 同様である。${\displaystyle {\bar {\eta }}}$

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }{\bar {\eta }}_{a\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\delta _{\nu \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }-\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\ .}$

そして

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \theta }{\bar {\eta }}_{a\sigma \theta }=-\delta _{\sigma \mu }{\bar {\eta }}_{a\nu \rho }-\delta _{\sigma \rho }{\bar {\eta }}_{a\mu \nu }+\delta _{\sigma \nu }{\bar {\eta }}_{a\mu \rho }\ ,}$

明らかに、異なる二重性特性によるものです。 ${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }{\bar {\eta }}_{b\mu \nu }=0}$

^{これらの多くの特性は、't Hooftの論文[1]}の付録とBelitskyらの論文^{[2]にまとめられています。}

• インスタントン
• トホーフト異常
• トホーフト・ポリャコフ単極子
• 't Hooft ループ