ヤコビ演算子

ヤコビ作用素（ヤコビ行列とも呼ばれる）は、無限三重対角行列で表される数列に作用する対称線形作用素です。これは、有限正ボレル測度上の正規直交多項式の系を指定するためによく用いられます。この作用素は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられました。

この名称は、1848年にヤコビが提唱した定理に由来しており、主イデアル領域上のすべての対称行列は三重対角行列と合同であるというものである。

最も重要なケースは、正の整数上の二乗可積分数列のヒルベルト空間に作用する自己共役ヤコビ作用素の場合である。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$この場合は次のように与えられます。

${\displaystyle Jf_{0}=a_{0}f_{1}+b_{0}f_{0},\quad Jf_{n}=a_{n}f_{n+1}+b_{n}f_{n}+a_{n-1}f_{n-1},\quad n>0,}$

ここで、係数は以下を満たすと仮定する。

${\displaystyle a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}$

演算子が有界となるのは、係数が有界である場合に限る。

直交多項式の理論と密接な関連がある。実際、解は${\displaystyle p_{n}(x)}$漸化式の

${\displaystyle J\,p_{n}(x)=x\,p_{n}(x),\qquad p_{0}(x)=1{\text{ および }}p_{-1}(x)=0,}$

は次数nの多項式であり、これらの多項式は最初の基底ベクトルに対応するスペクトル測度に関して正規直交である。$\displaystyle \delta _{1,n}}$。

この漸化式は、一般的に次のように表記される。

${\displaystyle xp_{n}(x)=a_{n+1}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n}p_{n-1}(x)}$

これは数学や物理学の多くの分野で現れます。a ( n )  = 1の場合 は離散一次元シュレーディンガー演算子として知られています。また、以下の分野でも現れます。

• 戸田格子のラックス対。
• 正の有限ボレル測度上で直交する直交多項式の3項漸化式。
• 直交多項式のシステムから導出されたガウス求積法を計算するために考案されたアルゴリズム。 ^{[ 1 ]}
• 出生死過程の理論^{[ 2 ]}では、無限遷移行列をヒルベルト空間上で作用する自己共役ヤコビ演算子に変換することができる。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {C} )}$。

ベルグマン空間、すなわちある領域上の二乗可積分正則関数の空間を考えると、一般的に、その空間に直交多項式、すなわちベルグマン多項式の基底を与えることができる。この場合、三重対角ヤコビ演算子の類似物はヘッセンベルグ演算子、すなわち無限次元ヘッセンベルグ行列である。直交多項式の系は次のように与えられる。

${\displaystyle zp_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n+1}D_{kn}p_{k}(z)}$

そして${\displaystyle p_{0}(z)=1}$ここで、Dはこの状況における三重対角ヤコビ演算子Jを一般化したヘッセンベルグ演算子です。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Dはベルグマン空間上の右シフト演算子である ことに注意してください。つまり、次のように与えられます。

${\displaystyle [Df](z)=zf(z)}$

ベルグマン多項式の零点${\displaystyle p_{n}(z)}$主成分の固有値に対応する${\displaystyle n\times n}$Dのサブ行列。つまり、バーグマン多項式はシフト演算子の主サブ行列の特性多項式です。

• ハンケル行列

• Teschl, Gerald (2000), Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices , Providence: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-1940-2

• 「ヤコビ行列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]