軌道法

数学 において、軌道法（キリロフ理論、余接軌道法、その他いくつかの類似した名前でも知られる）は、リー群の既約ユニタリ表現とその余接軌道（リー代数の双対空間への群の作用の軌道）との間の対応を確立する。この理論は、キリロフ （1961、1962）によって冪零群に対して導入され、後にバートラム・コスタント、ルイス・アウスランダー、ラヨシュ・プカンスキーらによって可解群の場合に拡張された。ロジャー・ハウは、p進リー群に適用できる軌道法のバージョンを発見した。 ^[1]デビッド・ヴォーガンは、軌道法が実簡約リー群のユニタリ双対の記述における統一原理として機能するべきであると提案した。^[2]

キリロフの重要な観察の 1 つは、リー群Gの余接軌道が、シンプレクティック構造がGの下で不変であるシンプレクティック多様体の自然な構造を持つということである。軌道がG不変の古典力学系の位相空間である場合、対応する量子力学系はGの既約なユニタリ表現を介して記述されるはずである。軌道の幾何学的不変量は、対応する表現の代数的不変量に変換される。このように、軌道法は量子化の漠然とした物理的原理の正確な数学的表現と見なすことができる。冪零群Gの場合、対応はすべての軌道に関係するが、一般のG の場合は、軌道に対する追加の制限 (分極率、積分性、プカンスキー条件) が必要である。この観点は、余接軌道の 幾何学的量子化の理論においてコスタントによって大きく前進した。

リー群 の場合、キリロフ軌道法は表現論における発見的方法を与える。これは、Gのリー代数の双対空間にある余接軌道のフーリエ変換を、既約表現の無限小特性に結び付ける。この方法は、ロシアの数学者アレクサンドル・キリロフにちなんで名付けられた。 ${\displaystyle G}$

最も簡単に言えば、リー群の指標は、で表される指数写像のヤコビアンの平方根で重み付けされた、余接軌道上でサポートされるディラックのデルタ関数のフーリエ変換によって与えられることを述べています。これはすべてのリー群に適用されるわけではありませんが、冪零、一部の半単純群、コンパクト群 を含む、連結リー群のいくつかのクラスには適用できます。 ${\displaystyle j}$

G を連結で単連結な 冪零 リー群とする。キリロフは、 Gの既約 ユニタリ表現の同値類がGの余接軌道、つまりリー代数の双対空間上の作用Gの軌道によってパラメータ化されることを証明した。キリロフ特性式は、表現のハリシュ・チャンドラ特性を対応する軌道上の特定の積分として 表す。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

コンパクト リー群の複素既約表現は完全に分類されています。これらは常に有限次元で、ユニタリ化可能 (つまり、不変正定値エルミート形式を許容) であり、最高の重みによってパラメータ化されます。最高の重みは、まさにその群の主要な積分重みです。G がカルタン部分代数hを持つコンパクト半単純リー群である場合、その余剰軌道は閉じており、それぞれが 1 つの点で正のワイル チェンバーh ^* ₊と交差します。軌道は、この点がGの重み格子に属する場合、整列しています。最高重み理論は、整剰余剰軌道の集合とGの既約ユニタリ表現の同値類の集合との間の一対一の形で言い換えることができます。つまり、最高重みλ ∈ h ^* _{+を持つ最高重み表現}L ( λ ) は、積分余剰軌道G · λに対応します。キリロフ指標式は、以前にハリシュ・チャンドラによって証明された指標式に相当します。

• ディクスミアマッピング
• プカンスキー病

• ダルフォ、ペダーソン、ヴェルニュ（1990）、表現理論における軌道法：1988年8月から9月にコペンハーゲンで開催された会議の議事録（数学の進歩）、ビルクハウザー
• AA キリロフ (1961)、「零非能性リー群の単一表現」、Doklady Akademii Nauk SSSR、138 : 283–284、ISSN  0002-3264、MR  0125908
• キリロフ、AA (1962)、「冪零リー群のユニタリ表現」、ロシア数学調査、17 (4): 53–104、Bibcode :1962RuMaS..17...53K、doi :10.1070/RM1962v017n04ABEH004118、ISSN  0042-1316、MR  0142001
• Kirillov、AA (1976) [1972]、表現理論の要素、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 220、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-07476-4、MR  0412321
• Kirillov, AA (1999)、「軌道法の長所と短所」、Bull. Amer. Math. Soc.、36 (4): 433–488、doi : 10.1090/s0273-0979-99-00849-6。
• キリロフ、AA (2001) [1994]、「軌道法」、数学百科事典、EMS プレス
• Kirillov、AA (2004)、軌道法に関する講義、数学大学院、vol. 64、プロビデンス、RI: アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-3530-2。