偏極（リー代数）

表現論において、分極はリー代数上の特定の歪対称双線型形式の最大の全等方性部分空間である。分極の概念は、軌道法^[1]によるリー群のいくつかのクラスの既約ユニタリー表現の構築や、リー群の調和解析、数理物理学において重要な役割を果たしている。

をリー群、対応するリー代数およびその双対とする。をベクトル 上の線型形式（共ベクトル）の値とする。代数の部分代数は、条件が満たされる場合、 の従属代数と呼ばれる。${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \langle f,\,X\rangle }$${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \forall X,Y\in {\mathfrak {h}}\ \langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0}$、

あるいは、

${\displaystyle \langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0}$

が満たされる。さらに、群が余結合表現を介して空間に作用するとする。を点を通過するそのような作用の軌道とし、 を点の安定化因子のリー代数とする。の従属部分代数は、に関する代数の分極、またはより簡潔には、最大可能な次元、すなわち ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {広告} ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{f}}$ ${\displaystyle \mathrm {刺し} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}}$。

L.プカンスキーは次のような条件を得た: ^[2]

を共ベクトルに関する代数の分極とし、をその消滅子とする。分極は、次の場合にプカンスキー条件を満たすと言われる。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}.}$

L. Pukanszkyは、この条件が、もともと冪零群のために構築されたキリロフの軌道法が、より一般的な可解群の場合にも適用可能であることを保証すると示した。^[3]

• 偏極はリー代数上の双線型形式の最大の全等方性部分空間である。^[4]${\displaystyle \langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• いくつかのペアでは分極が存在しない可能性がある。^[4]${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\,f)}$
• 共ベクトル に対して分極が存在する場合、それは軌道上のすべての点に対しても存在し、 がに対して分極である場合、 はに対して分極です。したがって、分極の存在は軌道全体の特性です。^[4]${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f}$
• リー代数が完全に解ける場合、任意の点に対して分極が許容される。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$
• が一般位置の軌道（つまり最大次元を持つ）である場合、すべての点に対して解ける分極が存在する。^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}}$