ケプラーの方程式

軌道力学において、ケプラーの方程式は中心力を受ける物体の軌道のさまざまな幾何学的特性を関連付けます。

この方程式はヨハネス・ケプラーが1609年に著書『新天文学』第60章で導出したもので、^{[1] [2] 、ケプラーは著書}『コペルニクス天文学要覧』 （1621年）第5巻でこの方程式の反復解法を提案している。^{[3] [4]}しかし、この方程式とその解法が初めて登場したのは、視差の問題を扱った9世紀のハバス・アル＝ハシブ・アル＝マルワズィーの著作である。 ^{[5] [6] [7] [8]この方程式は物理学と数学、特に古典}天体力学の歴史において重要な役割を果たしてきた。

ケプラーの方程式は

ここで、は平均異常、は離心異常、 は離心率です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e}$

「偏心角」は、ケプラーの軌道上を移動する点の位置を計算するのに役立ちます。たとえば、物体が 、 の座標で近点を の時刻に通過する場合、任意の時刻における物体の位置を調べるには、まず、式 によって時間と平均運動から平均偏心角を計算し、次に上記のケプラー方程式を解いて を取得し、次に次の式から座標を取得します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle x=a(1-e)}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle M=n(t-t_{0})}$${\displaystyle E}$

ここで、 は長半径、は短半径です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ケプラーの方程式は超越方程式です。なぜなら、正弦は超越関数であり、代数的にについて解くことができないからです。を評価するには、一般に数値解析と級数展開が必要です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

ケプラーの方程式にはいくつかの形式があります。各形式は特定の軌道の種類に関連付けられています。標準ケプラー方程式は楕円軌道 ( ) に使用されます。双曲ケプラー方程式は双曲軌道 ( ) に使用されます。ラジアルケプラー方程式は直線 (ラジアル) 軌道 ( ) に使用されます。バーカー方程式は放物線軌道 ( ) に使用されます。 ${\displaystyle 0\leq e<1}$${\displaystyle e>1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e=1}$

のとき、軌道は円です。 を大きくすると、円は楕円になります。 のとき、次の 4 つの可能性があります。 ${\displaystyle e=0}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e=1}$

• 放物線状の軌道、
• 引力の中心からある距離にある点までの線分に沿って往復する軌道。
• 引力の中心から発せられる無限の光線に沿って内側または外側に進む軌道。距離とともに速度がゼロになる。
• または、光線に沿った軌道ですが、距離とともに速度がゼロになることはありません。

値が1 よりわずかに大きい場合、回転角度が 180 度弱の双曲軌道になります。さらに値を大きくすると回転角度が小さくなり、無限大に近づくと軌道は無限長の直線になります。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$

双曲ケプラー方程式は次のとおりです。

ここで、は双曲偏心異常です。この方程式は、M を楕円方程式の右辺の -1 倍の平方根として再定義することによって導かれます。${\displaystyle H}$

${\displaystyle M=i\left(Ee\sin E\right)}$

(ここではは虚数) とし、を に置き換えます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle iH}$

物体が脱出するのに十分なエネルギーを持っていない場合の放射状ケプラー方程式は次のようになります。

ここで、は時間に比例し、は光線に沿った引力の中心からの距離に比例し、最大距離で値 1 になります。この式は、ケプラーの式に 1/2 を掛けて1 に設定することで得られます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

そして置換を行う

${\displaystyle E=2\sin^{-1}({\sqrt {x}}).}$

物体が脱出するのに十分なエネルギーを持っている場合の放射状方程式は次のようになります。

エネルギーが脱出に必要な最小限の量とちょうど同じであれば、時間は距離の 3/2 乗に比例するだけです。

の与えられた値を計算するのは簡単です。しかし、が与えられているときの を解くのは、かなり難しくなります。の閉じた形の解はありません。 を解くことは、真の異常値、または真の異常値と平均異常値の差を解くこととほぼ同じです。これは「中心方程式」と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$

ラグランジュ逆変換を使用してケプラーの方程式の解の無限級数表現を書くことができますが、級数はとのすべての組み合わせに対して収束するわけではありません(以下を参照)。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle M}$

ケプラーの方程式の解法をめぐる混乱は、4世紀にわたって文献に残されてきた。^[9]ケプラー自身も一般解を見つける可能性に疑問を呈していた。

私は、弧と正弦の性質が異なるため、それ（ケプラーの方程式）は演繹的に解くことができないと十分に確信しています。しかし、もし私が間違っていて、誰かが私に道を示してくれるなら、その人は私の目には偉大なアポロニウスとなるでしょう。

— ヨハネス・ケプラー^[10]

ベッセル関数を用いたフーリエ級数展開（ に関して）は^{[11] [12] [13]}${\displaystyle M}$

${\displaystyle E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].}$

に関しては、 Kapteyn シリーズです。 ${\displaystyle e}$

逆ケプラー方程式は、 のすべての実数値に対するケプラー方程式の解です。 ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

これを評価すると次のようになります。

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

これらの級数は、MathematicaのInverseSeries 操作で 再現できます。

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

これらの関数は単純なマクローリン級数である。このような超越関数のテイラー級数表現は、それらの関数の定義であると考えられる。したがって、この解は逆ケプラー方程式の正式な定義である。しかし、 は、与えられた非ゼロ におけるの完全な関数ではない。実際、導関数 ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

無限の複素数の集合において、ゼロに最も近いのが、これらの2点で あるとき、ゼロになる。${\displaystyle e<1,}$${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(ここで逆 cosh は正とします)、 のこれらの値では無限大になります。つまり、マクローリン級数の収束半径は であり、 の値がこれより大きい場合、級数は収束しません。 級数は双曲型の場合にも使用できます。その場合、収束半径は です。 のときの級数は のとき収束します。 ${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle M<2\pi }$

この解法は、ある数学的な意味では最も単純ですが、^{[それはどれですか? ]}、ほとんどのアプリケーションでは他の解法の方が適しています。 あるいは、ケプラーの方程式を数値的に解くこともできます。

の解は1968年にカール・シュトゥンプフによって発見されたが^[14]、その重要性は認識されなかった。^{[15] [説明が必要]}${\displaystyle e\neq 1}$

また、マクローリン級数を で表すこともできます。この級数は、がラプラス極限(約 0.66)より大きいときはの値に関わらず収束しません(が2πの倍数でない限り)。しかし、 がラプラス極限より小さいときは常に収束します。級数の係数は、最初の係数 (単に ) を除き、周期2πで周期的に に依存します。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle e}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

物体が脱出するのに十分なエネルギーを持たない場合の 逆ラジアルケプラー方程式（ ）も同様に次のように表すことができます。${\displaystyle e=1}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

これを評価すると次のようになります。

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Mathematicaを使用してこの結果を得るには:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

ほとんどのアプリケーションでは、逆問題は関数の 根を見つけることによって数値的に計算できます。

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

これはニュートン法によって反復的に実行できます。

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

この計算では、と はラジアン単位であることに注意してください。この反復は、必要な精度が得られるまで（たとえば、 < 必要な精度のとき）繰り返されます。ほとんどの楕円軌道では、 の初期値で十分です。 の軌道では、 の初期値を使用できます。多くの研究により、正確な（しかしより複雑な）開始推測が開発されました。^[16]が常に 1 の場合、ニュートン法の分母にある の導関数がゼロに近づく可能性があり、ニュートン-ラプソン法、セカント法、またはレギュラ ファルシ法などの導関数ベースの方法が数値的に不安定になります。その場合、二分法では、特に解が小さな初期区間で制限されるため、収束が保証されます。最近のコンピュータでは、17～18 回の反復で 4 桁または 5 桁の精度を達成できます。^[17]同様のアプローチをケプラーの方程式の双曲形式にも使用できます。^{[18] : 66–67}放物線軌道の場合はバーカー方程式が用いられる。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(E)}$${\displaystyle E_{0}=M(t)}$${\displaystyle e>0.8}$${\displaystyle E_{0}=\pi }$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$

関連する方法は、 であることに注目することから始まります。右側の式を右側の に繰り返し代入すると、を評価するための単純な固定小数点反復アルゴリズムが得られます。この方法は、ケプラーの 1621 年の解法と同じです。^[4]擬似コードでは、次のようになります。 ${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E(e,M)}$

関数E ( e , M , n ) E = M 、k = 1からnまでE = M + e * sin E、次のk、Eを返す   
      
         
             
     
     

反復回数 はの値に依存します。双曲形式でも同様に となります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle e}$${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$

この方法は、上記のニュートン法の解法と関連しており、

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

まずは 少量からご注文いただき、${\displaystyle M-E_{n}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$。

• 中心の方程式
• ケプラーの惑星運動の法則
• ケプラー問題
• 一般相対性理論におけるケプラー問題
• 放射状の軌道

ウィキメディア・コモンズには、ケプラーの方程式に関連するメディアがあります。

• ダンビー、ジョン・M.; バーカート、トーマス・M. (1983)。「ケプラーの方程式の解。I」。天体力学。31 (2): 95–107。Bibcode :1983CeMec..31 ... 95D。doi :10.1007/ BF01686811。S2CID 189832421  。
• Conway, Bruce A. ( 1986)。「ケプラー方程式を解くためのラゲールによる改良アルゴリズム」。第 24 回航空宇宙科学会議。doi :10.2514/6.1986-84。
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• Wolfram Mathworld のケプラー方程式