ラプラス限界

数学において、ラプラス極限とは、離心率のべき級数で表された ケプラーの方程式の解が収束する離心率の最大値である。これはおよそ

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290。

ケプラーの方程式M  =  E  − ε sin  E は、離心率 ε の楕円軌道上を運動する物体の平均近点 Mと離心率 Eを関連付けます。この方程式は、 Eについて基本関数で解くことはできませんが、ラグランジュの反転定理により、ε のべき級数として解が与えられます。

${\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }$

または一般的に^{[1] [2]}

${\displaystyle E=M\;+\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\合計 _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)}$

ラプラスは、この級数は離心率が小さい値であれば収束するが、離心率がMに依存しない特定の値を超えると、 π の倍数以外のMの値であれば発散することに気づきました。ラプラス限界はこの値です。これはべき級数の 収束半径です。

これは超越方程式の唯一の実数解である^[3]

${\displaystyle {\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1}$

r-ランベルト特殊関数による閉形式の表現と無限級数表現は、István Mezőによって与えられた。 ^[4]

ラプラスは1827年に0.66195という値を計算した。イタリアの天文学者フランチェスコ・カルリーニはラプラスの5年前に0.66という限界値を発見した。コーシーは1829年に正確な値0.66274を示した。^[5]

• 軌道離心率

• フィンチ、スティーブン・R.（2003）「ラプラス限界定数」、数学定数、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-81805-6。
• モールトン、フォレスト R. (1914)、「V. 2 つの物体の問題」、天体力学入門 (第 2 版)、マクミラン。

• ワイスタイン、エリック・W.「ラプラスの限界」。マスワールド。
• OEISシーケンス A033259 (ラプラスの極限定数の 10 進展開)