角運動量カップリング

量子力学において、角運動量結合とは、個々の角運動量の固有状態から全角運動量の固有状態を構築する手順である。例えば、単一粒子の軌道とスピンはスピン軌道相互作用を介して相互作用することができ、その場合、完全な物理的描像にはスピン軌道結合が必ず含まれる。あるいは、それぞれが明確に定義された角運動量を持つ 2 つの荷電粒子がクーロン力によって相互作用する可能性があり、その場合、2 つの 1 粒子角運動量を全角運動量に結合することは、2 粒子シュレーディンガー方程式を解く上で有用なステップである。どちらの場合も、個々の角運動量はもはや運動定数ではないが、2 つの角運動量の合計は通常は依然として定数である。原子における角運動量結合は、原子分光法において重要である。電子スピンの角運動量結合は、量子化学において重要である。また、原子核殻モデルでも、角運動量結合はいたるところに見られる。^{[1] [2]}

天文学では、スピン軌道相互作用は角運動量保存の一般法則を反映しており、これは天体系にも当てはまります。単純なケースでは、角運動量 ベクトルの方向は無視され、スピン軌道相互作用は、惑星または他の天体が自身の軸を中心に回転する周波数と、他の天体の周りを公転する周波数の比率です。これは、より一般的には軌道共鳴として知られています。多くの場合、根本的な物理的影響は潮汐力です。

角運動量保存則とは、系が外部トルクを受けていない場合、系全体の角運動量は大きさと方向が一定であるという原理である。角運動量は、物理系の特性であり、次の 2 つの状況で運動定数となる (保存特性、時間に依存しない、明確に定義された特性とも呼ばれる)。^{[引用が必要]}

1. システムは球対称のポテンシャル場を経験します。
2. システムは（量子力学的な意味で）等方性空間内を移動します。

どちらの場合も、角運動量演算子はシステムのハミルトニアンと 交換されます。ハイゼンベルクの不確定性関係により、これは角運動量とエネルギー (ハミルトニアンの固有値) を同時に測定できることを意味します。

最初の状況の例は、電子が原子核のクーロン力のみを受ける原子です。電子間相互作用（およびスピン軌道相互作用などの他の小さな相互作用）を無視すると、各電子の軌道角運動量lは全ハミルトニアンと交換されます。このモデルでは、原子ハミルトニアンは、電子の運動エネルギーと球対称の電子核相互作用の合計です。個々の電子角運動量l _{i は}このハミルトニアンと交換されます。つまり、それらはこの原子の近似モデルの保存された特性です。

2 番目の状況の例としては、磁場のない空間で運動する剛体回転子が挙げられます。剛体回転子は明確に定義された、時間に依存しない角運動量を持ちます。^{[引用が必要]}

これら 2 つの状況は古典力学に由来します。スピンに関連する 3 番目の種類の保存角運動量には、古典力学に対応するものはありません。ただし、角運動量結合のすべての規則はスピンにも適用されます。

一般に、角運動量の保存は完全な回転対称性（SO(3)群とSU(2)群で記述）を意味し、逆に、球対称性は角運動量の保存を意味します。2つ以上の物理システムが保存された角運動量を持つ場合、これらの運動量を結合システムの全角運動量（システム全体の保存特性）に結合すると便利です。個々のサブシステムの角運動量固有状態から全保存角運動量の固有状態を構築することを角運動量結合と呼びます。

角運動量結合の応用は、相互作用がなければ角運動量が保存されるサブシステム間に相互作用がある場合に便利です。相互作用そのものによってサブシステムの球対称性は破れますが、システム全体の角運動量は運動定数のままです。後者の事実を利用すると、シュレーディンガー方程式を解くのに役立ちます。

例として、i = 1 と 2 でラベル付けされた原子 (ヘリウム原子とします)内の 2 つの電子について考えます。電子間相互作用がなく、電子と原子核の相互作用のみがある場合、2 つの電子は互いに独立して原子核の周りを回転できます。エネルギーには何も起こりません。両方の演算子l ₁とl ₂の期待値は保存されます。ただし、電子間の距離d (1,2) に依存する電子間相互作用をオンにすると、2 つの電子が同時に等しく回転した場合にのみd (1,2) が不変になります。このような場合、 l ₁もl ₂も一般には運動定数ではありませんが、全軌道角運動量演算子L = l ₁ + l ₂の期待値は運動定数 です。l ₁とl ₂の固有状態が与えられた場合、 Lの固有状態（依然として保存される）の構築は、電子1と2の角運動量の結合です。

全軌道角運動量量子数Lは整数値に制限されており、 3つの非負整数値が三角形の3辺に対応するように、三角条件を満たす必要がある。 ^[3]${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}}$

量子力学では、単一の物体の異なるヒルベルト空間に属する角運動量、例えばスピンと軌道角運動量の間にも結合が存在します。スピンが半整数値、例えば⁠1/2⁠電子の場合、合計（軌道とスピン）角運動量も半整数値に制限されます。

上記を少し異なる方法で繰り返すと、複合システム（つまり、2 つの水素原子や 2 つの電子などのサブユニットで構成されている）の量子状態を、量子状態のテンソル積で構成されている基底セットで展開し、それによってサブシステムを個別に記述します。サブシステムの状態は、角運動量演算子（および任意のz軸に沿ったコンポーネント）の固有状態として選択できると仮定します。

したがって、サブシステムはℓ、m 量子数のペアによって正しく記述されます(詳細については角運動量を参照)。サブシステム間に相互作用がある場合、全ハミルトニアンには、サブシステムにのみ作用する角度演算子と交換しない項が含まれます。ただし、これらの項は全角運動量演算子と交換します。ハミルトニアン内の交換しない相互作用項は、角運動量結合を必要とするため、角運動量結合項と呼ばれることがあります。

原子やそれより小さな粒子の挙動は量子力学の理論によってよく説明されます。量子力学では、各粒子はスピンと呼ばれる固有の角運動量を持ち、特定の構成（たとえば、原子内の電子の構成）は量子数の集合によって説明されます。粒子の集合も角運動量とそれに対応する量子数を持ち、さまざまな状況下で部分の角運動量がさまざまな方法で結合して全体の角運動量を形成します。角運動量の結合は、亜原子粒子が互いに相互作用する方法のいくつかを含むカテゴリです。

原子物理学において、スピン軌道相互作用（スピンペアリングとも呼ばれる）は、粒子スピンとこの粒子の軌道運動（例：電子スピンと原子核の周りのその運動）との間の弱い磁気相互作用または結合を表します。その効果の 1 つは、本来はエネルギー的には同一である原子の内部状態のエネルギー（例：スピン整合状態とスピン反整合状態）を分離することです。この相互作用は、原子構造の細部の多くに関係しています。

固体物理学では、スピンと軌道運動の結合により、ドレスルハウス効果またはラシュバ効果によりエネルギーバンドの分裂が起こる可能性があります。

軌道力学の巨視的な世界では、スピン軌道結合という用語は、スピン軌道共鳴と同じ意味で使用されることがあります。

軽い原子（一般にZ  ≤ 30 ^[4]）では、電子スピンs _{i は}互いに相互作用し、結合して全スピン角運動量Sを形成します。同じことが軌道角運動量ℓ _iにも起こり、全軌道角運動量Lを形成します。量子数LとSの間の相互作用は、ラッセル–サンダース結合（ヘンリー・ノリス・ラッセルとフレデリック・サンダースにちなんで）またはLS 結合と呼ばれます。次に、SとL が結合して全角運動量J を形成します。^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,}$

ここで、LとS は合計です。

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i} .\,}$

これは外部磁場が弱い限り有効な近似である。より大きな磁場では、これら2つの運動量が分離し、エネルギーレベルに異なる分裂パターンが生じ（パッシェン・バック効果）、LS結合項のサイズは小さくなる。^[7]

LS カップリングが実際にどのように適用されるかについての詳細な例については、項記号に関する記事を参照してください。

より重い原子では状況は異なります。より大きな核電荷を持つ原子では、スピン軌道相互作用は、スピン-スピン相互作用または軌道-軌道相互作用と同等かそれ以上の大きさになることがよくあります。この状況では、各軌道角運動量ℓ _{i は、}対応する個々のスピン角運動量s _iと結合する傾向があり、個々の合計角運動量 j i が生成されます。_次に、これらが結合して合計角運動量J を形成します。

${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).}$

この種の相互作用の計算を容易にするこの記述は、jj 結合として知られています。

スピン-スピン結合は、異なる粒子の 固有角運動量（スピン）の結合である。核スピンのペア間のJ結合は、分子の構造と立体配座に関する詳細な情報を提供できるため、核磁気共鳴（NMR）分光法の重要な特徴である。核スピンと電子スピン間のスピン-スピン結合は、原子スペクトルの超微細構造の原因である。^[8]

項記号は原子の状態とスペクトル遷移を表すために使用され、前述の角運動量の結合から求められます。原子の状態が項記号で指定されている場合、どの遷移が角運動量を保存するかを検討することにより、選択規則を通じて許容される遷移を見つけることができます。光子はスピン 1 を持ち、光子の放出または吸収を伴う遷移がある場合、原子は角運動量を保存するために状態を変更する必要があります。項記号の選択規則は次のとおりです。Δ S =  0; Δ L  = 0, ±1; Δ l  = ± 1; Δ J  = 0, ±1。

「項記号」という表現は、原子のリュードベリ状態とそのエネルギーレベルに関連する「項系列」に由来する。リュードベリの式では、水素のような原子から放出される光の周波数または波数は、遷移の2つの項の差に比例する。初期の分光法で知られていた系列は、シャープ、主、拡散、基本と指定され、その結果、原子の軌道角運動量状態を表すためにS、P、D、 Fの文字が使用された。^[9]

非常に重い原子では、電子エネルギー準位のエネルギーの相対論的シフトにより、スピン軌道結合効果が強調されます。したがって、たとえばウランの分子軌道図では、他の原子との相互作用を考慮する際に、相対論的記号を直接組み込む必要があります。^{[引用が必要]}

原子核では、スピン軌道相互作用は原子電子の場合よりもはるかに強く、原子核殻モデルに直接組み込まれています。また、原子-電子項記号とは異なり、最低エネルギー状態はL − Sではなく、ℓ + sです。したがって、 ℓ値（軌道角運動量）がゼロより大きいすべての原子核レベルは、殻モデルで分割され、ℓ + sおよびℓ − sで指定される状態が作成されます。中心クーロンポテンシャルではなく平均ポテンシャルを想定する殻モデルの性質上、 ℓ + sおよびℓ − s核状態に入る核子は、各軌道内で縮退していると見なされます（例： 2 p ⁠3/2⁠には4つの核子が含まれており、すべて同じエネルギーを持っています。エネルギーが高いのは2 p ⁠1/2⁠ 2 つの等しいエネルギーの核子を含みます。

• クレプシュ・ゴルダン係数
• 角運動量図（量子力学）
• 球面基底

• LSとjjカップリング
• 用語記号
• スピンカップリングのウェブ計算機: シェルモデル、原子項記号