ビーティシーケンス

数学において、ビーティ数列（ビーティすれん、または同次ビーティ数列）は、正の無理数の正の倍数の底をとることによって求められる整数の列である。ビーティ数列は、1926年にそれについて書いたサミュエル・ビーティにちなんで名付けられている。

レイリーの定理は、レイリー卿にちなんで名付けられ、ビーティ数列の補数（数列に含まれない正の整数で構成される）は、それ自体が別の無理数によって生成されるビーティ数列であることを述べています。

Beatty シーケンスはSturmian 単語の生成にも使用できます。

1 より大きい任意 の無理数は、ビーティ数列を生成します。2 つの 無理数と は、当然、式 を満たします。これらが生成する 2 つのビーティ数列と は、相補的なビーティ数列 のペアを形成します。ここで、「相補的」とは、すべての正の整数がこれら 2 つの数列のどちらか 1 つに属することを意味します。 ${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}={\bigl \{}\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\ldots {\bigr \}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle s=r/(r-1)}$${\displaystyle 1/r+1/s=1}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

が黄金比のとき、相補ビーティ数列は によって生成される。この場合、下ワイトフ数列として知られる数列は、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$${\displaystyle s=r+1=(3+{\sqrt {5}})/2\approx 2.618}$${\displaystyle (\lfloor nr\rfloor )}$

そして、その相補的なシーケンスである上側ウィトフシーケンスは、 ${\displaystyle (\lfloor ns\rfloor )}$

これらのシーケンスは、 Wythoff のゲームの最適戦略を定義し、Wythoff 配列の定義に使用されます。

別の例として、2の平方根については、、となる。この場合、数列は ${\displaystyle r={\sqrt {2}}\approx 1.414}$${\displaystyle s=2+{\sqrt {2}}\approx 3.414}$

および の場合、シーケンスは ${\displaystyle r=\pi \approx 3.142}$${\displaystyle s=\pi /(\pi -1)\approx 1.467}$

最初のシーケンス内の数字は 2 番目のシーケンスには存在せず、その逆も同様です。

ビーティ数列は、 1926年にサミュエル・ビーティがアメリカ数学月刊誌で提起した問題にちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]これはおそらく、}月刊誌で提起された問題の中で最も頻繁に引用される問題の一つです。しかし、それより前の1894年に、このような数列はレイリー卿の著書『音響理論』第2版で簡単に言及されていました。^[3]

レイリーの定理（ビーティの定理とも呼ばれる）は、無理数が与えられたとき、ビーティ数列とが正の整数の集合を分割する、すなわち各正の整数が2つの数列のうちの1つにのみ属するという定理である。^[3]${\displaystyle r>1\,,}$${\displaystyle s>1}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

とします。すべての正の整数は、との 2 つの数列のうちの 1 つにのみ含まれることを示さなければなりません。これは、正の整数jとkについて、すべての分数とを非減少順に並べたときに、それらの分数が占める順序位置を考慮することによって行います。 ${\displaystyle r>1\,,}$${\displaystyle s=r/(r-1)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$${\displaystyle j/r}$${\displaystyle k/s}$

2 つの数が同じ位置 (単一の数として) を占めることはできないことを確認するには、逆に、あるjとkについて であると仮定します。すると= となり、有理数になりますが、有理数でもありません。したがって、2 つの数が同じ位置を占めることはありません。 ${\displaystyle j/r=k/s}$${\displaystyle r/s}$${\displaystyle うーん}$${\displaystyle r/s=r(1-1/r)=r-1,}$

任意 の に対して、となる正の整数ととなる正の整数が存在するので、リスト内のの位置はとなる。この式は、${\displaystyle j/r}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i/r\leq j/r}$${\displaystyle \lfloor js/r\rfloor }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k/s\leq j/r}$${\displaystyle j/r}$${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor }$${\displaystyle 1/r+1/s=1}$$${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .}$$

同様に、リスト内のの位置は です。 ${\displaystyle k/s}$${\displaystyle \lfloor kr\rfloor }$

結論: すべての正の整数 (つまり、リスト内のすべての位置) は の形式 または の形式のいずれかですが、両方ではありません。逆の記述も真です。つまり、pとqが 2 つの実数で、すべての正の整数が上記のリストに 1 回だけ出現する場合、pとqは無理数であり、それらの逆数の合計は 1 になります。 ${\displaystyle \lfloor nr\rfloor }$${\displaystyle \lfloor ns\rfloor }$

衝突：定理に反して、j  > 0かつkとmの整数があり、 これは次の不等式と同等である 。$${\displaystyle j=\left\lfloor {k\cdot r}\right\rfloor =\left\lfloor {m\cdot s}\right\rfloor \,.}$$$${\displaystyle j\leq k\cdot r<j+1{\text{ かつ }}j\leq m\cdot s<j+1.}$$

jが0でない場合、 rとsの無理数は等式と矛盾する ため 、 $${\displaystyle j<k\cdot r<j+1{\text{ および }}j<m\cdot s<j+1,}$$$${\displaystyle {j \over r}}k<{j+1 \over r}} かつ }}{j \over s}}m<{j+1 \over s}}$$

これらを足し合わせて仮説を用いると、 不可能であることがわかります (2 つの隣接する整数の間に整数を置くことはできません)。したがって、この仮定は誤りであるはずです。 $${\displaystyle j<k+m<j+1}$$

衝突防止: 定理に反して、j  > 0かつkとmの整数が存在し、 $${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ かつ }}j+1\leq (k+1)\cdot r{\text{ かつ }}m\cdot s<j{\text{ かつ }}j+1\leq (m+1)\cdot s\,.}$$

j  + 1は0以外でrとsは無理数なので、等式は除外できます。 $${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ かつ }}j+1<(k+1)\cdot r{\text{ かつ }}m\cdot s<j{\text{ かつ }}j+1<(m+1)\cdot s.}$$

そして私たちは $${\displaystyle k<{j \over r}{\text{ and }}{j+1 \over r}<k+1{\text{ and }}m<{j \over s}{\text{ and }}{j+1 \over s}<m+1}$$

対応する不等式を加えると、 $${\displaystyle k+m<j{\text{ and }}j+1<k+m+2}$$ $${\displaystyle k+m<j<k+m+1}$$

これも不可能です。したがって、この仮定は誤りです。

数がBeatty 数列に属するのは、 がの小数部を表す 場合、つまり の場合のみです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$$${\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$$${\displaystyle [x]_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]_{1}=x-\lfloor x\rfloor }$

証拠： ${\displaystyle m\in B_{r}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists n,m=\lfloor nr\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<nr<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

さらに、。 ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$

証拠： ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<\left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1<{\frac {m+1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}-\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor =\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

無理数に関連付けられた Beatty 数列の最初の差は 、アルファベット上の特徴的なSturmian 語です。 $${\displaystyle \lfloor (n+1)r\rfloor -\lfloor nr\rfloor }$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{\lfloor r\rfloor ,\lfloor r\rfloor +1\}}$

レイリーの定理を少し修正すれば、正の実数（無理数とは限らない）と負の整数にも一般化できます。つまり、正の実数と がを満たす場合、シーケンスと は整数の分割を形成します。たとえば、ピアノのキーボードの白鍵と黒鍵は、とに対してそのようなシーケンスとして分布します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 1/r+1/s=1}$${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle r=12/7}$${\displaystyle s=12/5}$

ランベック・モーザーの定理はレイリーの定理を一般化し、整数関数とその逆関数から定義されるより一般的なシーケンスのペアが整数を分割する同じ特性を持つことを示しています。

ウスペンスキーの定理は、が正の実数で、すべての正の整数がちょうど1つ含まれる場合、つまり、3つ以上のビーティ列に対してレイリーの定理に相当するものは存在しないことを述べています。^{[4] [5]}${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle (\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1}}$${\displaystyle n\leq 2.}$

• Holshouser, Arthur; Reiter, Harold (2001). 「Beatty の定理の一般化」. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics . 2 : 24–29. 2014-04-19 にオリジナルからアーカイブされました。
• ストラースキー、ケネス (1976)。「ビーティシーケンス、連分数、および特定のシフト演算子」。カナダ 数学速報。19 (4): 473–482。doi : 10.4153/ CMB-1976-071-6。MR 0444558。多数の参考文献が含まれています。

• Weisstein、Eric W.「Beatty シーケンス」。MathWorld。
• アレクサンダー・ボゴモルニー、ビーティー・シーケンス、カット・ザ・ノット