リミット（音楽）

正の奇数nに対して、n-奇数限界には、分子または分母のいずれかを割り切る最大の奇数がnを超えないようなすべての有理数が含まれます。

ハリー・パーチは『音楽の起源』の中で、純正律の有理数を、オクターブを法とする分子と分母の大きさに基づいて考察した。^{[ 3 ]}オクターブは2の倍数に対応するため、任意の音程の複雑さは、その比における最大の奇数によって単純に測定できる。

同一音とは、調律における（奇数）限界音以下の奇数（その上限音を含む）のことです。例えば、5限界調律に含まれる同一音は1、3、5です。それぞれの奇数は倍音列における新しい音高を表しており、したがって同一音とみなすことができます。

C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

パーチによれば、「9という数字は素数ではないが、奇数であるという理由だけで音楽におけるアイデンティティである」^{[ 4 ]} 。パーチは「アイデンティティ」を「調性における相関関係である『長調』または『短調』の1つ。奇数の要素の1つであり、そのうちの1つ、複数、またはすべてが調性の極として機能する」と定義している^{[ 5 ] 。}

Odentityとudentityは、それぞれover-identityとunder-identityの略です。 ^{[ 6 ]}音楽ソフトウェアプロデューサーのTonalsoftによると、「udentityはutonalityのアイデンティティである」とのことです。 ^{[ 7 ]}

素数nに対して、n-素数極限とは、 n以下の素数を用いて因数分解できるすべての有理数の集合である。言い換えれば、分子と分母がともにn-平滑である有理数の集合である。

p-Limitチューニング。素数pが与えられたとき、$\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$素因数分解が次の形式である 有理数xから構成される。${\displaystyle x=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}}$と${\displaystyle p_{1},...,p_{r}\leq p}$のサブグループを形成する（${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+},\cdot }$) ...音階または調律システムがp限界調律を使用しているとは、音高間のすべての音程比がこの部分群に含まれる場合をいう。^{[ 8 ]}

1970年代後半、アメリカ西海岸でアメリカン・ガムラン・スクールと呼ばれる新しい音楽ジャンルが形作られ始めた。インドネシアのガムランに触発されたカリフォルニアをはじめとする各地の音楽家たちは、独自のガムラン楽器を作り始め、多くの場合、純正律で調律した。このムーブメントの中心人物は、アメリカの作曲家ルー・ハリソンだった。倍音列から直接音階を取ることが多かったパーチとは異なり、アメリカン・ガムラン・ムーブメントの作曲家たちは、フォッカー周期ブロックの構築に使われるような方法で、純正律格子から音階を引き出す傾向があった。このような音階には、非常に大きな数値の比率が含まれていることが多いが、それでも音階内の他の音とは単純な間隔で関連付けられている。

素数限界チューニングや音程は、その限界に基づいた数値体系の用語を用いて呼ばれることが多い。例えば、7限界チューニングや音程はセプティマル、11限界チューニングや音程はウンデシマルなどと呼ばれる。