高度に合成された数

高度合成数とは、それより小さいすべての正の整数より 約数が多い正の整数です。関連する概念として、高度合成数、つまり、それより小さいすべての正の整数と少なくとも同じ数の約数を持つ正の整数があります。この名前はやや誤解を招く可能性があります。最初の 2 つの高度合成数 (1 と 2) は実際には合成数ではありませんが、それ以降の項はすべて合成数です。

ラマヌジャンは1915年に高度合成数に関する論文を執筆した。^[1]

数学者ジャン＝ピエール・カハネは、プラトンが5040（＝  7! ）という数字を都市の理想的な住民数として意図的に選んだことから、プラトンは高度に合成された数について知っていたに違いないと示唆した。^[2]さらに、ヴァルドゥラキスとピューの論文では、5040という数字に関する同様の調査が行われている。^[3]

最初の 41 個の高度合成数は、以下の表に示されています ( OEISのシーケンスA002182 )。約数の数は、d ( n ) というラベルの付いた列に示されています。アスタリスクは、優れた高度合成数を示します。

最初の 19 個の高度合成数の約数を以下に示します。

以下の表は、10080 を 2 つの数の積として 36 通りの方法で表すことによって、10080 の約数 72 個すべてを示しています。

15,000 番目の高度合成数は、Achim Flammenkamp の Web サイトで見つけることができます。これは 230 個の素数の積です。

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

ここで、 は番目の連続する素数であり、省略された項 ( a ₂₂からa ₂₂₈ ) はすべて指数が 1 に等しい因数です (つまり、数は です)。より簡潔に言えば、これは 7 つの異なる原始数の積です。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

原始的なはここです。^[4]${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

大まかに言えば、ある数が高度に合成数であるためには、できるだけ小さい素因数を持ち、かつ同じ素因数が多すぎないようにする必要があります。算術の基本定理によれば、すべての正の整数n には一意の素因数分解があります。

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

ここで、は素数であり、指数は正の整数です。 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$${\displaystyle c_{i}}$

n の因数は、各素数において同じかそれより小さい重複度を持つ必要があります。

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

したがって、 nの約数の数は次のようになります。

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

したがって、高度に合成された数nに対して、

• 与えられたk個の素数p _{i は}、正確に最初のk個の素数 (2、3、5、...) でなければなりません。そうでない場合は、与えられた素数の 1 つをより小さな素数に置き換えて、同じ数の約数を持つnよりも小さい数を得ることができます(たとえば、10 = 2 × 5 は 6 = 2 × 3 に置き換えることができます。どちらも 4 つの約数を持ちます)。
• 指数のシーケンスは非増加、つまり でなければなりません。そうでない場合、2 つの指数を交換すると、約数の個数が同じnより小さい数が再び得られます(たとえば、18 = 2 ¹  × 3 ^{2 は12 = 2 2}  × 3 ¹に置き換えられます。どちらも約数が 6 個あります)。${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

また、n  = 4 とn  = 36 という 2 つの特殊なケースを除いて、最後の指数c _{k は}1 に等しくなければなりません。つまり、1、4、36 は、平方の高度合成数のみです。指数のシーケンスが増加しないということは、高度合成数が原始数の積である、またはその素数シグネチャの最小の数である、ということと同じです。

上記の条件は必要ですが、数が高度合成数であるためには十分ではないことに注意してください。たとえば、96 = 2 ⁵ × 3 は上記の条件を満たし、12 個の約数を持ちますが、同じ数の約数を持つより小さい数 (60) があるため、高度合成数ではありません。

Q ( x ) がx以下の高度に合成された数の個数を表す場合、 1 より大きい 定数aとb が2 つ存在し、

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

不等式の前半部分は1944年にポール・エルデシュによって証明され、後半部分は1988年に ジャン＝ルイ・ニコラによって証明された。

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

そして

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$^[5]

6 より大きい高度合成数も過剰数です。この事実を確認するには、特定の高度合成数の 3 つの最大の真約数を見るだけで十分です。高度合成数はすべて10 進数のハーシャッド数でもあるというのは誤りです。ハーシャッド数ではない最初の高度合成数は 245,044,800 です。この数の桁の合計は 27 であり、245,044,800 を均等に割り切れません。

最初の 38 個の高度合成数のうち 10 個は、優良高度合成数です。高度合成数列 ( OEISの列A002182 ) は、ちょうどn 個の約数を持つ最小の数k列( OEISの列A005179 )のサブセットです。

約数の個数も高度合成数である高度合成数は

1、2、6、12、60、360、1260、2520、5040、55440、277200、720720、3603600、61261200、2205403200、293318625600、6746328388800、195643523275200（OEISの配列A189394）。

このシーケンスは完了している可能性が非常に高いです。

正の整数nが大体合成数であるとは、すべてのm≤nに対してd ( n )≥d ( m )が成り立つ場合である。大体合成数の 計数関数Q _L ( x )は次式を満たす。

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

cとdが正の場合。^{[6] [7]}${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

高度に合成された数の素因数分解には最初のk個の素数がすべて使用されるため、高度に合成された数はすべて実用的な数でなければなりません。^[8]分数を含む計算で使いやすいため、これらの数の多くは従来の計測システムや工学設計で使用されています。

• 優れた高度合成数
• 高度にトーティエントな数
• 約数表
• オイラーのトーティエント関数
• ラウンドナンバー
• 滑らかな数

• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 （2006年）。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。45 ～ 46ページ 。ISBN 1-4020-4215-9.ZBL1151.11300  。​
• Erdös, P. (1944). 「高度合成数について」(PDF) .ロンドン数学会誌. 第 2 シリーズ. 19 (75_Part_3): 130– 133. doi :10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR  0013381.
• Alaoglu, L. ; Erdös, P. (1944). 「高度に合成された数と類似の数について」(PDF) .アメリカ数学会誌. 56 (3): 448– 469. doi :10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087.
• ラマヌジャン、シュリニヴァサ(1997)。「高度合成数」(PDF)。ラマヌジャンジャーナル。1 ( 2 ): 119– 153。doi : 10.1023 /A:  1009764017495。MR 1606180。S2CID 115619659  。Jean-Louis Nicolas と Guy Robin による注釈と序文付き。

• Weisstein、Eric W.「高度合成数」。MathWorld。
• 高度合成数を計算するアルゴリズム
• 最初の10000個の高度合成数を因数として
• Achim Flammenkamp、シグマ、タウ、因子を含む最初の 779674 HCN
• オンライン高合成数計算機
• 5040 とその他の反素数 - ジェームズ・グライム博士 (ジェームズ・グライム博士、Numberphile向け)