多数

数論において、過剰数または過剰数とは、その真の約数の和がその数よりも大きい正の整数のことである。整数12は最初の過剰数である。その真の約数は1、2、3、4、6であり、それらの和16は12よりも大きい。この和がその数を上回る量を過剰数という。例えば、数12の過剰数は4である。

定義と例

過剰数とは、約数の和 $σ$ $($ $n$ $)が$ $σ$ $($ $n$ $) > 2$ $n を$ 満たす自然数 $n$ のことである。あるいは、等価的に、真の約数の和 (またはアリコット和) $s$ $($ $n$ $)が$ $s$ $($ $n$ $) >$ $n を$ 満たす自然数 n のことである。^[¹^]^:⁸⁴^[²^]^:⁶⁹³^[³^]^:²⁷³^[⁴^]^:¹⁸⁵自然数の過剰数 は、整数 $σ$ $($ $n$ $) -$ $2n$ (等価的に、 $s$ $($ $n$ $) -$ $n$ ) である。^[⁵^]

100より小さい豊富数は

12、18、20、24、30、36、40、42、48、54、56、60、66、70、72、78、80、84、88、90、および96 （ OEISの配列A005101）。

例えば、24 の真の約数は 1、2、3、4、6、8、12 であり、それらの合計は 36 です。36 は 24 より大きいので、24 は過剰数であり、その過剰数は $36 - 24 = 12$ です。

過剰でない数は、完全数（ $σ (n) = 2n の$ 場合）または不足数（ $σ (n) < 2n の場合$ ）のいずれかです。

物件

{\displaystyle a(n)} — させて $a(n)$ 過剰数の数であって、以下を超えないもの $n$ . プロット $a(n)/n$ のために $n<10^{6}$ （と $n$ 対数スケール）

過剰数のすべての倍数は過剰数である。^{[ 2 ]}^{: 695}^{[ 5 ]}例えば、20のすべての倍数（20自体を含む）は過剰数である。なぜなら、 $n$ が20の倍数であれば、 $\sigma (n)\geq {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$ 同様に、完全数のすべての倍数（完全数自身を除く）は過剰である。^{[ 6 ]}^{： 134}例えば、6より大きい6のすべての倍数 $nは過剰である。$ $\sigma (n)\geq 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$ 過剰数または完全数（つまり、その真の約数がすべて不足数である数）の倍数ではない過剰数を、原始過剰数と呼びます。

完全数とは異なり、偶数と奇数の過剰数が存在することが知られています。最小の奇数の過剰数は945です。 ^{[ 7 ]}^{[ 3 ]}^{： 199}したがって、各偶奇性に対して無限に多くの過剰数が存在します。2または3で割り切れない最小の過剰数は5391411025です。その異なる素因数は5、7、11、13、17、19、23、29です。2005年にIannucciによって示されたアルゴリズムは、最初のk個の素数で割り切れない最小の過剰数（OEISのシーケンスA047802 ）を見つける方法を示しています。^[⁸^] $A(k)$ 最初のk個の素数で割り切れない最小の過剰数を表す場合、すべての $\epsilon >0$ 我々は持っています $(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$ kが十分に大きい場合。

過剰数の集合はゼロでない自然密度を持ちます。つまり、 $N が大きくなるにつれて、$ $N$ より小さい自然数のうち過剰数の割合は一定値に近づきます。この極限の割合は 0.2476171 から 0.2476475 の間にあります。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

連続する過剰数の最初のペアは (5775, 5776) であり、連続する過剰数の最初の3つ組は (171078830, 171078831, 171078832) である。^{[ 12 ]} $E(n)$ 連続する過剰数の最長連の長さで、以下を超えないものとする。 $n$ ポール・エルデシュ（1935年）は、2つの定数が存在することを示した。 $c_{1},c_{2}$ そのため $c_{1}\log \log \log n\leq E(n)\leq c_{2}\log \log \log n$ 十分に大きいすべての $n$ [ ¹³^]実際、^限界 $\lim _{n\to \infty }{\dfrac {E(n)}{\log \log \log n}}$ 値が存在し、その値は3.24から3.54の間にある。^{[ 14 ]}

20161より大きいすべての整数は、2つの過剰数の和として表すことができます。 ^{[ 3 ]}^{: 273} 2つの過剰数の和ではない最大の偶数は46です。^{[ 15 ]}

関連概念

真約数の和がその数自身に等しい数（例えば6や28）は完全数と呼ばれ、^{[ 4 ]}^{: 11}^{[ 1 ]}^{: 84}一方、真約数の和がその数自身より小さい数は不足数と呼ばれます。^{[ 4 ]}^{: 185}^{[ 1 ]}^{: 84}数を不足数、完全数、過剰数に分類した最初の例は、ニコマコスが『算術入門』（紀元100年頃）で、またスミルナのテオンが『プラトンの理解に役立つ数学について』（紀元100年頃）で行ったものです。 ^{[ 16 ]}^{: 74}^{[ 6 ]}^{: 128}

$n$ の豊富度指数は、 $σ$ $($ $n$ $)/$ $n$ の比率です。^[¹^]^:⁸⁴豊富度指数がそれより小さいどの数よりも大きい数は、超豊富数と呼ばれます ( OEISのシーケンスA004394 )。^[¹^]^:⁸⁸同じ豊富度指数を持つ異なる数n ₁、n _{2 、 ... (豊富かどうかに関わらず) は、}フレンドリー数と呼ばれます。

σ ( n ) > knとなる最小の数nの数列 ( a _k )は、a ₂ = 12 が最初の過剰数に対応し、非常に速く増加します( OEISの数列A134716 )。過剰指数が 3 を超える最小の奇数は 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29です。 ^[¹⁷^]

p = ( p ₁ , ..., p _n ) が素数のリストである場合、 pに含まれる素数のみで構成される整数が過剰である場合、p は過剰であると呼ばれます。このための必要十分条件は、数の積が ${\frac {p_{k}}{p_{k}-1}}$ 2より大きい値である。^{[ 18 ]}

数 $n$ の約数 (n 自身を含む) の合計が、それより小さい任意の自然数の約数の合計よりも大きい場合、n は非常に多い数と呼ばれます。

半完全数ではない過剰数は、奇数と呼ばれる。^{[ 6 ]}^{： 144}過剰数が1の過剰数は準完全数と呼ばれる。準完全数が存在するかどうかは不明である。

参考文献

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外部リンク

プライム用語集：豊富な数
PlanetMathには豊富な数があります。

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多数

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