ヒッグス機構

素粒子物理学の標準モデルでは、ヒッグス機構はゲージボソンの「質量」特性の生成メカニズムを説明するために不可欠です。ヒッグス機構がなければ、すべてのボソン（2種類の粒子のうちの1つで、もう1つはフェルミオン）は質量がないと考えられますが、測定により、W ⁺、W ⁻、およびZ ⁰ボソンは実際には約80 GeV/ c ²という比較的大きな質量を持っていることが示されています。ヒッグス場はこの難問を解決します。このメカニズムの最も単純な説明は、標準モデルに量子場（ヒッグス場）を追加するもので、これは空間全体に浸透します。ある極めて高い温度以下では、この場は相互作用中に自発的に対称性の破れを引き起こします。対称性の破れによりヒッグス機構がトリガーされ、相互作用するボソンに質量が生じます。標準モデルでは、「ヒッグス機構」という用語は、電弱対称性の破れによるW ^±およびZ弱ゲージボソンの質量生成を具体的に指します。 ^[1] CERNの大型ハドロン衝突型加速器は、2013年3月14日にヒッグス粒子と一致する結果を発表しました。これにより、ヒッグス場、またはそれに似た場が存在する可能性が非常に高くなり、ヒッグス機構が自然界でどのように発生するかが説明されます。

ヒッグス機構がゲージ対称性の自発的な破れを伴うという見解は、エリツァーの定理によればゲージ対称性が自発的に破れることは決してないので、技術的には正しくありません。むしろ、フレーリッヒ・モルキオ・ストロッキ機構はヒッグス機構を完全にゲージ不変な方法で再定式化し、一般的に同じ結果をもたらします。^[2]

このメカニズムは、1950年代後半の超伝導における対称性の破れに関する研究と、その素粒子物理学への応用を議論した1960年の南部陽一郎の論文を受けて、1962年に^{フィリップ}・ウォーレン・アンダーソンによって提案されました[3] 。

1964年に、ゲージ理論を「破る」ことなく質量生成を最終的に説明できる理論が、3つの独立したグループによってほぼ同時に発表されました。ロバート・ブラウトとフランソワ・アングレール^[4]、ピーター・ヒッグス^[5]、ジェラルド・グラルニク、CRハーゲン、トム・キブル^[ 6]です。^{[7] [} 8]そのため、ヒッグス機構は、ブラウト・アングレール・ヒッグス機構、またはアングレール・ブラウト・ヒッグス・グラルニク・ハーゲン・キブル機構[ ^9]、アンダーソン・ヒッグス機構^[10]、アンダーソン・ヒッグス・キブル機構^{[11] 、}アブドゥス・サラムによるヒッグス・キブル機構^[12]、およびピーター・ヒッグスによるABEGHHK'tH機構（アンダーソン、ブラウト、アングレール、グラルニク、ハーゲン、ヒッグス、キブル、および'tホーフトの頭文字）とも呼ばれています。^[12]電気力学におけるヒッグス機構は、エバリー氏とライス氏によって独立して、人工的に変位した電磁場がヒッグス場として作用することで「ゲージ」ディラック場の質量が増加するという逆説的にも発見された。^[13]

2013年10月8日、欧州原子核研究機構（CERN）の大型ハドロン衝突型加速器で、理論で予測されていたヒッグス粒子と思われる新粒子が発見されたことを受けて、ピーター・ヒッグスとフランソワ・アングレールが2013年のノーベル物理学賞を受賞したことが発表された。^{[a] [14]}

ヒッグス機構はスティーブン・ワインバーグとアブドゥス・サラムによって現代の素粒子物理学に組み込まれ、標準モデルの重要な部分となっています。

標準モデルでは、電弱対称性が破れないほど高い温度では、すべての素粒子は質量がない。臨界温度では、ヒッグス場は真空期待値を持つ。いくつかの理論では、対称性はタキオン凝縮によって自発的に破れ、WボソンとZボソンは質量を獲得する（「電弱対称性の破れ」またはEWSBとも呼ばれる）と示唆している。宇宙の歴史において、これはホットビッグバンの約1ピコ秒 （10 ⁻¹²秒）後に、宇宙の温度が159.5 ± 1.5  GeVのときに起こったと考えられている。^[15]

標準モデルのレプトンやクォークなどのフェルミオンも、ヒッグス場との相互作用の結果として質量を獲得することができますが、ゲージボソンと同じ方法ではありません。

標準モデルでは、ヒッグス場はSU (2) 二重項（つまり、アイソスピンと呼ばれる2つの複雑な成分を持つ標準表現）であり、ローレンツ変換の下ではスカラーである。その電荷はゼロであり、その弱いアイソスピンは⁠1/2⁠そして弱いアイソスピンの3番目の成分は − ⁠1/2⁠ ; その弱い超電荷（任意の乗法定数まで定義されるU (1)ゲージ群の電荷）は1 です。U (1) 回転では、位相が乗算され、複素スピノルの実部と虚部が互いに混合され、U (2) 群の標準的な 2 成分複素表現に結合されます。

ヒッグス場は、そのポテンシャルによって指定（要約、表現、またはシミュレート）される相互作用を通じて、ゲージ群U (2) の 4 つの生成元（「方向」）のうち 3 つの自発的な破れを引き起こします。これは、対角位相因子が他の場、特にクォークにも作用するため、 SU (2) _L × U (1) _Yと表記されることが多いです（厳密に言えば、無限小対称性のレベルでのみ同じです） 。その 4 つの成分のうち 3 つは、ゲージ場に結合されていなければ、 通常はゴールドストーン粒子として分解されます。

しかし、対称性が破れた後、ヒッグス場の4つの自由度のうちの3つは、3つのWボソンとZボソン（
わ⁺
、
わ⁻
そして
ず⁰
）であり、これらの弱いボソンの成分としてのみ観測可能であり、これらが含まれることで質量が増し、残った唯一の自由度が新しいスカラー粒子、すなわちヒッグス粒子になる。ゴールドストーンボソンと混ざらない成分は質量のない光子を形成する。

標準モデルの電弱部分のゲージ群はSU (2) L × U (1) Yである。SU ( 2 )_群は単位行列_式を持つすべての2行2列のユニタリ行列の群であり、複素2次元ベクトル空間におけるすべての正規直交座標変換である。

座標を回転させて第2基底ベクトルがヒッグス粒子の方向を指すようにすると、Hの真空期待値は_スピノル( 0, v )_となる。x 、y、z軸周りの回転の生成子はパウリ行列σx、σy、σz_の半分であり、z軸周りの角度θの回転により真空は

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

T _x と T _{yジェネレータは}スピノル の上部と下部の成分を混ぜますが 、 T _{z回転はそれぞれ反対の位相で乗算するだけです。この位相は、角度}⁠のU (1) 回転 によって元に戻すことができます。  1 / 2 ⁠ θ。その結果、 SU (2) T _z回転とU (1) 回転の 両方において、 ⁠  1 / 2 ⁠ θ、真空は不変です。

この発電機の組み合わせ

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

はゲージ群の切れ目のない部分を定義する。ここで、Qは電荷、T _3はSU (2) の随伴表現 における 3 軸周りの回転の生成子、 Y _WはU (1)の弱い超電荷生成子である。この生成子の組み合わせ ( SU (2)の3回転と、同時に半角のU (1) 回転) は真空を保存し、標準モデルの切れ目のないゲージ群、つまり電荷群を定義する。この方向のゲージ場の部分は質量がなく、物理的な光子に相当する。対照的に、切れ目のないトレース直交電荷は質量のある${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$
ず⁰
 ボソン。

自発的な対称性の破れの導入にもかかわらず、質量項はカイラルゲージ不変性を妨げます。これらの場については、質量項は常にゲージ不変の「ヒッグス」メカニズムに置き換えられるべきです。1つの可能性は、フェルミオン場ψとヒッグス場φの間の何らかの湯川結合（以下を参照）であり、結合G _{ψ は}不明です。これは、対称性の破れ後（より正確には、適切な基底状態の周りのラグランジュ密度の展開後）に再び元の質量項をもたらしますが、今度は（つまり、ヒッグス場の導入により）ゲージ不変な方法で記述されます。フェルミオン場ψとヒッグス場φの湯川相互作用のラグランジュ密度は、

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

ここでも、ゲージ場A はゲージ共変微分演算子D _μを介してのみ入ります（つまり、間接的にのみ可視です）。量γ _{μ は}ディラック行列であり、G _{ψ は}ψのすでに述べた湯川結合パラメータです。ここで、質量生成は上記と同じ原理、つまり有限の期待値の存在に従います。これもまた、特性質量の存在にとって重要です。 ${\displaystyle \ |\langle \phi \rangle |~.}$

自発的対称性の破れは、相対論的量子場理論にボソンを導入する枠組みを提供した。しかし、ゴールドストーンの定理によれば、これらのボソンは質量がないはずである。^[16]ゴールドストーンボソンとして近似的に解釈できる唯一の観測粒子はパイオンであり、南部陽一郎はこれをカイラル対称性の破れと関連付けた。

同様の問題がヤン・ミルズ理論（非アーベルゲージ理論としても知られる）でも生じる。この理論は、質量がなくスピン-1 のゲージボソンを予測する。質量がなく弱く相互作用するゲージボソンは長距離力をもたらすが、これは電磁気学とそれに対応する質量のない光子に対してのみ観測される。弱い力のゲージ理論は、一貫性を保つために質量のあるゲージボソンを記述する方法を必要としていた。

ゲージ対称性の破れが質量のない粒子をもたらさないことは、1961年にジュリアン・シュウィンガーによって観察されたが^[17]、彼は質量のある粒子が最終的に生じることを証明しなかった。これはフィリップ・ウォーレン・アンダーソンの1962年の論文^[3]で行われたが、非相対論的場の理論においてのみ行われ、粒子物理学への影響についても議論されたが、明示的な相対論的モデルは構築されなかった。相対論的モデルは1964年に3つの独立したグループによって開発された。

• ロバート・ブラウトとフランソワ・アングラール^[4]
• ピーター・ヒッグス^[5]
• ジェラルド・グラルニック、カール・リチャード・ハーゲン、トム・キブル。^{[6] [7] [8]}

その後少し経って1965年に、他の論文^{[18] [19] [20] [21] [22] [23]}とは独立して、このメカニズムは当時ソ連の学部生であったアレクサンダー・ミグダルとアレクサンダー・ポリャコフ^[24]によっても提案された。しかし、彼らの論文はJETP編集部によって遅れ、1966年に遅れて出版された。

このメカニズムは、南部陽一郎が以前に発見した、超伝導における量子場の「真空構造」に関わる現象と非常によく似ている。^[25]類似しているが異なる効果（現在ヒッグス場として認識されているもののアフィン実現を含む）は、シュテッケルベルク機構として知られ、以前にエルンスト・シュテッケルベルクによって研究されていた。

これらの物理学者は、ゲージ理論が、対称性群を自発的に破る追加の場と組み合わされると、ゲージ粒子が一貫して非ゼロの質量を獲得できることを発見しました。大きな値が含まれているにもかかわらず（下記参照）、これにより、 1967年にスティーブン・ワインバーグとアブドゥス・サラムが独立に開発した弱い力のゲージ理論記述が可能になります。ヒッグスがこのモデルを提示した最初の論文は、 Physics Lettersに拒否されました。Physical Review Lettersに再提出する前に論文を改訂したとき、彼は最後に、^{[26]対称性群の完全な}表現を形成しない1つ以上の新しい質量のあるスカラー粒子の存在を意味することを述べた文章を追加しました。これらがヒッグス粒子です。

ブロウトとエングラー、ヒッグス、グラルニク、ハーゲン、キブルによる3つの論文は、2008年にフィジカル・レビュー・レターズ誌でそれぞれ「マイルストーンレター」として認められました。 ^{[27]これらの独創的な論文はどれも同様のアプローチをとっていますが、} 1964年のPRL対称性の破れの論文の貢献と違いは注目に値します。この研究により、6人の物理学者全員が2010年のJJサクライ理論素粒子物理学賞を共同で受賞しました。^[28]

ベンジャミン・W・リーは「ヒッグスのような」メカニズムに初めて名前を付けた人物としてよく知られていますが、これがいつ最初に起こったかについては議論があります。^{[29] [30] [31]}ヒッグスの名前が印刷物に初めて登場したのは、1972年、ジェラルドゥス・トホーフトとマルティヌス・JG・フェルトマンがノーベル賞を受賞した論文の中でそれを「ヒッグス・キブルメカニズム」と呼んだときでした。^{[32] [33]}

提案されたヒッグス機構は、超伝導の観測を説明するために提案された理論の結果として生まれました。超伝導体は外部磁場の侵入を許しません（マイスナー効果）。この奇妙な観測は、この現象の間、電磁場が何らかの形で短距離になることを示唆しています。1950年代に、これを説明するための成功した理論が最初にフェルミオン（ギンツブルグ・ランダウ理論、1950年）、次にボソン（BCS理論、1957年）に対して生まれました。

これらの理論では、超伝導は荷電凝縮体から生じると解釈される。最初、凝縮体の値には優先方向がない。これはそれがスカラーであることを意味するが、ゲージベースの場の理論では、その位相がゲージを定義できる。これを行うには、場が荷電されている必要がある。荷電スカラー場は複素数でもある必要がある（または別の言い方をすれば、少なくとも 2 つの成分と、それぞれを他の成分に回転させることができる対称性を含む）。素朴なゲージ理論では、凝縮体のゲージ変換は通常、位相を回転させる。しかし、これらの状況では、代わりに好ましい位相の選択を固定する。しかし、凝縮体がどこでも同じ位相を持つようにゲージの選択を固定すると、電磁場が余分な項を得ることにもなる。この余分な項により、電磁場は短距離になる。

ゴールドストーンの定理も、このような理論で役割を果たします。技術的には、凝縮体が対称性を破ると、対称性生成器を凝縮体に作用させて到達した状態は、以前と同じエネルギーを持ちます。これは、ある種の振動ではエネルギーの変化が伴わないことを意味します。エネルギーが変化しない振動は、振動に関連する励起 (粒子) が質量がないことを意味します。

素粒子物理学においてこの理論に注目が集まると、類似点は明らかになった。ゲージ不変理論において、通常は長距離の電磁場を短距離に変化させることは、まさに弱い力のボソンに求められる効果だった（長距離の力には質量のないゲージボソンがあり、短距離の力には質量のあるゲージボソンが伴うため、この相互作用の結果、場のゲージボソンが質量を獲得した、または類似の同等の効果を持つことが示唆される）。これを実現するために必要な場の特性も非常に明確に定義されており、少なくとも 2 つの成分を持つ荷電スカラー場でなければならず、これらを互いに回転させることができる対称性をサポートするために複雑でなければならない。

ヒッグス機構は、荷電場が真空期待値を持つときに必ず発生します。非相対論的な文脈では、これは超伝導体であり、正式には荷電ボーズ・アインシュタイン凝縮体のランダウモデルとして知られています。相対論的凝縮体では、凝縮体は相対論的に不変なスカラー場です。

ヒッグス機構は真空中で発生する超伝導の一種です。空間全体が荷電粒子の海で満たされているとき、または場の用語で言えば、荷電場が非ゼロの真空期待値を持つときに発生します。空間を満たす量子流体との相互作用により、特定の力が長距離にわたって伝播するのを防ぎます（超伝導体内で起こるように。たとえば、ギンツブルグ・ランダウ理論の場合）。

超伝導体はその内部からすべての磁場を放出します。これはマイスナー効果として知られる現象です。これは長い間謎でした。なぜなら、超伝導体内部では電磁力が何らかの形で短距離になることを意味するからです。これを通常の金属の挙動と比較してみましょう。金属では、導電性により表面の電荷が再配置され、内部で全磁場が打ち消されるまで電界が遮蔽されます。

しかし、磁場はどんな距離でも浸透することができ、磁気単極子(孤立した磁極) が金属で囲まれている場合、磁場は弦に収束することなく逃げることができます。しかし、超伝導体では、電荷は散逸することなく移動するため、表面電荷だけでなく、永久的な表面電流が発生します。磁場が超伝導体の境界に導入されると、磁場を正確に中和する表面電流が発生します。

マイスナー効果は薄い表面層の電流によって発生し、その厚さは超伝導を帯電ボーズ・アインシュタイン凝縮体として扱うギンツブルグ・ランダウ理論の単純なモデルから 計算できます。

超伝導体に電荷qを持つボソンが含まれているとします 。ボソンの波動関数は量子場を導入することで記述でき、これは場の方程式としてシュレーディンガー方程式に従います。換算プランク定数ħが 1 に設定されている 単位では、次のようになります。${\displaystyle \ \psi \ ,}$

${\displaystyle \ i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

演算子は点xでボソンを消滅させ、その随伴作用素は同じ点に新しいボソンを生成します。ボーズ・アインシュタイン凝縮体の波動関数は、同じ方程式に従う古典関数の期待値です。期待値の解釈は、凝縮体に既に存在する他のすべてのボソンとコヒーレントに重ね合わせるために、新しく生成されたボソンに与える位相であるということです。 ${\displaystyle \ \psi (x)\ }$${\displaystyle \ \psi ^{\dagger }\ }$ ${\displaystyle \ \langle \psi \rangle \ }$${\displaystyle \ \psi (x)\ ,}$

荷電凝縮体がある場合、電磁相互作用は遮蔽されます。これを確認するには、ゲージ変換が場に与える影響を考えてみましょう。ゲージ変換は、凝縮体の位相を点ごとに変化する量だけ回転させ、ベクトルポテンシャルを勾配だけシフトさせます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\\\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}}$

凝縮体がない場合、この変換は各点における位相の定義を変更するだけです。しかし、凝縮体がある場合、凝縮体の位相によって位相の優先選択が定義されます。 ${\displaystyle \ \psi \ }$

凝縮波動関数は次のように書ける。

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

ここで、ρ は実振幅であり、凝縮体の局所密度を決定します。凝縮体が中性であれば、流れはθの勾配、つまりシュレーディンガー場の位相が変化する方向に沿って進みます。位相θがゆっくり変化すると、流れは遅くなり、エネルギーはほとんどなくなります。しかし、ゲージ変換を行って場の位相を回転させるだけで、 θ をゼロにすることができます。

ゆっくりとした位相変化のエネルギーはシュレーディンガーの運動エネルギーから計算できる。

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

凝縮体の密度ρを一定とすると、

${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$

凝縮体がどこでも同じ位相を持つようにゲージの選択を固定すると、電磁場エネルギーには追加の項があり、

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

この項が存在する場合、電磁相互作用は短距離になります。すべてのフィールドモードは、波長がどれだけ長くても、非ゼロ周波数で振動します。最低周波数は、長波長Aモードのエネルギーから読み取ることができます。

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

これは周波数の調和振動子です

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

この量は超伝導粒子の凝縮体の密度です。 ${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$

実際の超伝導体では、荷電粒子は電子であり、これはボソンではなくフェルミオンです。したがって、超伝導性を持つためには、電子は何らかの方法でクーパー対に結合する必要があります。したがって、凝縮体の電荷qは、電子電荷-eの2倍になります。通常の超伝導体でのペアリングは格子振動によるもので、実際には非常に弱いです。つまり、ペアは非常に緩く結合しています。緩く結合したペアのボーズ-アインシュタイン凝縮体の記述は、実際には素粒子の凝縮体の記述よりも難しく、1957年にジョン・バーディーン、レオン・クーパー、ジョン・ロバート・シュリーファーによって有名なBCS理論で初めて解明されました。

ゲージ不変性とは、ゲージ場の特定の変換によってエネルギーがまったく変化しないことを意味します。任意の勾配がAに追加されても、場のエネルギーはまったく同じです。これにより、質量項を追加することが難しくなります。質量項は場を値 0 に近づける傾向があるためです。しかし、ベクトル ポテンシャルのゼロ値はゲージ不変の考え方ではありません。あるゲージでゼロであるものは、別のゲージではゼロではありません。

したがって、ゲージ理論に質量を与えるには、凝縮によってゲージ不変性を破る必要があります。凝縮によって優先位相が定義され、凝縮の位相によってゲージ不変な方法で場のゼロ値が定義されます。ゲージ不変の定義は、平行輸送からの任意の経路に沿った位相変化が凝縮波動関数の位相差に等しい場合、ゲージ場がゼロになるというものです。

凝縮値は、ギンツブルグ・ランダウ模型の場合と同様に、期待値を持つ量子場によって記述されます。

真空の位相がゲージを定義するためには、場は位相（「荷電される」とも呼ばれる）を持たなければなりません。スカラー場Φ が位相を持つためには、複素数であるか、または（同等に）互いに回転する対称性を持つ 2 つの場を含んでいる必要があります。ベクトル ポテンシャルは、場が点から点へ移動するときに、場によって生成される量子の位相を変更します。場に関して言えば、近くの点で場の値を比較するときに、場の実数部と虚数部を互いにどれだけ回転させる必要があるかを定義します。

複素スカラー場 Φが非ゼロ値をとる唯一の再正規化可能なモデルは 「メキシカンハット」モデルであり、このモデルでは場のエネルギーはゼロから離れたところで最小値を持つ。このモデルの作用は

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

結果はハミルトニアン

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

最初の項は、場の運動エネルギーです。2 番目の項は、場が点ごとに変化するときの余分な位置エネルギーです。3 番目の項は、場が任意の大きさを持つときの位置エネルギーです。

このポテンシャルエネルギー、すなわちヒッグスポテンシャル^[34]は、メキシカンハットのようなグラフを描くことからこのモデルの名前が付けられている。特に、エネルギーの最小値はz = 0ではなく、zの大きさがΦである点の円上にある。${\displaystyle ~V\left(z,\Phi \right)=\lambda \left(\left|z\right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$

場Φ( x )が電磁力と結合していないとき、メキシカンハットポテンシャルは平坦な方向を持ちます。真空円のどこか1つから始めて、点から点へと場の位相を変えるのにかかるエネルギーは非常にわずかです。数学的には、

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

定数の前因子を用いると、場θ ( x )に対する作用、すなわちヒッグス場Φ( x )の「位相」には微分項のみが含まれる。これは驚くことではない。定数をθ ( x )に加えることは元の理論の対称性であり、したがって θ ( x ) の異なる値は異なるエネルギーを持つことはできない。これは、ゴールドストーンの定理に準拠するようにモデルを構成する例である。自発的に破れた連続対称性は（通常）質量のない励起を生成する。

アーベルヒッグス模型は、電磁気学と結合したメキシカンハット模型である。

${\displaystyle \ S(\phi ,A)=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial -iqA\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

古典的な真空は再びポテンシャルの最小値にあり、複素場φの大きさはΦに等しくなります。しかし、ゲージ変換によって変化するため、場の位相は任意です。つまり、場はゲージ変換によってゼロに設定でき、実際の自由度をまったく表さない ということです。${\displaystyle \ \theta (x)\ }$

さらに、真空の位相が固定されているゲージを選択すると、ベクトル場の変動に対する位置エネルギーはゼロではなくなります。そのため、アーベルヒッグスモデルでは、ゲージ場は質量を持ちます。質量の大きさを計算するには、凝縮体の位相が一定であるゲージ内のx方向のベクトルポテンシャルAの一定値を考えます。これは、ベクトルポテンシャルがゼロであるゲージ内の正弦波状に変化する凝縮体と同じです。A がゼロであるゲージでは、凝縮体の位置エネルギー密度はスカラー勾配エネルギーです。

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

このエネルギーは質量項と同じである⁠ 1/2⁠ m ² A ² ただしm = q Φ。

非可換ヒッグス模型は次のような作用を持つ。

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

ここで、非アーベル体A は共変微分Dとテンソル成分に含まれます( Aとそれらの成分の関係はヤン・ミルズ理論からよく知られています)。 ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

これは、アーベルヒッグスモデルとまったく同じです。ここで、場はゲージ群の表現であり、ゲージ共変微分は、ゲージ場 A を接続とし​​て使用して、場の変化率から平行輸送による変化率を引いた値によって定義されます。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

再び、 の期待値は真空が一定である好ましいゲージを定義し、このゲージを固定すると、ゲージ場Aの変動にはゼロ以外のエネルギーコストが伴います。 ${\displaystyle \phi }$

スカラー場の表現によっては、すべてのゲージ場が質量を持つわけではありません。簡単な例としては、ジュリアン・シュウィンガーによる初期の電弱模型の繰り込み可能なバージョンがあります。このモデルでは、ゲージ群はSO (3) (またはSU (2) − モデルにはスピノル表現はありません) であり、ゲージ不変性は長距離でU (1) またはSO (2) に分解されます。ヒッグス機構を使用して矛盾のない繰り込み可能なバージョンを作成するには、 SO (3)のベクトル (3 重項) として変換されるスカラー場を導入します。この場が真空期待値を持つ場合、場空間内のある方向を指します。一般性を失うことなく、場空間のz軸を が指している方向として選択すると、 の真空期待値は(0, 0, Ã )になります。ここで、Ã は質量の次元 ( ) を持つ定数です。${\displaystyle \phi ^{a}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle c=\hbar =1}$

z軸の周りの回転は、の真空期待値を保存するSO (3) のU (1) サブグループを形成し、これが切れ目のないゲージ群です。x軸とy軸の周りの回転は真空を保存せず、これらの回転を生成するSO (3) ゲージ場の成分は質量のあるベクトル中間子になります。シュウィンガーモデルには、質量スケールÃによって設定される質量を持つ 2 つの質量のある W 中間子と、光子に似た 質量のない 1 つのU (1) ゲージボソンがあります。${\displaystyle \phi }$

シュウィンガーモデルは、電弱統一スケールでの磁気単極子を予測しますが、Z ボソンを予測しません。自然界のように電弱対称性を適切に破ることはありません。しかし、歴史的には、これに似たモデル (ただしヒッグス機構は使用しない) が、弱い力と電磁力が統一された最初のモデルでした。

エルンスト・シュテッケルベルクは、質量を持つ光子を用いた量子電磁力学の理論を解析することで、ヒッグス機構の一種を発見した^{[35] 。事実上、}シュテッケルベルクのモデルは、通常のメキシカンハットアーベルヒッグスモデルの極限であり、真空期待値Hが無限大になり、ヒッグス場の電荷がゼロになるため、それらの積は一定のままである。ヒッグス粒子の質量はHに比例するため、ヒッグス粒子は無限大の質量になり、分離するため、議論には含まれない。しかし、ベクトル中間子の質量は積eHに等しく、有限のままである。

その解釈は、U (1)ゲージ場が量子化された電荷を必要としない場合、ヒッグス振動の角度部分のみを保持し、動径部分を破棄することが可能であるというものである。ヒッグス場の角度部分θには、次のゲージ変換法則がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha ~.\end{aligned}}}$

角度のゲージ共変微分（実際にはゲージ不変）は次のようになります。

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH~.}$

この極限でθ の変動を有限かつ非ゼロに保つには、 θ をHで再スケールし、作用における運動項が正規化されたままになるようにする必要があります。シータ場の作用は、メキシカンハット作用から次のように読み取られます。${\displaystyle \ \phi =He^{i\theta /H}~.}$

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

eH はゲージボソンの質量だからである。 θ = 0に設定するゲージ変換を行うことで、作用におけるゲージの自由度は排除され、作用は質量のあるベクトル場の作用となる。

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

任意の小さな電荷を持つためには、U (1) が乗算の下での単位複素数の円ではなく、加算の下での実数Rであることが必要であり、これはグローバル トポロジーにおいてのみ異なります。このようなU (1) グループは非コンパクトです。フィールドθは、ゲージ グループのアフィン表現として変換されます。許容されるゲージ グループの中で、非コンパクトなU (1) のみがアフィン表現を許容し、電荷の量子化が極めて高い精度で成り立つため、電磁気学のU (1) は実験的にコンパクトであることが知られています。

このモデルにおけるヒッグス凝縮体は電荷が極めて小さいため、ヒッグス粒子との相互作用は電荷保存則に違反しません。質量を持つ光子を持つ量子電気力学の理論は、電荷が保存されるが磁気単極子は許されない、依然として繰り込み可能な理論です。非アーベルゲージ理論ではアフィン限界はなく、ヒッグス振動はベクトルよりも質量が大きすぎることはありません。

• 電磁質量
• ヒッグス束
• 量子の些細さ
• ワインベルグ角
• ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式

• シュム、ブルース A. (2004)。『Deep Down Things』。メリーランド州ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局。第 9 章。ISBN 9780801879715。
• キブル、トム WB (2009)。 「イングラート – ブルート – ヒッグス – グラルニク – ハーゲン – キブルのメカニズム」。スカラーペディア。4 (1): 6441。書誌コード:2009SchpJ...4.6441K。土井：10.4249/scholarpedia.6441。
• Organtini, Giovanni (2016). 「学部生のためのヒッグス機構」.原子核および粒子物理学会報. 273– 275. Elsevier : 2572– 2574. Bibcode :2016NPPP..273.2572O. doi : 10.1016/j.nuclphysbps.2015.09.463 . hdl : 11573/1072015 .

• テキストには載っていない、多くの重要な関係の段階的な導出を伴う電弱対称性の破れの教育的入門については、「電弱対称性の破れ」(PDF)を参照してください 。quantumfieldtheory.info。
• Guralnik, GS; Hagen, CR; Kibble, TWB (1964). 「グローバル保存則と質量のない粒子」. Physical Review Letters . 13 (20): 585– 587. Bibcode :1964PhRvL..13..585G. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
• Mark D.、Roberts (1999)。「一般化されたヒッグスモデル」。arXiv : hep -th/9904080。
• Fermi, Fred (2010)。桜井賞 – 全イベント (ビデオ) – YouTube 経由。
• ウェインバーグ (テキサス大学オースティン校)、スティーブン (2008 年 1 月 21 日)。「BCS から LHC へ」。CERN Courier。
• Weinberg, Steven (2009-06-11)。ヒッグス、暗黒物質、超対称性: 大型ハドロン衝突型加速器が教えてくれること (ビデオ)。Zl4W3DYTIKw – YouTube 経由。
• グラルニック、ジェリー。グラルニックがブラウン大学で 1964 年の PRL 論文について講演 (ビデオ)。WLZ78gwWQI0 – YouTube 経由。
• Guralnik, Gerald (2013 年 3 月)。「素粒子物理学の標準モデルの礎を築いた異端の考え」。SPG Mitteilungen (39): 14。2013 年 10 月 15 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年 5 月 23 日閲覧。
• 「スティーブン・ワインバーグ、ヒッグス粒子理論のチームを称賛」。2008年4月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「50周年記念のマイルストーン論文」。Physical Review Letters。2014年2月12日。
• 「PRL 50 周年記念マイルストーン ペーパー」。インペリアル カレッジ ロンドン。2008 年 6 月 13 日。
• キブル、トム (2009)。 「イングラート – ブルート – ヒッグス – グラルニク – ハーゲン – キブルのメカニズム」。スカラーペディア。4 (1): 6441。書誌コード:2009SchpJ...4.6441K。土井：10.4249/scholarpedia.6441。
• キブル、トム (2009)。 「エングラート – ブルート – ヒッグス – グラルニク – ハーゲン – キブルのメカニズム (歴史)」。スカラーペディア。4 (1): 8741。書誌コード:2009SchpJ...4.8741K。土井：10.4249/scholarpedia.8741。
• 「テバトロンにおけるヒッグス粒子の探索」(PDF)。
• グリースト、キム。「空の空間の謎 - UCSD 物理学者キム・グリーストによる講義 (43 分) (ビデオ)」。カリフォルニア大学テレビ。Y-vKh_jKX7Q - YouTube 経由。