ハッセ・ワイルのゼータ関数

数学において、代数体 K 上で定義された代数多様体Vに付随するハッセ・ヴェイユ ゼータ関数は、各素数pを法として多様体上の点の数で定義される複素平面上の有理型関数である。これは、局所ゼータ関数のオイラー積として定義される大域的L関数である。

ハッセ・ワイルL関数は、保型表現に関連付けられたL関数と並んで、大域L関数の2つの主要なクラスの1つを形成します。推測では、これら2種類の大域L関数は、実際には同じ種類の大域L関数の2つの記述であると考えられています。これは、数論における重要な結果である谷山・ワイル予想の大幅な一般化となります。

数体K上の楕円曲線の場合、ハッセ・ワイルのゼータ関数は、バーチとスウィンナートン・ダイアーの予想により、K上の楕円曲線の有理点群と関連付けられると予想されている。

ハッセ・ワイルのゼータ関数をオイラー積の有限個の因子まで含めて記述することは比較的簡単です。これは、 Vが一点である場合に得られるリーマンゼータ関数に触発されたヘルムート・ハッセとアンドレ・ワイルの最初の提案に基づいています。^{[ 1 ]}

有理数体Kの場合を考えてみよう。${\displaystyle \mathbb {Q} }$、そしてV は非特異射影多様体であり、ほとんどすべての素数pに対して、 Vの法pによる還元、有限体上の代数多様体V _{p である。}$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$p個の要素 ( Vのp法方程式を縮小することによって定義される)を持つ。ここでも、ほとんどすべてのpに対して、射影的で非特異となる。複素変数sのディリクレ級数を定義する。

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)=\prod _{p}Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),}$

これは局所ゼータ関数の無限積である。

${\displaystyle Z_{V\!,\,p}(p^{-s})=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(p^{-s})^{k}\right)}$

ここで、N _kは有限体拡張上で定義されたVの点の数である。$\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$の$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$。

これ${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)}$は、有理関数による乗算を除いてのみ明確に定義されます。${\displaystyle p^{-s}}$有限個の素数pに対して。

不確定性は比較的無害であり、あらゆる場所で有理型連続性を持つため、 Z(s)の性質は本質的にそれに依存しないという意味があります。特に、複素平面上の垂直線に反射するZ ( s )の関数方程式の正確な形式は、確かに「欠落している」因子に依存しますが、そのような関数方程式の存在自体は依存しません。

エタールコホモロジーの発展により、より洗練された定義が可能になりました。これは、欠落している「悪い還元」因子をどう扱うべきかを簡潔に説明しています。分岐理論に見られる一般的な原理によれば、「悪い」素数は良い情報を持っています（導手理論） 。これは、エタール理論において、良い還元に関するネロン・オッグ・シャファレビッチ基準に現れます。すなわち、 Vのエタールコホモロジー群上のガロア表現ρ が非分岐であるすべての素数pに対して、明確な意味で良い還元が存在するということです。これらの場合、局所ゼータ関数の定義は、特性多項式を用いて復元できます。

${\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p)),}$

Frob( p ) はpのフロベニウス元である。分岐したpで何が起こるかというと、ρ はpの慣性群I ( p )上で非自明である。これらの素数では、慣性群が作用する表現 ρ の最大の商を自明な表現で取ることにより、定義を「修正」する必要がある。この改良により、 Z ( s )の定義は「ほとんどすべての」 pからオイラー積に参加するすべてのpにうまくアップグレードできる。関数方程式への影響は、1960 年代後半にSerreとDeligneによって解明されたが、関数方程式自体は一般には証明されていない。

ハッセ・ワイル予想は、ハッセ・ワイルゼータ関数がすべての複素数sに対して有理型関数に拡張され、リーマンゼータ関数と同様の関数方程式を満たすべきであると述べている。有理数上の楕円曲線については、ハッセ・ワイル予想はモジュラリティ定理から導かれる^{[ 2 ]} ：有理数上の各楕円曲線E は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$モジュール式です。

バーチとスウィンナートン＝ダイアー予想は、楕円曲線Eの点のアーベル群E ( K )のランクは、ハッセ＝ヴェイユL関数L ( E , s )のs = 1 における零点の位数であり、s = 1 におけるL ( E , s )のテイラー展開の最初の非零係数は、K 上の E に付随するより精緻な算術データによって与えられる、と述べている。 [ 3 ]この^予想は、クレイ数学研究所が挙げた7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つであり、同研究所は最初の正しい証明に対して 100 万ドルの賞金を提供している。^{[ 4 ]}  

楕円曲線は、特定の種類の多様体です。導手NのQ上の楕円曲線をEとします。このとき、E はNを割り切らないすべての素数pにおいて良好な還元を持ち、Nを割り切る素数p (すなわち、pはNを割り切るがp ²は割り切らない。これはp || Nと表記される)において乗法的な還元を持ち、それ以外の場所 (すなわち、 p ^{2 が}Nを割り切る素数) において加法的な還元を持ちます。E のハッセ・ワイル ゼータ関数は次の形式をとります。

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,}$

ここで、ζ( s )は通常のリーマンゼータ関数であり、L ( E , s )はE / QのL関数と呼ばれ、 ^{[ 5 ]}の形をとります。

${\displaystyle L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,}$

ここで、与えられた素数pに対して、

${\displaystyle L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

ここで、良好な還元の場合_、pはp + 1 − ( Eのpを法とする点の数) であり、乗法還元の場合、p_は、 Eが p において分裂 (プラス符号) または非分裂 (マイナス符号) の乗法還元を持つかどうかに応じて ±1 となる。素数pによる曲線Eの乗法還元は、 -c ₆が p 個の要素を持つ有限体の正方形である場合に分裂していると言われる。 ^{[ 6 ]}       

導体を用いない有用な関係式が存在する。

1. pが割り切れない場合${\displaystyle \Delta }$（どこ${\displaystyle \Delta }$は楕円曲線の判別式である）ならば、 Eはpで良好な減少を示す。
2. pが割り切れる場合${\displaystyle \Delta }$しかしそうではない${\displaystyle c_{4}}$すると、Eはpにおいて乗法的な悪い還元を持つ。
3. pが両方を割り切る場合${\displaystyle \Delta }$そして${\displaystyle c_{4}}$すると、Eはpで加法的な悪い減少を持つ。

• 算術ゼータ関数

• JP-P.セール、関数の機能に関する計算 (定義と推測)、1969/1970、Sém。ドランジュ – ピゾ – ポワトゥー、暴露 19