アーベル多様体の導体

数学のディオファントス幾何学において、局所体または大域体F上で定義されたアーベル多様体の導体は、ある素数における悪い縮小がどれだけ「悪い」かを示す尺度です。これは、ねじれ点によって生成される体における分岐と関連しています。

体F上に定義されたアーベル多様体 Aに対して、整数環Rを持つ、Aのネロンモデルを考える。これはR上 で定義されたAの「最良」モデルである。このモデルは、

スペック( R )

（環のスペクトルを参照）に対して、射によって構築された 一般的なファイバー

スペック( F ) → スペック( R )

はAを返す。A ^{0 は}、連結成分を繊維とするネロン模型の開部分群スキームを表すものとする。留数体kを持つRの最大イデアルPに対して、A ⁰ _{k は}k上の群多様体であり、したがって線型群によるアーベル多様体の拡張である。この線型群は、単能群によるトーラスの拡張である。u _{P を}単能群の次元、t P をトーラスの次元とする_。Pにおける導体の位数は

${\displaystyle f_{P}=2u_{P}+t_{P}+\delta _{P},\,}$

ここで、は乱流分岐の尺度である。Fが数体である場合、 Aの導手イデアルは次のように与えられる。 ${\displaystyle \delta _{P}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle f=\prod _{P}P^{f_{P}}.}$

• A がPで良好な還元を持つのは、次の場合のみである(つまり)。${\displaystyle u_{P}=t_{P}=0}$${\displaystyle f_{P}=\delta _{P}=0}$
• A が半安定縮小を持つのは、 （そして再び）の場合のみである。${\displaystyle u_{P}=0}$${\displaystyle \delta_{P}=0}$
• Aが、 Pにおける留数特性であるpと素次のFのガロア拡大上で半安定縮小を獲得する場合、 δ _P = 0 となります。
• （dはAの次元）の場合、 となります。${\displaystyle p>2d+1}$${\displaystyle \delta_{P}=0}$
• かつF が分岐次 のの有限拡張である場合、関数 で表される上限が存在し、これは次のように定義されます。${\displaystyle p\leq 2d+1}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle L_{p}(n)}$

と書いてと設定します。すると^[1]${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}c_{k}p^{k}}$${\displaystyle 0\leq c_{k}$${\displaystyle L_{p}(n)=\sum _{k\geq 0}kc_{k}p^{k}}$

${\displaystyle (*)\qquad f_{P}\leq 2d+e(F/\mathbb {Q} _{p})\left(p\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor +(p-1)L_{p}\left(\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor \right)\right).}$

さらに、を持つ任意の体と次元のアーベル多様体が存在するので、 は等式です。${\displaystyle d,p,e}$${\displaystyle p\leq 2d+1}$${\displaystyle F/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})=e}$${\displaystyle A/F}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (*)}$