調和座標条件

調和座標条件は、一般相対性理論におけるいくつかの座標条件の 1 つであり、アインシュタイン場の方程式を解くことを可能にします。座標系は、各座標関数x ^α (スカラー場とみなされる) がダランベール方程式を満たす場合、調和座標条件を満たすと言われます。リーマン幾何学における調和座標系の類似概念は、座標関数がラプラス方程式を満たす座標系です。ダランベール方程式はラプラス方程式を時空に一般化したものである ため、その解は「調和」とも呼ばれます。

物理法則は、一般的に不変の形式で表現できます。言い換えれば、現実世界では座標系は関係ありません。ただし、方程式を解くためには、特定の座標系を固定する必要があります。座標条件は、そのような座標系を 1 つ (または少数のセット) を選択します。特殊相対性理論で使用される直交座標はダランベールの方程式を満たすため、調和座標系は、特殊相対性理論の慣性座標系に一般相対性理論で利用できる最も近い近似値です。

一般相対論では、ダランベール方程式の偏微分の代わりに 共変微分を使用する必要があるため、次のようになります。

${\displaystyle 0=\left(x^{\alpha }\right)_{;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=\left(\left(x^{\alpha }\right)_{,\beta ,\gamma }-\left(x^{\alpha }\right)_{,\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

座標x ^αは実際にはスカラーではないので、これはテンソル方程式ではありません。つまり、一般に不変ではありません。しかし、座標条件は一般に不変であってはなりません。なぜなら、それらは特定の座標系のみを選択し、他の座標系は選択しないことになっているからです。座標の偏微分はクロネッカーのデルタなので、次の式が得られます。

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\beta ,\gamma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }=\left(0-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\right)g^{\beta \gamma }=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

したがって、マイナス記号を削除すると、調和座標条件（テオフィル・ド・ドンダー^[1]にちなんでド・ドンダーゲージとも呼ばれる）が得られます。

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

この条件は、重力波を扱うときに特に役立ちます。

計量テンソルの逆数の 密度の共変微分を考えてみましょう。

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.}$

最後の項は、 が不変スカラーではないため、共変微分が通常の微分と同じではないことから生じます。むしろ、であるため、${\displaystyle -g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{;\rho }=0\!}$${\displaystyle g_{;\rho }^{\mu \nu }=0\!}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\,.}$

ν を ρ で縮約し、調和座標条件を第 2 項に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,\\&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+0+g^{\mu \alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}}$

したがって、調和座標条件を表現する別の方法は次のようになります。

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.}$

クリストッフェル記号を計量テンソルで表すと、

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

の因子を捨てて、いくつかの指標と項を並べ替えると、 ${\displaystyle g^{\alpha \delta }\,}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.}$

線形化された重力の文脈では、これは以下の追加の形式と区別できません。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

ただし、最後の 2 つは、 hの 2 番目の順序になると異なる座標条件になります。

たとえば、電磁ベクトルポテンシャルに適用された波動方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle 0=A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.}$

右側を評価してみましょう:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.}$

調和座標条件を使用すると、右端の項を削除し、次のように評価を続行できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

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• PAMDirac (1975)、一般相対性理論、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-01146-X、第22章 

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoowned.html