群速度分散

光学において、群速度分散（GVD）は分散媒質の特性であり、媒質が光パルスの伝播時間にどのように影響するかを判断するために最もよく使用されます。正式には、GVDは、物質内の光の群速度の逆数の角周波数に対する微分として定義されます。^{[1] [2]}

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

ここで、 および は角周波数であり、群速度は と定義されます。群速度分散の単位は [時間] ² /[距離] であり、多くの場合fs ² / mmで表されます。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle v_{g}(\omega )}$${\displaystyle v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k}$

同様に、群速度分散は、媒質依存の波数ベクトルによって次のよう に定義することができる。${\displaystyle k(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

または屈折率 の観点から ${\displaystyle n(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}$

群速度分散は、対象物質を通過した後の光パルスに課される チャープの量を推定するために最も一般的に使用されます。

${\displaystyle {\text{chirp}}=({\text{材料の厚さ}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{帯域幅}}).}$

GVD がパルスチャープを決定するためにどのように使用されるかの簡単な説明は、厚さdの平面媒体を通過する持続時間の変換制限パルスの効果を見ることによって見ることができます。媒体を通過する前に、すべての周波数の位相オフセットは時間的に整列しており、パルスは時間の関数として記述できます。 ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}$

あるいは、周波数の関数として、

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}$

（パラメータAとBは正規化定数である）。媒質を通過すると周波数依存の位相累積が生じ、媒質通過後のパルスは次のように記述できる。 ${\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}$

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik (\オメガ)d}.}$

一般に、屈折率、したがって波数ベクトル はの任意の関数になる可能性があり、逆フーリエ変換を解析的に実行して時間領域に戻すのは困難です。ただし、パルスの帯域幅が の曲率に対して狭い場合は、 を を中心としたテイラー展開で置き換えることで、屈折率の影響の良好な近似値を得ることができます。 ${\displaystyle n(\omega )}$${\displaystyle k(\omega)=n(\omega)\omega /c}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k(\omega )}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\ドット}$

この式を切り捨ててポスト中周波数領域式に挿入すると、ポスト中時間領域式になる。

${\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(tk'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.}$

結局、パルスは強度標準偏差値まで延長される。

${\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}$

したがって、最初の式が検証されます。変換制限パルスは を持つことに注意してください。これにより、1/(2 σ _t ) を帯域幅として 識別することが適切になります。${\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}$

パルスチャープとGVDの関係の別の導出法は、GVDが群速度の逆数の導関数によって定義できる理由をより直接的に示しており、次のように概説できます。搬送周波数が と の2つの変換制限パルスを考えます。これらは最初は時間的に重なっています。媒体を通過した後、これら2つのパルスは、それぞれのパルスエンベロープの中心間で時間遅延を示します。これは次のように表されます。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}$

この式はテイラー展開で近似することができ、

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

または

${\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}$

ここから、この式を 2 つのパルスに拡大して無限に拡張することが考えられます。周波数差は帯域幅に置き換える必要があり、時間遅延は誘導チャープに発展します。 ${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$${\displaystyle \Delta T}$

密接に関連しながらも独立した量が群遅延分散( GDD ) です。群速度分散は単位長さあたりの群遅延分散として定義されます。GDD は、層状ミラーの特性評価におけるパラメータとしてよく使用されます。層状ミラーでは、群速度分散は特に明確に定義されていませんが、ミラーからの反射後に誘発されるチャープは明確に特徴付けられます。群遅延分散の単位は [時間] ²で、多くの場合 fs ²で表されます。

光学素子の群遅延分散（GDD）は、角周波数に対する群遅延の微分であり、光位相の2次微分でもあります。

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.}$

これは要素の色分散の尺度です。GDDは総分散パラメータと次のように 関係しています。${\displaystyle D_{\text{tot}}}$

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.}$

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