双曲距離空間

数学において、双曲距離空間は、点間に特定の距離関係（非負の実数 δ に定量的に依存）を満たす距離空間です。ミハイル・グロモフによって導入された定義は、古典的な双曲幾何学と木の距離特性を一般化します。双曲性は大規模な特性であり、グロモフ双曲群と呼ばれる特定の無限群の研究に非常に役立ちます。

この段落では、 -双曲的空間のさまざまな定義を示します。距離空間は、ある に対して -双曲的である場合に (グロモフ) 双曲的であると言われます。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta >0}$

を距離空間とします。2つの点と3 番目の点とのグロモフ積は、次の式で定義されます。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle y,z\in X}$${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).}$$

グロモフの双曲的距離空間の定義は次のようになる。 が-双曲的であるためには、 4点条件がすべて満たされなければならない。${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x,y,z,w\in X}$

$${\displaystyle (x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta }$$

この条件がすべてのと 1 つの固定された基底点に対して満たされる場合、定数 を持つすべての に対して満たされることに注意します。^[1]したがって、双曲性条件は 1 つの固定された基底点に対してのみ検証する必要があります。このため、基底点の添え字はグロモフ積から削除されることがよくあります。 ${\displaystyle x,y,z\in X}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle }$${\displaystyle 2\delta }$

定数倍の変化を除けば、距離空間が測地線である場合、すなわち任意の2点は測地線分（実数のコンパクトな部分区間の等角画像）の端点であるとき、三角形を含む同等の幾何学的定義が存在する。 ^{[2] [3] [4]}グロモフ積による定義では、空間が測地線である必要はないことに注意されたい。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle [a,b]}$

とします。頂点を持つ測地三角形は、3 つの測地線分の和集合です(ここで、 は端点がとである線分を表します)。 ${\displaystyle x,y,z\in X}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle [x,y],[y,z],[z,x]}$${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

任意の点に対して より短い距離にある点が 内に存在し、他の辺上の点についても同様である場合、三角形は-細長い であると言われます。 ${\displaystyle m\in [x,y]}$${\displaystyle [y,z]\cup [z,x]}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \delta \geq 0}$${\displaystyle \delta }$

-双曲空間の定義は、すべての測地三角形が -細長い測地距離空間である。この定義は、一般にエリヤフ・リップスによるものとされている。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

測地三角形の -近似中心の概念を使用して別の定義を与えることができます。これは、三角形の任意の辺から最大で の距離にある点です(内心の「近似」バージョン)。すべての測地三角形に -中心がある場合、空間は -双曲的です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

測地三角形を用いた -双曲空間のこれら2つの定義は厳密には同等ではないが、最初の意味での -双曲空間が2番目の意味でも -双曲的であり、その逆もまた成り立つようなものが存在する。 ^[5]したがって、双曲空間の概念は選択された定義に依存しない。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle k\cdot \delta }$

双曲平面は双曲的である。実際、測地三角形の内接円はその三角形に含まれる直径が最も大きい円であり、すべての測地三角形は理想三角形の内部にあり、その理想三角形はすべて内接円の直径が 2 log 3 の等長三角形である。^[6]この場合、グロモフ積は測地三角形の内接円に関しても簡単に解釈できることに注意されたい。実際、量( A , B ) _{C は}、 Cから内接円と隣接する辺との接点のいずれかまでの双曲距離pにすぎない。図からc = ( a – p ) + ( b – p )なので、 p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) _Cとなる。^[7]

ユークリッド平面は、例えば相似性の存在により双曲的ではありません。

双曲空間の 2 つの「退化した」例としては、直径が制限された空間 (たとえば有限空間やコンパクト空間) と実数直線があります。

計量木、そしてより一般的には実数木は、0 双曲的である (つまり、すべての三角形が三脚である) ため、双曲空間の最も単純で興味深い例です。

ユークリッド正三角形による三角形分割の 1 次元スケルトンは双曲的ではありません (実際はユークリッド平面に対して準等長です)。平面の三角形分割は、すべての頂点の次数が 7 以上であれば双曲的な 1 次元スケルトンを持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

2 次元グリッドは双曲的ではありません (ユークリッド平面に対して準等長です)。これはトーラスの基本群のケイリー グラフです。より高い種数の表面の基本群のケイリー グラフは双曲的です (実際、双曲平面に対して準等長です)。

双曲面 (およびより一般的には断面曲率の任意のアダマール多様体) は-双曲的です。リーマン計量を係数でスケーリングすると、距離は に掛けられ、したがって -双曲的な空間が得られます。曲率は に掛けられるため、この例では、空間がより (負に) 曲がっているほど、双曲定数が低くなることがわかります。 ${\displaystyle \leq -1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$${\displaystyle \lambda ^{-1}}$

同様の例として、負の曲率を持つCAT 空間があります。曲率は本質的に局所的な性質ですが、双曲性は局所的な (つまり、境界のある領域で起こる) 計量現象が見られない大規模な性質です。たとえば、元の計量を拡張した任意の計量を持つ双曲空間とコンパクト空間の結合は、双曲的のままです。^[要出典]

「大規模」の意味を明確にする 1 つの方法は、準等長変換の下での不変性を要求することです。これは双曲性にも当てはまります。

測地距離空間が-双曲空間に準等長である場合、 -双曲的となるような空間が存在する。${\displaystyle Y}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \delta '}$

定数は準等長変換の乗法定数と加法定数に依存します。 ^[8]${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle \delta }$

グロモフ積による双曲空間の定義は、任意の 4 点間の距離関係は、加法定数 を除いて、木の場合と同じである、と言っていると見ることができます。より一般的には、次の性質は、双曲空間の任意の有限部分集合が有限木のように見えることを示しています。 ${\displaystyle \delta }$

任意のに対して定数が存在し、次が成り立つ。もし が-双曲空間の点であるならば、有限木と埋め込みが存在し、すべてのとに対して${\displaystyle n,\delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f:T\to X}$${\displaystyle x_{i}\in f(T)}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C}$$

定数はとみなすことができ、これが最適です。^[9]${\displaystyle C}$${\displaystyle \delta \cdot h(n)}$${\displaystyle h(n)=O(\log n)}$

双曲空間では次のような性質がある: ^[10]${\displaystyle X}$

となるすべての に対して、につながり、 から少なくともの距離にあるすべてのパスの長さが少なくとも となるようなパスが存在します。${\displaystyle \mu ,K>0}$${\displaystyle p,x,y\in X}$${\displaystyle d(p,x)=d(p,y)=:r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e^{\mu \cdot d(x,y)}-K}$

非公式には、これは半径の「円」の円周が指数関数的に増加することを意味します。これはユークリッド平面の等周問題を思い出させます。以下は、この趣旨をより具体的に述べたものです。^[11]${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

が2次元のセル複体で、その1次元骨格が双曲的であり、任意の2次元セルの境界に最大で1次元セルが含まれるようなものが存在するとします。すると、任意の有限部分複体に対して定数が存在し、${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \operatorname {area} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {length(\partial Y)} }$

ここで、2-複体の面積は2-セルの数であり、1-複体の長さは1-セルの数です。上記のステートメントは線型等周不等式です。このような等周不等式を持つことがグロモフ双曲空間の特徴であることがわかります。^{[12]線型等周不等式は、}組合せ群論の小さな相殺条件に触発されました。

測地距離空間の部分空間は、の 2 点間の任意の測地線が の距離内に留まるような定数が存在する場合、準凸であると言われます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y}$

双曲空間の準凸部分空間は双曲的である。

双曲空間のすべての漸近錐は実木である。この性質は双曲空間の特徴である。^[13]

単体木の 端点の構築を一般化すると、双曲空間の無限遠における境界の自然な概念が生まれ、これは群作用の解析に非常に有用であることが証明されています。

この段落には、双曲的な測地距離空間があります。 ${\displaystyle X}$

ある点（または任意の点）に対してと が両方とも無限大に向かう場合、その数列は無限大に収束すると言われる。無限大に収束する2つの数列は、 （ある点または任意の に対して）のとき、同値であるとみなされる。の境界は、無限大に収束する数列の同値類の集合であり、^[14]と表記される。 ${\displaystyle (x_{n})\in X^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty }$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial X}$

境界上に 2 つの点がある 場合、それらのグロモフ積は次のように定義されます。${\displaystyle \xi ,\eta }$

$${\displaystyle (\xi ,\eta )_{p}=\sup _{(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _{n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)}$$

これは の場合に限り有限である。すると関数 を用いて上の位相を定義できる。^[15]この 上の位相は計量可能であり、グロモフ積を用いて定義された計量の優れた族が存在する。^[16]${\displaystyle \xi \neq \eta }$${\displaystyle \partial X}$${\displaystyle (\cdot ,\xi )}$${\displaystyle \partial X}$

を への2 つの準等長埋め込み（「準測地線」）とします。関数が で有界である場合に限り、それらは同等であるとみなされます。空間が適切な場合、その自然な位相との同値性を法とするすべてのそのような埋め込みの集合は、上で定義したように に同相です。^[17]${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle [0,+\infty [}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))}$${\displaystyle [0,+\infty [}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial X}$

同様の実現方法は、基点を固定し、この点から発生する準測地線のみを考慮することです。が測地線で適切な場合は、真の測地線に制限することもできます。 ${\displaystyle X}$

が単体正則木である場合、境界は端点の空間にすぎず、これはカントール集合です。点を固定すると、上の自然な距離が得られます。つまり、を始点とする光線によって表される 2 つの点は、距離 にあります。 ${\displaystyle X=T}$${\displaystyle x\in T}$${\displaystyle \partial T}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \exp(-\operatorname {Length} (\alpha \cap \beta ))}$

が単位円板、すなわち双曲面のポアンカレ円板モデルである場合、円板上の双曲計量は ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}}$$

グロモフ境界は単位円と同一視できる。

-次元双曲空間の境界は-次元球面に同相であり、計量は上記のものと同様です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

が適切であれば、その境界はモジュロ変換上のブゼマン関数の空間に同相である。^[18]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

2 つの双曲空間間の準等長写像は、境界間の同相写像を誘導します。 ${\displaystyle X,Y}$

特に、 の等長写像群は上の同相写像によって作用します。この作用は^[19]境界上の動的挙動に従って等長写像を分類するのに使用でき、木や古典的な双曲空間に対する一般化になります。を の等長写像とすると、次のいずれかのケースが発生します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$

• 最初のケース:は 上に有界軌道を持ちます( が適切な場合、これはが 内に不動点を持つことを意味します)。この場合は、楕円等長変換と呼ばれます。${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$
• 2 番目のケース:には 上にちょうど 2 つの不動点があり、すべての正の軌道はでのみ累積します。このとき は双曲等長変換と呼ばれます。${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi _{+},\xi _{-}}$${\displaystyle \partial X}$${\displaystyle \{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}}$${\displaystyle \xi _{+}}$${\displaystyle g}$
• 3 番目のケース:境界上に正確に 1 つの固定点があり、すべての軌道がこの点に集まります。これは放物線等長変換と呼ばれます。${\displaystyle g}$

双曲群の理論の部分集合は、例えば小さな相殺群のケイリーグラフのような、双曲空間のさらなる例を与えるために使用できる。また、ランダム群の特定のモデル（実質的にはランダムに生成された無限正則グラフ）のケイリーグラフは、非常に頻繁に双曲的になる傾向があることも知られている。

特定の空間が双曲的であることを証明することは、難しくもあり、興味深いこともあります。たとえば、次の双曲性の結果により、その空間に作用する群に関する新しい現象が発見されました。

• 曲線複体の双曲性^[20]は写像類群に関する新たな結果をもたらした。^[21]
• 同様に、外部自己同型群Out(Fn)に関連する特定のグラフ^[22]の双曲性は、この群に関する新たな結果をもたらした。

• 負に曲がったグループ
• 理想的な三角形

• ボウディッチ、ブライアン (2006)、「幾何学的群論の講義」(PDF)、Mat. soc. Japan
• ブリッドソン、マーティン R.; ヘフリガー、アンドレ (1999)、非正曲率の計量空間、シュプリンガー
• クールナート、M.デルザント、T. Papadopoulos, A. (1990)、Géométrie et théorie des groupes。 Les groupes hyperboliques de Gromov、数学講義ノート (フランス語)、vol. 1441、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-52977-2
• ド・ラ・ハルプ、ピエール。ギス、エティエンヌ (1990)、Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (フランス語)、Birkhäuser
• グロモフ、ミカエル (1987)、「双曲群」、ゲルステン、SM (編)、群論エッセイ、シュプリンガー、pp. 75–264
• ロー、ジョン（2003）、粗い幾何学に関する講義、大学講義シリーズ、第31巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3332-2
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