横メルカトル図法

横メルカトル 図法( TM、TMP ) は、標準メルカトル図法を改良したものです。横バージョンは、ユニバーサル横メルカトル図法など、世界中の国内および国際地図作成システムで広く使用されています。適切な測地基準系と組み合わせると、横メルカトル図法は、東西範囲が数度未満のゾーンで高い精度を実現します。

横メルカトル図法は、標準（または標準）メルカトル図法の横方向の側面です。これらは同じ数学的構造を共有しており、その結果、横メルカトル図法は標準メルカトル図法から多くの特性を継承しています。

• どちらの投影も円筒図法です。通常のメルカトル図法では、円筒の軸は極軸と一致し、赤道との接線と一致します。横メルカトル図法では、円筒の軸は赤道面にあり、接線は任意の子午線であるため、中心子午線として指定されます。
• どちらの投影も割線形式に変更することができます。これは、円筒がモデルの地球を横切るようにスケールが縮小されていることを意味します。
• どちらも球形と楕円形のバージョンが存在します。
• どちらの投影も等角投影なので、点のスケールは方向に依存せず、局所的な形状はよく保存されます。
• どちらの投影法も、接線（通常のメルカトル図法の場合は赤道、横方向の場合は中心子午線）上の縮尺は一定です。

横メルカトル図法の中心子午線は自由に選択できるため、地球上のどこでも高精度の地図 (幅が狭い) を作成するために使用できます。横メルカトル図法のセカント楕円形は、正確な大縮尺地図を作成するための投影法の中で最も広く使用されています。

どのような投影法で地図を作成する場合でも、地図を作成する範囲が長さと方向の両方で数百キロメートルを超える場合は、通常、地球をモデル化するために球体が選択されます。より小さな地域の地図でより高い精度が必要な場合は、楕円体モデルを選択する必要があります。次のセクションを参照してください。横メルカトル図法の球形は、1772 年にヨハン ハインリヒ ランバートが提示した 7 つの新しい投影法の 1 つでした。^{[1] [2]} (テキストは現代英語に翻訳されています。^{[3] ) ランバートは自分の投影法に名前を付けませんでした。}横メルカトルという名前は19 世紀後半にさかのぼります。^[4]ここでは、横投影の主な特性を通常の投影の特性と比較して示します。

横メルカトル図法の楕円形は、1822年にカール・フリードリヒ・ガウスによって開発され^[5]、1912年にヨハン・ハインリヒ・ルイス・クルーガーによってさらに解析されました^[6]。

この図法は、米国では（楕円体）横メルカトル図法、ヨーロッパではガウス正角図法またはガウス・クリューゲル図法、より一般的にはガウス・クリューゲル横メルカトル図法など、いくつかの名前で知られています。楕円体横メルカトル図法の同義語としてだけでなく、ガウス・クリューゲル図法という用語は、他の少し異なる意味でも使用されることがあります。

• この用語は、横メルカトル図法の特定の計算方法、つまり緯度/経度と投影座標間の変換方法を指すこともあります。地球が楕円体としてモデル化されている場合、これを行うための単純な閉じた公式はありません。しかし、ガウス・クルーガー法は、少なくとも中心子午線に十分近い場合、つまり経度 100 度未満の場合、他の方法と同じ結果をもたらします。それより離れると、一部の方法は不正確になります。
• この用語は、ヨーロッパと南米の狭い地域で使用されている特定の横メルカトル図法のセットを指すためにも使用されます。少なくとも、ドイツ、トルコ、オーストリア、スロベニア、クロアチア、ボスニア・ヘルツェゴビナ、セルビア、モンテネグロ、北マケドニア、フィンランド、アルゼンチンで使用されています。このガウス・クルーゲル図法はユニバーサル横メルカトル図法に似ていますが、ガウス・クルーゲル図法の中央子午線は UTM の 6° に対して 3° しか離れていません。

この投影法は、中心子午線上で一定の縮尺を持つ正角投影です。（球面から楕円体への横メルカトル図法の正角一般化は他にもありますが、中心子午線上で一定の縮尺を持つのはガウス・クリューゲル図法だけです。）20世紀を通じて、ガウス・クリューゲル横メルカトル図法は、さまざまな形で多くの国（および国際機関）に採用されました。^[7]さらに、ユニバーサル横メルカトル図法シリーズの投影法の基礎となっています。ガウス・クリューゲル図法は現在、正確な大規模地図作成で最も広く使用されている投影法です。^[要出典]

ガウスとクルーガーによって開発されたこの投影法は、球面版とまったく同じように、東西方向に発散すると想定された低次の冪級数で表現された。これはイギリスの地図製作者 EH トンプソンによって誤りであることが証明された。トンプソンの未発表の正確な（閉じた）投影法は、 1976 年にローレンス パトリック リーによって報告され、楕円体投影が有限であることを示した^[8]。これは、横メルカトル図法の球面版と楕円体版の最も顕著な違いである。ガウス クルーガー図法は、楕円体全体を平面に適切に投影するが、その主な用途は、中心子午線に「近い」正確な大規模マッピングである。^{[引用が必要]}

• 中央子午線（上の例ではグリニッジ）の近くでは、投影の歪みは少なく、アフリカ、西ヨーロッパ、イギリス諸島、グリーンランド、南極の形状は地球儀とよく似ています。
• ここに示す小規模投影では、球面と楕円体への横投影の中心領域は区別できません。
• 選択した中心子午線の東 90° と西 90° の子午線は、両極を通る水平線に投影されます。より遠い半球は、北極の上と南極の下に投影されます。
• 赤道はアフリカを二分し、南アメリカを横断し、投影の完全な外側の境界まで続きます。上端と下端、右端と左端を識別する必要があります (つまり、それらは地球上の同じ線を表します)。(インドネシアは二分されます。)
• 投影の右と左の境界に向かって歪みは大きくなりますが、無限大に大きくなることはありません。90° 西経線が左下で赤道と交わるガラパゴス諸島に注目してください。
• この地図は正角です。楕円体上で任意の角度で交差する線は、投影図上で同じ角度で交差する線に投影されます。特に緯線と経線は 90° で交差します。
• ポイントのスケール係数はどのポイントでも方向に依存しないため、小さな領域の形状は適切に保存されます。必要な条件は、スケール係数の大きさが関係する領域であまり変化しないことです。南アメリカは大きく歪んでいるのに対し、セイロン島は中央子午線から離れているにもかかわらず、適切に形作られるほど小さいことに注意してください。
• 中心子午線の選択は投影の外観に大きく影響します。90°W を選択すると、アメリカ大陸全体が適切になります。145°E を選択すると、極東が適切になり、オーストラリアが北を上にした方向になります。

ほとんどのアプリケーションでは、ガウス・クリューゲル座標系は、球面バージョンと楕円体バージョンの違いが小さいが、正確なマッピングにおいて重要な、中心子午線近くの狭い帯状部分に適用されます。縮尺、収束、歪みの正級数は、楕円体上の緯度と経度と離心の関数です。逆級数は、投影上のxとyと離心の関数です。割線バージョンでは、投影上の真の縮尺の線は中心子午線と平行ではなくなり、わずかに曲がっています。投影された子午線とx定数グリッド線の間の収束角はゼロではなくなるため (赤道上を除く)、真北から方位角を取得するにはグリッド方位を修正する必要があります。差は小さいですが、特に高緯度では無視できません。

^{1912年の論文[6]}で、クルーガーは展開パラメータによって区別される2つの異なる解を提示した。

• Krüger– n (段落 5 ～ 8): 座標xとy を与える直接投影の公式は、第 3 の扁平率n (楕円体の長軸と短軸の差と和の比) に関する 4 次展開です。係数は、緯度 ( φ )、経度 ( λ )、長軸 ( a )、離心率 ( e ) で表されます。 φとλの逆公式もnに関する 4 次展開ですが、係数はx、y、a、eで表されます。
• クルーガー– λ (段落 13 および 14): 投影座標xおよびy を与える式は、ラジアンで表された経度λによる (それぞれ 5 次および 4 次) 展開です。係数はφ、a、およびeで表されます。 φとλの逆投影は、比率⁠による 6 次展開です。x/1つの⁠ 、係数はy、a、eで表されます。（横メルカトル図法: レッドファーン級数を参照してください。）

クルーガー-λ級数が最初に実装されましたが、これはおそらく、20 世紀半ばの計算機で評価する方がはるかに簡単だったためでしょう。

• Lee–Redfearn–OSGB : 1945年、LP Lee ^{[9] はクルーガーの}λ展開を確認し、OSGB ^[10]に採用することを提案しましたが、Redfearn (1948) ^{[11] は}、(a) イギリスの緯度が比較的高いこと、(b) 測量されたエリアが経度10度を超える広い範囲であることから、λ展開は正確ではないと指摘しました。Redfearn は、このシリーズを8次まで拡張し、1 mm (地上測定) の精度を達成するために必要な項を調べました。Redfearn シリーズは、現在でも OSGB 地図投影の基礎となっています。^[10]
• トーマス–UTM :クルーガーのλ展開は1952年にポール・トーマスによっても確認されました: ^[12]これらはスナイダーで簡単に入手できます。^{[13]彼の投影式はレッドファーンが提示したものと完全に同等であり、} UTMの基礎として米国国防地図局によって採用されました。^[14]これらはまた、米国国家地理空間情報局の地理情報局が提供するGEOTRANS ^[15]座標変換器にも組み込まれています。
• その他の国: レッドファーン地図は、オーストラリア、ドイツ、カナダ、南アフリカなど多くの国で測地地図の基礎となっています。(リストはStuifbergen 2009の付録A.1に記載されています。) ^[16]
• レッドファーン級数の多くの変種が提案されていますが、重要なのは各国の地図作成機関によって採用されたものだけです。この地位を持たない修正の例については、横メルカトル図法: ボウリング級数を参照してください。このような修正はすべて、現代のコンピューターの能力と、以下に概説する高次のn級数の開発によって影を潜めています。正確なレッドファーン級数は、低次ではありますが、OSGB や UTM などの準法的定義に今も組み込まれているため、無視することはできません。

クルーガーn級数は、以下の国々によって （ nの4次まで）実装されています。

• フランス^[17]
• フィンランド^[18]
• スウェーデン^[19]
• 日本^[20]

クルーガーn級数の高次バージョンは、エングサーガーとポダー^[21]によって7次まで、川瀬^[22]によって10次まで実装されている。緯度と等角緯度間の変換のための級数展開とは別に、カーニーは30次までの級数を実装している。^[23]

EHトンプソンによる厳密解はLPリーによって説明されている。^[8]これは楕円関数（NIST ^[24]ハンドブックの第19章と第22章で定義）に基づいて構築されており、Maximaなどの代数計算システムを使用して任意の精度で計算できる。^[25]このような厳密解の実装はKarney（2011）によって説明されている。^{[23] [26]}

正確な解は、切り捨てられたn系列および λ 系列の精度を評価する上で貴重なツールです。たとえば、1912 年のオリジナルの Krüger– n系列は正確な値と非常によく一致しており、中心子午線から 1000 km 以内では 0.31 μm 未満、6000 km 以内では 1 mm 未満です。一方、GEOTRANS が使用する Redfearn 系列と正確な解の差は、経度差 3 度まで 1 mm 未満です。これは、赤道では中心子午線から 334 km の距離に相当しますが、UTM ゾーンの北限ではわずか 35 km です。したがって、Krüger– n系列は Redfearn λ 系列よりもはるかに優れています。

レッドファーン系列は、ゾーンが広がるにつれて、さらに悪化します。カーニーは、教訓的な例としてグリーンランドについて説明しています。細長い陸地は 42W を中心としており、最も広い地点でもその子午線から 750 km 以内ですが、経度の範囲はほぼ 50 度に達します。クルーガーn は1 mm 以内の精度ですが、クルーガーλ系列のレッドファーン版は最大 1 km の誤差があります。

Karney 独自の 8 次 ( n単位) 系列は、中心子午線から 3900 km 以内で 5 nm の精度です。

通常の円筒図法は、球面の極軸に沿った軸を持つ赤道接線円筒に関連して説明される。円筒図法は、子午線上のすべての点が（地球の半径）を持つ点に投影されるように構築され、は の所定の関数である。接線通常のメルカトル図法の場合、等角性を保証する（一意の）式は次の通りである：^[27]${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$

等角性は、点スケールkが方向に依存せず、緯度のみの関数であることを意味します。

${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$

投影のセカント バージョンでは、これらすべての式の右側に係数k ₀があります。これにより、スケールが赤道上で k _{0に等しくなります。}

左の図は、球面上の従来の経緯線と横円筒図の関係を示しています。この図は、任意に選択した子午線に接しており、その軸は球面の軸に垂直です。図で定義されているx軸とy軸は、通常の投影の場合とまったく同じように、赤道と中心子午線に関連しています。右の図では、回転した経緯線は、通常の円筒が標準経緯線に関連しているのと同じように、横円筒図に関連しています。回転した経緯線の「赤道」、「極」(東と西)、および「子午線」は、選択した中心子午線、中心子午線の東と西に 90 度離れた赤道上の点、およびそれらの点を通る大円で識別されます。

標準の経緯線上の任意の点 ( φ、λ ) の位置は、回転した経緯線上の角度で特定することもできます。φ′ (角度 M′CP) は有効緯度で、 − λ′ (角度 M′CO) は有効経度になります。 (マイナス記号が必要なのは、 ( φ′、λ′ ) が回転した経緯線と関連しているのが、 ( φ、λ ) が標準の経緯線と関連しているのと同じだからです)。直交座標 ( x′、y′ ) 軸が回転した経緯線と関連しているのが、軸 ( x、y ) が標準の経緯線と関連しているのと同じだからです。

接線横メルカトル図法では、接線標準メルカトル図法の変換式によって、 座標 ( x′ , y′ ) を − λ′およびφ′で定義します。

${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$

この変換は、中心子午線を有限の長さの直線に投影し、同時に、東西を通る大円 (赤道を含む) を中心子午線に垂直な無限の直線に投影します。真の緯線と子午線 (赤道と中心子午線以外) は、回転した経緯線と単純な関係がなく、複雑な曲線に投影されます。

2つの緯線の角度は、原点を通る真子午線OM′N、任意の点を通る真子午線MPN、および大円WM′PEによって定義される球面三角形NM′P上の球面三角法を使用して関連付けられます。結果は次のとおりです。 ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

直交座標（ x、y ）を与える直接的な公式は上記から直ちに導かれる。x  =  y′およびy  = − x′と設定し（そしてセカントバージョンに対応するために k _{0の係数を復元する）、}

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \ cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

上記の表現はLambert ^[1]に示されており、また（導出なしで）Snyder ^[13] 、 Maling ^[28]、Osborne ^[27]（詳細付き）にも示されています。

上記の式を逆にすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

回転した格子線に対する座標では、点のスケール係数はk  = sec  φ′で与えられます。これは地理座標または投影座標のいずれかで表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

2 番目の式は、スケール係数が投影の中心子午線からの距離の関数であることを示しています。スケール係数の一般的な値はk ₀  = 0.9996で、 xが約 180 kmのときにk  = 1 になります。xが約 255 km でk ₀  = 1.0004 の場合、スケール係数は、約 510 km 幅の帯状部分で 1 の 0.04% 以内になります。

投影上の点における収束角γ は、真北を定義する投影子午線から、グリッド北を定義する定数xのグリッド線までの角度によって定義されます。したがって、 γ は赤道の北と中央子午線の東の象限では正であり、赤道の南と中央子午線の西の象限でも正です。真北からの方位を得るには、収束をグリッド方位に追加する必要があります。セカント横メルカトルの場合、収束は地理座標または投影座標のいずれかで 表すことができます^{[27] 。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

実際の実装の詳細

• 経度方向のガウス・クルーガー級数:横メルカトル図法: レッドファーン級数
• n方向のガウス・クルーガー級数（第 3 平坦化）: 横メルカトル図法: 平坦化級数
• 正確な（閉じた）横メルカトル図法：横メルカトル図法：正確な解
• 簡潔な公式による 4 次レッドファーン級数 (例):横メルカトル図法: ボウリング級数

楕円体横メルカトル図法のさまざまな展開から得られる投影座標は、中心子午線がx軸に対応し、赤道がy軸に対応する直交座標です。 xとy は両方とも、λとϕのすべての値に対して定義されます。投影ではグリッドは定義されません。グリッドは、任意に定義できる独立した構成要素です。実際には、国別実装および UTM では、投影の直交軸に揃ったグリッドを使用しますが、その範囲は有限であり、原点は中心子午線と赤道の交点と一致する必要はありません。

真のグリッド原点は常に中央子午線上にとられるため、グリッド座標は中央子午線の西側では負になります。このような負のグリッド座標を避けるために、標準的な方法では、グリッド原点の西側 (場合によっては北または南側) に偽の原点を定義します。偽の原点を基準とした座標によって、常に正になる東距と北距が定義されます。偽の東距E ₀は、偽の原点の東にある真のグリッド原点の距離です。偽の北距N ₀は、偽の原点の北にある真のグリッド原点の距離です。グリッドの真の原点が中央子午線の緯度φ ₀にあり、中央子午線のスケール係数がk ₀である場合、これらの定義によって東距と北距が次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

「東経」と「北経」という用語は、厳密な東と北の方向を意味するものではありません。横方向投影のグリッド ラインは、X軸とY軸を除き、緯線と子午線で定義される南北または東西方向には走りません。これは、上に示したグローバル投影から明らかです。中央子午線の近くでは、差は小さいですが、測定可能です。南北グリッド ラインと実際の子午線との差は、収束角です。

• 地図投影法の一覧
• 斜メルカトル図法

ウィキメディア・コモンズには、メルカトル図法に関連するメディアがあります。

ウィキメディア・コモンズには、横メルカトル図法による地図に関連するメディアがあります。

• この記事の説明に使用した投影図は、Mapthematics Geocart 3から入手できるGeocartを使用して作成されました。