累積分布関数

確率論と統計学において、実数値のランダム変数の累積分布関数( CDF ) 、または単にの分布関数は、 で評価された場合にが 未満の値を取る確率です。[ ^1] ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

実数 （離散または「混合」、連続） 上でサポートされるすべての確率分布は 、およびを満たす右連続単調増加関数（càdlàg関数）によって一意に識別されます。 ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1}$

スカラー連続分布の場合、これは負の無限大から までの確率密度関数の下の領域を与えます。累積分布関数は、多変量ランダム変数の分布を指定するためにも使用されます。 ${\displaystyle x}$

実数値確率変数の累積分布関数は ^{、[2] : p. 77}で与えられる関数である。${\displaystyle X}$

ここで、右側の項は、ランダム変数が以下の値を取る確率を表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

が半閉区間（ただし）に存在する確率は、したがって^{[2] : p. 84 である。}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle a<b}$

上記の定義では、「以下」の記号「≤」は慣例であり、普遍的に使用されているものではありません (たとえば、ハンガリーの文献では「<」が使用されています)。ただし、離散分布ではこの区別が重要です。二項分布とポアソン分布の表を適切に使用するには、この慣例に従ってください。さらに、ポール レヴィの特性関数の反転式などの重要な式も、「以下」の定式に依存しています。

複数のランダム変数などを扱う場合、対応する文字が下付き文字として使用されますが、1つのみを扱う場合は、下付き文字は通常省略されます。累積分布関数には大文字を使用するのが慣例であり、確率密度関数や確率質量関数には小文字が使用されます。これは、一般的な分布について説明する場合に適用されます。一部の特定の分布には独自の慣例的な表記法があり、たとえば、正規分布では、との代わりにそれぞれ と が使用されます。 ${\displaystyle X,Y,\ldots }$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

連続確率変数の確率密度関数は、微積分学の基本定理^[3]を用いて累積分布関数を微分することによって決定することができる。つまり、 導関数が存在する限り 、 が与えられる。${\displaystyle F(x)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}}$$

連続ランダム変数 のCDFは、その確率密度関数の積分として次のように表すことができます。^{[2] ：p.86}${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$ $${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty}^{x}f_{X}(t)\,dt.}$$

離散成分が値にある分布を持つランダム変数の場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \operatorname {P} (X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\to b^{-}}F_{X}(x).}$$

が で連続している場合、これはゼロに等しく、 には離散成分は存在しません。 ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

すべての累積分布関数は非減少^{[2] : p. 78}かつ右連続^{[2] : p. 79}であり、これはcàdlàg関数となる。さらに、 ${\displaystyle F_{X}}$$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1.}$$

これら 3 つの特性を持つすべての関数は CDF です。つまり、このようなすべての関数に対して、関数がそのランダム変数の累積分布関数となるように ランダム変数を定義できます。

が純粋に離散的なランダム変数である場合、確率 で値を獲得し、 の CDF は点で不連続になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle p_{i}=p(x_{i})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}$$

実数値ランダム変数のCDF が連続 である場合、 は連続ランダム変数です。さらに が絶対連続 である場合、 すべての実数およびに対してとなる ルベーグ積分可能関数が存在します。この関数は、ほぼすべての場所での導関数に等しく、の分布の確率密度関数と呼ばれます。 ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle f_{X}(x)}$$${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$

が有限のL1ノルムを持つ場合、つまり の期待値が有限である場合、期待値はリーマン・スティルチェス積分によって与えられる。${\displaystyle X}$${\displaystyle |X|}$ $${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }t\,dF_{X}(t)}$$

また、任意の に対して、 同様に 図で示されるとおりです（2 つの赤い四角形の面積と、 のグラフまでの右または左への拡張部分を考慮してください）。特に、次の式が成り立ちます。さらに 、実数値ランダム変数の（有限の）期待値は、任意の実数値ランダム変数 に対する期待値の定義の図で示されているように、累積分布関数のグラフ上で定義できます。 ${\displaystyle x\geq 0}$$${\displaystyle x(1-F_{X}(x))\leq \int _{x}^{\infty }t\,dF_{X}(t)}$$$${\displaystyle xF_{X}(-x)\leq \int _{-\infty }^{-x}(-t)\,dF_{X}(t)}$$${\displaystyle F_{X}}$$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }xF_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }x(1-F_{X}(x))=0.}$$${\displaystyle X}$

例として、が単位区間 上で均一に分布しているとします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,1]}$

のCDFは次のように表される 。${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x\leq 1\\1&:\ x>1\end{cases}}}$$

代わりに、等しい確率で離散値 0 と 1 のみを取ると仮定します。 ${\displaystyle X}$

のCDFは次のように表される 。${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1/2&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1\end{cases}}}$$

が指数分布していると仮定します。すると、CDFは次のように表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

ここで、λ > 0 は分布のパラメータであり、レートパラメータと呼ばれることもあります。

が正規分布していると仮定すると、CDFは次のように表される 。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F(t;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{t}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx.}$$

ここで、パラメータは分布の平均または期待値であり、は標準偏差です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

標準正規分布の CDF の表は、統計アプリケーションでよく使用され、標準正規表、単位正規表、またはZ 表と呼ばれます。

が二項分布していると仮定します。すると、CDFは次のように表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$$

ここで は成功の確率であり、関数 は一連の独立した実験における成功数の離散確率分布を表します。または の「下限」、つまり 未満の最大の整数です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

時には、逆の質問を研究し、ランダム変数が特定のレベルを超える頻度を尋ねることが有用である。これは補完累積分布関数（ccdf）または単にテール分布または超過は次のように定義される。 $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=\operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x).}$$

これは、例えば統計的 仮説検定に応用できます。なぜなら、片側p値は、観測された検定統計量と少なくとも同じくらい極端な検定統計量を観測する確率だからです。したがって、検定統計量Tが連続分布を持つと仮定すると、片側p値はccdfで簡単に与えられます。検定統計量の 観測値に対して${\displaystyle t}$$${\displaystyle p=\operatorname {P} (T\geq t)=\operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t).}$$

生存分析では、は生存関数と呼ばれ、 と表記されますが、信頼性関数という用語は工学では一般的です。 ${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)}$${\displaystyle S(x)}$

プロパティ

• 期待値を持つ非負連続確率変数の場合、マルコフの不等式は^[4] $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{x}}.}$$
• として、そして実際にはが有限であると仮定します。証明: ^[要出典]は任意のに対して密度関数 を持つと仮定します。次に、項を認識して並べ替えると、主張どおりになります。${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0}$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$
  
  ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\geq \int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(c)=\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$$${\displaystyle 0\leq c{\bar {F}}_{X}(c)\leq \operatorname {E} (X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{\text{ as }}c\to \infty }$$
• 期待値を持つランダム変数の場合、そして非負のランダム変数の場合、2番目の項は0です。ランダム変数が非負の整数値しか取れない場合、これは次の式と等しくなります。$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}F_{X}(x)\,dx}$$
  $${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(n).}$$

累積分布のプロットはS字型になることが多いが、別の例としては、グラフの上半分を折り返した折りたたみ累積分布図や山型プロットがある^{[5] [6]}。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{\text{fold}}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}}$

ここで、 は指標関数を表し、2番目の加数は生存関数であり、したがって、1つは上昇勾配用、もう1つは下降勾配用の2つのスケールが使用される。この形式の図は、分布または経験的結果の 中央値、分散（具体的には、中央値からの平均絶対偏差^[7]）、および歪度を強調している。${\displaystyle 1_{\{A\}}}$

CDF Fが厳密に増加し連続している場合、 はとなる唯一の実数です。これは、逆分布関数または分位関数を定義します。 ${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)=p}$

いくつかの分布は一意の逆関数を持たない（例えば、すべての に対しての場合、 は定数となる）。この場合、次のように定義される 一般化逆分布関数を使用することができる。${\displaystyle f_{X}(x)=0}$${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle F_{X}}$

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\},\quad \forall p\in [0,1].}$

• 例 1: 中央値は です。${\displaystyle F^{-1}(0.5)}$
• 例 2: と置きます。次に、95 パーセンタイルを呼び出します。${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95)}$${\displaystyle \tau }$

逆 CDF のいくつかの有用な特性 (一般化逆分布関数の定義でも保持されます) は次のとおりです。

1. ${\displaystyle F^{-1}}$非減少である^[8]
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1}(p))\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{-1}(p)\leq x}$もし、もし、${\displaystyle p\leq F(x)}$
5. が分布を持つ場合、 はのように分布します。これは、逆変換サンプリング法を使用した乱数生成で使用されます。${\displaystyle Y}$${\displaystyle U[0,1]}$${\displaystyle F^{-1}(Y)}$${\displaystyle F}$
6. が同じ標本空間上で定義された独立した分布するランダム変数の集合である場合、 がとして分布し、すべての に対して確率 1 であるようなランダム変数が存在する。^[要出典]${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle U[0,1]}$${\displaystyle F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

cdf の逆関数を使用すると、均一分布で得られた結果を他の分布に変換できます。

経験分布関数は、サンプル内の点を生成した累積分布関数の推定値です。これは、基礎となる分布に確率1で収束します。経験分布関数の基礎となる累積分布関数への収束率を定量化する結果は数多く存在します。^[9]

複数のランダム変数を同時に扱う場合、結合累積分布関数も定義できます。たとえば、ランダム変数のペアの場合、結合CDFは次のように与えられます^{[2] ：p. 89}${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle F_{XY}}$

ここで、右側の項は、ランダム変数が以下の値を取る確率と、が以下の値を取る確率を表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$

結合累積分布関数の例:

2つの連続変数XとYの場合:$${\displaystyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx;}$$

2つの離散確率変数の場合、確率表を生成し、XとYの各潜在的範囲の累積確率を扱うことが有益であり、以下に例を示します。^[10]

表形式の結合確率質量関数が与えられた場合、結合累積分布関数を決定します。

解答: XとYの各潜在的範囲の確率表を使用して、結合累積分布関数を表形式で構築できます。

ランダム変数の場合、結合CDFは次のように与えられる。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$

ランダム変数をランダムベクトルとして解釈すると、より短い表記が得られます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$$${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

すべての多変量 CDF は次のようになります。

1. 各変数は単調に減少せず、
2. 各変数において右連続であり、
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq 1,}$
4. $${\displaystyle \lim _{x_{1},\ldots ,x_{n}\rightarrow +\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1{\text{ and }}\lim _{x_{i}\rightarrow -\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,{\text{for all }}i.}$$

1 次元の場合とは異なり、上記の 4 つの特性を満たすすべての関数が多変量 CDF であるとは限りません。たとえば、 の場合は、の場合は、 の場合は です。上記の条件が満たされていることは簡単にわかりますが、満たされていたとしても、以下で説明するように、CDF ではないことがわかります。 ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x+y<1}$${\displaystyle y<0}$${\displaystyle F(x,y)=1}$${\displaystyle F}$${\textstyle \operatorname {P} \left({\frac {1}{3}}<X\leq 1,{\frac {1}{3}}<Y\leq 1\right)=-1}$

点が超長方形に属する確率は1次元の場合と同様である: ^[11] $${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname {P} (a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=\int ...}$$

累積分布関数を実数から複素数への一般化は、形式の表現が意味をなさないため、明らかではありません。ただし、形式の表現は意味をなします。したがって、複素数ランダム変数の累積分布は、実数部と虚数部の 結合分布によって定義されます。${\displaystyle P(Z\leq 1+2i)}$${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$$${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)}).}$$

式4を一般化すると、 複素ランダムベクトルのCDSの定義が得られます 。 $${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})}$$${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}}$

累積分布関数の概念は、統計分析において 2 つの (類似した) 方法で明示的に登場します。累積頻度分析は、基準値未満の現象の値の発生頻度の分析です。経験分布関数は、累積分布関数の正式な直接推定値であり、単純な統計特性を導き出すことができ、さまざまな統計仮説検定の基礎を形成できます。このような検定では、データのサンプルが特定の分布から生じたことを否定する証拠があるかどうか、または 2 つのデータのサンプルが同じ (未知の) 母集団分布から生じたことを否定する証拠があるかどうかを評価できます。

コルモゴロフ・スミルノフ検定は累積分布関数に基づいており、2 つの経験分布が異なるかどうか、または経験分布が理想分布と異なるかどうかを検定するために使用できます。密接に関連するカイパー検定は、分布のドメインが曜日のように周期的である場合に役立ちます。たとえば、カイパー検定は、竜巻の数が年間を通じて変化するかどうか、または製品の売上が曜日や月によって変化するかどうかを確認するために使用できます。

• 記述統計
• 分布フィッティング
• オジベ（統計）
• 上のpdfを持つ修正半正規分布^[12]は として与えられ、ここで はフォックス・ライトのプサイ関数を表す。${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

• ウィキメディア・コモンズの累積分布関数に関連するメディア