逆二乗則

科学において、反二乗の法則とは、特定の物理量の観測された「強度」がその物理量の発生源からの距離の二乗に反比例するという科学法則です。この根本的な原因は、点源放射が三次元空間に及ぼす幾何学的希釈として理解できます。

レーダーのエネルギーは、信号の送信時と反射時の両方の過程で拡大するため、両方の経路の逆二乗は、レーダーが距離の逆4 乗に応じてエネルギーを受信することを意味します。

信号を伝播する際のエネルギーの希釈を防ぐために、水路のような役割を果たす導波管や、弾丸へのエネルギー伝達の損失を防ぐために銃身が高温ガスの膨張を一次元に制限する方法などの特定の方法を使用できます。

式

数学的表記では、逆二乗則は、ある中心からの距離 (d) の関数として変化する強度 (I) として表すことができます。強度は距離の二乗の逆数に比例します ( ∝ を参照)。 ${\text{強度}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{距離}}^{2}}}\,$

数学的には次のように表現することもできます。 ${\frac {{\text{強度}}_{1}}{{\text{強度}}_{2}}}={\frac {{\text{距離}}_{2}^{2}}{{\text{距離}}_{1}^{2}}}$

または定数の定式化として: ${\text{強度}}_{1}\times {\text{距離}}_{1}^{2}={\text{強度}}_{2}\times {\text{距離}}_{2}^{2}$

1 つ以上のソースに関する放射状の逆二乗法則フィールドの結果であるベクトルフィールドの発散は、ローカルソースの強度に比例し、したがって外部ソースはゼロになります。ニュートンの万有引力の法則は、電気、光、音、および放射線現象の効果と同様に、逆二乗法則に従います。

正当化

反二乗の法則は、一般に、何らかの力、エネルギー、またはその他の保存量が3 次元空間の点光源から均等に放射される場合に適用されます。球の表面積(4π r ² ) は半径の 2 乗に比例するため、放射された放射線が光源から遠ざかるにつれて、放射線は光源からの距離の 2 乗に比例して広がる領域が広がります。したがって、任意の単位領域 (点光源に直接面している) を通過する放射線の強度は、点光源からの距離の 2 乗に反比例します。ガウスの重力の法則も同様に適用でき、反二乗の関係に従って作用する任意の物理量に使用できます。

発生事例

重力

重力は質量を持つ物体間の引力です。ニュートンの法則は次のように述べます。

2 つの質点間の重力引力は、それらの質量の積に正比例し、それらの分離距離の 2 乗に反比例します。この力は常に引力であり、それらの質点を結ぶ線に沿って作用します。^{[引用が必要]}

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

各物体の物質の分布が球対称であれば、殻定理に示されているように、近似なしに物体を質点として扱うことができます。そうでない場合、質量のある物体間の引力を計算するには、すべての点間の引力をベクトル的に加算する必要があり、正味の引力が正確に反二乗にならない可能性があります。ただし、質量のある物体間の距離が物体の大きさに比べてはるかに大きい場合は、重力を計算する際に、質量を物体の質量の中心にある質点として扱うのが妥当な近似です。

この法則は、万有引力の法則として、 1645年にイスマエル・ブリアルドゥスによって提案された。しかし、ブリアルドゥスはケプラーの第2法則と第3法則を受け入れず、また、円運動（中心力によって引き寄せられる直線運動）に対するクリスティアーン・ホイヘンスの解法も評価しなかった。実際、ブリアルドゥスは、太陽の力は遠日点では引力であり、近日点では斥力であると主張した。ロバート・フックとジョヴァンニ・アルフォンソ・ボレッリは、 1666年に両者とも引力として万有引力を説明した。^[1]フックの「重力について」の講演は、3月21日にロンドンの王立協会で行われた。^[2]ボレリの「惑星の理論」は1666年後半に出版された。^[3] フックの1670年のグレシャム講演では、重力は「すべての天体」に適用されることが説明され、重力の力は距離とともに減少し、そのような力がない場合は物体は直線的に移動するという原理が付け加えられた。1679年までにフックは重力が反比例すると考え、アイザック・ニュートンへの手紙でこれを伝えた。^[4] 私の推測では、引力は常に中心からの距離の逆数に2倍比例する。^[5]

フックは、ニュートンがこの原理の発明を主張したことに憤慨し続けたが、ニュートンの1686年の著書『プリンキピア』では、フックがレンやハレーとともに太陽系の逆二乗の法則を別々に理解していたことを認めており、^[6]またブリアルダスにもいくらか功績を認めていた。^[7]

静電気

2つの電荷を帯びた粒子間の引力または反発力は、電荷の積に正比例するだけでなく、それらの間の距離の2乗に反比例します。これはクーロンの法則として知られています。指数の2からの偏差は10 ¹⁵分の1未満です。^[8]

$F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

光およびその他の電磁放射線

点光源から放射される光やその他の線状波の強度（または照度または放射照度）（光源に対して垂直な単位面積あたりのエネルギー）は、光源からの距離の 2 乗に反比例するため、2 倍離れた場所にある物体（同じ大きさ）が受け取るエネルギーは（同じ時間内に）4 分の 1 しかかかりません。

より一般的には、球面波面の放射照度、すなわち強度（または伝播方向の単位面積あたりの電力）は、光源からの距離の2乗に反比例して変化します（吸収や散乱による損失がないと仮定）。

たとえば、太陽からの放射強度は、水星までの距離(0.387 AU )では 1 平方メートルあたり9126ワットですが、地球までの距離(1 AU) では 1 平方メートルあたり 1367 ワットに過ぎません。つまり、距離が約 3 倍になると、放射強度は約 9 分の 1 に減少します。

パラボラアンテナ、ヘッドライト、レーザーなどの非等方性放射体の場合、有効な原点はビーム開口部のはるか後方にあります。原点に近い場合は、半径を 2 倍にするために遠くまで移動する必要がないため、信号は急速に低下します。レーザーのように、原点から遠く離れていても信号が強い場合は、半径を 2 倍にして信号を減らすために非常に遠くまで移動する必要があります。これは、等方性アンテナのすべての方向の広いビームと比較して、狭いビームの方向に信号が強くなるか、アンテナゲインがあることを意味します。

写真や舞台照明では、逆二乗則は、被写体が光源に近づいたり遠ざかったりしたときの「減光」または照明の差を判断するために使用されます。簡単に近似するには、距離を 2 倍にすると照明が 4 分の 1 に減少することを覚えておくだけで十分です。^[9]または同様に、照明を半分にするには距離を 1.4 倍 ( 2 の平方根) 増やし、照明を 2 倍にするには距離を 0.7 倍 (1/2 の平方根) に減らします。光源が点光源でない場合は、逆二乗則が有用な近似値になることがよくあります。光源のサイズが被写体までの距離の 5 分の 1 未満の場合、計算誤差は 1% 未満です。^[10]

点源からの距離が増加するにつれて間接的に電離する放射線の電磁フルエンス(Φ)が減少する割合は、逆二乗の法則を使用して計算できます。点源からの放射は放射方向を持つため、垂直入射で遮断されます。このようなシェルの面積は 4π r ²で、r は中心からの放射距離です。この法則は、診断用放射線撮影や放射線治療計画で特に重要ですが、実際の状況では、線源の寸法が距離よりもはるかに小さくない限り、この比例関係は成り立ちません。フーリエ熱理論で述べられているように、「点源は距離によって拡大されるため、その放射は、原点からの増加する円周弧の角度の sin に比例して薄くなります」。

例

点光源（例えば、全方向性等方性放射体）から放射される全電力をPとする。光源からの距離が遠い場合（光源の大きさに比べて）、この電力は光源からの距離が長くなるにつれて、より大きな球面に分散される。半径rの球の表面積はA = 4πr ²であるため、距離rにおける放射の強度I（単位面積あたりの電力）は $I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,$

エネルギーまたは強度は、距離rが 2 倍になると (4 で割ると) 減少します。dBで測定すると、距離が 2 倍になるごとに 6.02 dB 減少します。電力量の測定値を参照する場合、測定量と基準値の比率の 10 を底とする対数を 10 倍して、比率をデシベル単位で表すことができます。

ガス中の音

音響学では、点音源から放射される球面波面の音圧は、距離rが 2 倍になると 50% 減少します。dB で測定すると、 dB は強度比を表すため、減少は依然として 6.02 dB です。圧力比 (電力比とは異なります) は反二乗ではなく、反比例します (距離の反比例の法則)。

$p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,$

瞬間音圧と同位相の粒子速度成分についても同様です。 $v\,$ $p\,$

$v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,$

近傍場には、音圧と 90° 位相がずれた粒子速度の直交成分があり、時間平均エネルギーや音の強度には寄与しません。音の強度は、 RMS音圧とRMS 粒子速度の同位相成分の積で、どちらも反比例します。したがって、強度は反二乗の挙動に従います。

$I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,$

場の理論の解釈

3次元空間における非回転ベクトル場の場合、逆二乗則は、発散がソースの外側ではゼロであるという特性に対応する。これは、より高次元に一般化できる。一般に、n次元ユークリッド空間における非回転ベクトル場の場合、ベクトル場の強度「I」は、逆（ n − 1）^乗則に従って距離「r 」とともに減少する。

$I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},$

光源の外側の空間は発散がないと仮定する。^[要出典]

非ユークリッド的含意

ユークリッド空間の基本となる逆二乗則は、双曲空間を含む非ユークリッド幾何学にも適用される。これらの空間に存在する曲率は物理法則を変え、宇宙論、一般相対性理論、弦理論などさまざまな分野に影響を与える。^[11]

ジョン・D・バローは、2020年の論文「非ユークリッドニュートン宇宙論」で、双曲3次元空間（H3）内の力（F）とポテンシャル（Φ）の挙動について詳しく述べています。彼は、FとΦがF∝1/R² sinh²(r/R)とΦ∝coth(r/R)の関係に従うと説明しています。ここで、Rは曲率半径、rは焦点からの距離を表します。

イマヌエル・カントによって最初に提唱された空間次元の概念は、逆二乗の法則に関する議論のテーマであり続けています。^[12]ディミトリア・エレクトラ・ガツィアとレックス・D・ラムシエは、2021年の論文で、逆二乗の法則は空間の次元よりも力の分布の対称性と密接に関連していると主張しています。

非ユークリッド幾何学と一般相対性理論の文脈では、逆二乗則からの逸脱は法則自体から生じるのではなく、むしろ2つの物体間の力が瞬間的であるという仮定から生じ、これは特殊相対性理論と矛盾する。一般相対性理論は重力を時空の曲率として再解釈し、粒子がこの曲がった時空内の測地線に沿って動くように導く。^[13]

歴史

14世紀のオックスフォード計算者のジョン・ダンブルトンは、関数関係をグラフ形式で表現した最初の人物の一人である。彼は平均速度定理の証明を与え、「一様運動の緯度は中点の度数に対応する」と述べ、この方法を用いて照明の強度の定量的な減少を研究した。その研究は彼の著書『自然哲学と論理学の大全』（1349年頃）で行われ、距離に直線的に比例するわけではないが、逆二乗則を明らかにすることはできなかったと述べている。^[14]

天文学者ヨハネス・ケプラーは、著書『天文学の伝統における光と光の原理』 （1604年）第1巻第9命題で、点光源からの光の広がりは逆二乗則に従うと主張した。^[15]^[16]

1645年、フランスの天文学者イスマエル・ブリアルドゥス（1605-1694）は著書『天文学哲学』の中で、ヨハネス・ケプラーの「重力」 ^[17]は距離の逆数に比例して弱まるという説を否定し、ブリアルドゥスは「重力」は距離の2乗に比例して弱まると主張した。^[18]^[19]

イギリスでは、英国国教会の司教セス・ウォード（1617年 - 1689年）が、 『イスマエリス・ブリアルディ・アストロノミエ・フィロライカエ・ファンダメンタ・インクィジティオ・ブレビス』（1653年）の批評でブリアルドゥスの考えを公表し、著書『アストロノミア・ジオメトリカ』（1656年）でケプラーの惑星天文学を公表した。

1663年から1664年にかけて、イギリスの科学者ロバート・フックは著書『ミクログラフィア』（1666年）を執筆し、その中で、大気の高度と地表の気圧の関係について論じた。大気は球体である地球を取り囲んでいるため、地球表面の単位面積に作用する大気の体積は円錐台形（地球の中心から宇宙の真空まで伸びる。明らかに、地球表面から宇宙までの円錐の断面のみが地球表面に作用する）となる。円錐の体積はその高さの3乗に比例するが、フックは、重力は高度とともに減少するため、地球表面の気圧はむしろ大気の高度に比例すると主張した。フックは明確に述べなかったが、彼が提案した関係は、重力が地球の中心からの距離の2乗に反比例して減少する場合に限り成り立つ。^[20]^[21]

参照

参考文献

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^ 注: ケプラーとウィリアム・ギルバートはどちらも、重力の現代の概念をほぼ予見していたが、重力の説明に反比例の法則が欠けていただけだった。ケプラーは『新天文学』第 1 章「序論」の 4 ページで、次のように説明しています。 「真の重力理論は、次の公理に基づいています。 あらゆる物質は、物質である限り、それと同族の物体の影響圏外にあるあらゆる場所で、それ自体で静止する自然な適性を持っています。 重力は、同族の物体間の結合または結合 (磁力に類似) に向かう相互影響であり、石が地球を探すよりも、地球が石を引き付ける方がはるかに優れています。... 2 つの石が世界のどこかで互いに近く、3 番目の同族の物体の影響圏外にある場合、これらの石は 2 本の磁針のように中間点で一緒になり、互いの質量に比例した距離だけ互いに近づきます。月と地球が生命力または同等の力によって軌道上に保持されていない場合、地球は地球は月までの距離の 54 分の 1 だけ上昇し、月は残りの 53 分の 1 で地球に向かって落下します。ただし、両者の物質の密度が同じであると仮定すると、両者はそこで出会うことになります。」ケプラーは、「石が地球を求めるよりも、地球が石を引き付ける」 と言うことで、物体は自然な場所を求め、石は地球とともにあることを求めるというアリストテレス的な伝統から離脱していることに注目してください。
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外部リンク

距離による音響レベルの減衰
音圧pと距離の逆法則1/r

[1] フックの重力もまだ普遍的ではなかったが、以前の仮説よりも普遍性に近づいた。Taton , René ; Wilson, Curtis ; Hoskin, Michael A., eds. (2009). "The Newtonian achieve in astronomy". General history of astronomy . Vol. 2 Pt. A: Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics Tycho Brahe to Newton (1. ed.). Cambridge: Cambridge University Press . pp. 233–274. ISBN 978-0-521-54205-0。

[2] バーチ、トーマス（1756）。ロンドン王立協会の歴史。第2巻。68〜73ページ。特に70～72ページを参照してください。

[3] ボレッリ、ジョバンニ・アルフォンソ(1666)。 Theoricae mediceorum Planetarum ex causis physicis deductae [物理的原因から推定されたメディチアン惑星[すなわち木星の衛星]の[運動]理論](ラテン語)。 Ex typographia SMD Bibcode :1666tmpe.book....B.

[Hooke1680-4] コイレ、アレクサンドル(1952)。「ロバート・フックからアイザック・ニュートンへの未発表の手紙」。Isis。43 ( 4 ) : 312–337。doi : 10.1086 /348155。ISSN 0021-1753。JSTOR 227384。PMID 13010921。S2CID 41626961。

[5] フックがニュートンに宛てた1680年1月6日の手紙（Koyré 1952:332）。

[6] ニュートンは、第 1 巻 (すべての版) の命題 4 の章で、この点に関してレン、フック、ハレーを認めています。たとえば、ニュートン、アイザック(1729)。自然哲学の数学的原理。B. モット。66 ページ。

[7] 1686 年 6 月 20 日付けのエドモンド・ハレー宛の手紙で、ニュートンは次のように書いている。「ブリアルドゥスは、太陽を中心とし、物質に依存するすべての力は、中心からの距離の 2 倍の比率で相互に作用しなければならないと書いた。」参照: Cohen, I. Bernard ; Smith, George E. (2002)。The Cambridge Companion to Newton。ケンブリッジ大学出版局。p. 204。ISBN 978-0-521-65696-2。

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[9] ^ミラーソン、ジェラルド (1999)。テレビと映画の照明。CRC プレス 。p . 27。ISBN 978-1-136-05522-5。

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[12] Gatzia, Dimitria Electra; Ramsier, Rex D. (2021). 「次元、対称性、逆二乗則」。ノートと記録: 王立科学史ジャーナル。75 (3): 333–348。doi :10.1098/rsnr.2019.0044。ISSN 0035-9149。

[13] Guth, Alan (2018). 「非ユークリッド一般相対性理論入門」(PDF) . MIT OpenCourseWare . 2023年7月30日閲覧。

[14] フリーリー、ジョン（2012年）。ガリレオ以前：中世ヨーロッパにおける近代科学の誕生。オーバールック・ダックワース。ISBN 978-0-71-564536-9。

[15] ケプラー、ヨハネス(1604)。 Ad Vitellionem paralipomena、quibus astronomiae pars optica traditur（ラテン語）。アプド・クラウディウム・マルニウムとハエレデス・イオアニス・オーブリイ。 p. 10.

[16] ^ケプラーの Ad Vitellionem paralipomenaからのラテン語の引用の翻訳は、Gal, Ofer、Chen-Morris, Raz (2005) によるものです。「逆二乗則の考古学: (1) 形而上学的イメージと数学的実践」。科学史。43 ( 4 ) : 391–414。Bibcode : 2005HisSc..43..391G。doi : 10.1177/007327530504300402。特に397ページを参照。

[17] 注: ケプラーとウィリアム・ギルバートはどちらも、重力の現代の概念をほぼ予見していたが、重力の説明に反比例の法則が欠けていただけだった。ケプラーは『新天文学』第 1 章「序論」の 4 ページで、次のように説明しています。 「真の重力理論は、次の公理に基づいています。 あらゆる物質は、物質である限り、それと同族の物体の影響圏外にあるあらゆる場所で、それ自体で静止する自然な適性を持っています。 重力は、同族の物体間の結合または結合 (磁力に類似) に向かう相互影響であり、石が地球を探すよりも、地球が石を引き付ける方がはるかに優れています。... 2 つの石が世界のどこかで互いに近く、3 番目の同族の物体の影響圏外にある場合、これらの石は 2 本の磁針のように中間点で一緒になり、互いの質量に比例した距離だけ互いに近づきます。月と地球が生命力または同等の力によって軌道上に保持されていない場合、地球は地球は月までの距離の 54 分の 1 だけ上昇し、月は残りの 53 分の 1 で地球に向かって落下します。ただし、両者の物質の密度が同じであると仮定すると、両者はそこで出会うことになります。」ケプラーは、「石が地球を求めるよりも、地球が石を引き付ける」 と言うことで、物体は自然な場所を求め、石は地球とともにあることを求めるというアリストテレス的な伝統から離脱していることに注目してください。

[18] ブーリオ、イスマエル(1645)。 Astronomia Philolaica (ラテン語)。シメオン・ピジェ。 p. 23. Bibcode : 1645ibap.book....B。土井：10.3931/e-rara-549。

[19] Bullialdus の『天文学哲学』からのラテン語の引用の翻訳は、O'Connor, John J.、Robertson, Edmund F. (2006) の「Ismael Boulliau」から引用したものです。The MacTutor History of Mathematics Archive。セントアンドリュース大学。

[20] ガル＆チェン・モリス 2005、391-392ページ

[21] フック、ロバート(1665)。ミクログラフィア。サイエンス・ヘリテージ。p. 227。ISBN 978-0-940095-07-6私が円錐の一部ではなく円柱と言うのは、重力の説明で別のところで示しているように、球の殻の三倍の比率とその直径は、この場合、重力の力の減少によって除去されると考えられるからです。